基于考试的函数与方程思想研究

1、精品资料欢迎阅读基于考试的函数与方程思想研究恩格斯曾经这样刻画函数：“数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变 数，微分和积分也就立刻成为必要的了 . ”而函数与方程思想则是对 函数与方程进一步认识和概括的基础上形成的一般性观点，它贯穿整个中学数学课程的始终，蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中， 因此，它在中学数学中有着举足轻重的地位， 对它的考查是数学高考 的的必然之举.1函数与方程思想的内涵函数的思想，实质是抛开研究对象的非数学特征，用联系和变化 的观点提出数学对象，用集合与对应的思想抽象出对象的数学特征， 利用函数的有关性质解决问题

2、.方程的思想，则是分析数学问题中变量间的等量关系， 运用方程 的性质去分析、转化问题，进而解决问题.函数思想与方程思想是相辅相成的，函数思想在于揭示问题中数 量关系的本质特征，从变量的运动、变化、联系和发展的角度研究问 题；而方程思想则是动中求静，研究运动中的等量关系 .2函数与方程思想的考查回顾对函数与方程思想的考查，是历年高考的重点，而且考查力度在逐年增加，几乎渗透高中数学的每一个模块，每一个知识点.2.1对函数与方程思想本源的考查函数的有关概念及有关性质与方程的有关理论是函数与方程思 想的本源.在课标课程高考中，全方位、多层次的考查函数与方程的 基础知识和基本性质，是每年的重点和热点.2

3、.1.1函数与方程性质是函数与方程思想的核心内容函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值，方程的有关理 论是函数与方程思想的核心内容，它们往往形影不离，互为依托.例1(2009年高考福建卷理10)函数()=f x1 2 , 1 4 ,C.D.1 2 3 4 , 1 4 16 64 ,评析 本题主要考查二次函数图象和性质，方程的根，复合函数 的性质，是一道集方程与函数，数形结合，转化与化归，特殊与一般 等思想于一体的好题.考生要能深刻理解二次函数的图象的对称性， 真正体现了多思少算，能够明显甄别学生的思维层次，具有一定的选 拔功能.本题很好地体现了课标的核心：重视三基，注重培养学生的 数学素养

4、和思维能力.2.1.2数形结合是运用函数与方程思想解题的直观手段课标强调：加强几何直观，重视图形在数学学习中的作用， 鼓励学生借助直观进行思考.函数图象既可以看作是函数的一种特殊 的表示方式，又是用来分析和解决问题的重要方法 .例2（2009年高考山东卷理16）已知定义在上的奇函数R（）.评析 本题综合考查了抽象函数的奇偶性，单调性，对称性，周 期性，运用了数形结合及函数与方程的思想.是否能由（4）（）草图，以形助数解决问题，给人以“一桥飞架南北，天堑变通途” 的感觉.2.1.3导数是运用函数与方程思想解题的重要工具导数在高中数学中可以说是“叱咤风云”，具有深刻的内涵与丰 富的外延，在应用中显

5、示出独特的魅力和势不可挡的渗透力.它是解决函数方程、不等式、数列和曲线等问题的利器，是沟通初等数学与 高等数学的桥梁.例3（2011年高考全国卷I 理21）已知函数评析第（I）问突出考查方程思想.第（H）通过构造新函数解 决不等式，构造的依据是不等式中隐含的函数关系，又应用导数、二 次函数及二次方程根的有关理论解决问题，突出考查了函数与方程思想，体现导数的工具性功能，考查考生综合处理问题的能力2.1.4函数零点与方程的解是函数与方程思想统一性的体现例4 （2009年高考福建卷文11）若函数（）f x的零点与（）422x f xx二？评析 本题主要考查了函数、零点、方程问题，应用导数与零点 存在

6、性定理求解，充分体现了函数、零点、方程的统一性，突出考查了函数与方程思想.2.1.5高等数学知识的渗透是函数与方程思想的内在需求随着课标课程改革的不断推进，高考试题越来越重视初、高等数学知识的衔接.一方面，以高等数学知识命题， 体现了考纲对高考试题命制的创新要求；另一方面，这类题目命 题立意新，情境新，思维价值高，能很好地考查考生的阅读理解能力、 知识迁移能力、分析问题解决问题的能力，以及进入高校学习的潜能， 因此这类考题成了高考试题中的一道亮丽的风景线 .福建省高考近几年很关注高等数学知识的渗透，让高等数学“搭台”，中学数学“唱戏”，涉及极限、仿射变换、集合的加法封闭性等 等2.2以其它知识

7、点为载体的函数与方程思想的考查函数与方程思想研究的是变量与变量的依赖关系， 因此只要蕴含 几个变量之间函数关系的问题均会涉及函数与方程思想，它必然会跨越函数，也跨越方程，跨入到不等式、数列、解析几何、立体几何、 实际问题等领域.221以不等式为载体函数与不等式可以相互转化，应用函数与方程思想处理不等式问 题，关键在于构造一个适当的函数和用好方程理论，弄清函数、方程 及不等式的内在联系，树立相互转化的观点.例5 （2010年高考天津卷文16）设函数=?,对，恒成立，贝S实数的取值范围是 .,（）（）0f mxmf x+vm评析 本题主要考查了恒成立问题的基本解法、 函数与方程思想、 分类讨论思想

8、等，它是通过分离变量构造函数转化为求函数最值的方 法来求解的.222以数列为载体数列的通项公式及前项和公式实质上是定义在正整数集上的函 数，因此可利用函数思想与方程的思想来解决有关数列问题.+ +?+233 nnEA C的中点，求证：A BDE丄.评析本题关键在于发现体积随着的变化而变化，这就是函数与 方程思想的本质所在，因而可以根据相关条件，确定目标函数，应用 导数、不等式等知识解决问题.一般地，立体几何中对于求最大值、 最小值的实际问题，通过建立数学模型和函数关系式，然后利用函数 性质、重要不等式和有关知识进行解答，有效地考查了函数与方程思 想.2.2.4以解析几何为载体例8（2009年高

9、考福建卷文22）已知直线2xy? 20（I ）求椭圆C的方程；（H）求线段MN的长度的最小值；（皿） 略.评析第（I ）问突出考查方程思想.第（H）问设直线AS的斜率 为，建立-kMN与的函数关系，是解此题的关键.因此，不管以什么知识为载体，只要是关于数集与数集，变量与变量的关系问题无不体现函数与方程的思想，它是跨考点，跨模块， 跨题型的.3函数与方程思想的考查展望3.1注重本质，强化基础，依托主干，凸显函数与方程思想函数是数学永恒的主题，是函数与方程思想的本质 .导数是研究 函数的有力工具，又是高等数学的基础.因此，课标课程高考强化了 对函数基础知识的考查.函数、导数与其他知识结合形成了层次

10、丰富的各类综 合题，可以充分考查学生的数学基础知识和基本技能， 又可考查蕴含 其中的以函数与方程思想为主的多种思想的交融，多种能力的交叉， 从中考查学生继续学习所必需的数学素养和潜能.因此，函数与方程、 导数、不等式等知识的交汇是考查函数与方程思想的必然选择.3.2注重应用，回归生活，超越生活，凸显函数与方程思想课标中提出“发展学生的数学应用意识”.因此，数学高考“坚持数学应用，考查应用意识”.函数应用性问题贴近生活，而解 决这类问题所涉及的数学知识，数学思想和方法都是考纲中要求 掌握的主干知识和主要思想方法.特别地，以函数与方程的思想为指 导构建函数模型，可以充分考查学生推理论证能力，抽象概括能力， 运算求解能力和应用意识.因此，考查应用题是考查函数与方程思想 的重要选择.3.3注重交汇，规避模式，拓展创新，凸显函数与方程思想以函数与方程思想中的运动变化的观点为指导考查算法初步、 定 积分、概率统计等