随机变量的相关系数和相关性实用教案

1、1称称)E)(E(EYYXX 为为随随机机变变量量X和和Y的的协协方方差差，记记为为),(CovYX。 对随机向量来说，除了研究(ynji)每个分量的数学期望和方差以外，还希望知道分量之间的相关程度，因此引进协方差和相关系数这两个概念。定义(dngy)计算公式： )(E)(E)(E),(CovYXXYYX 一、协方差的概念一、协方差的概念(ginin)(ginin)及其及其性质性质其中 连续型连续型；离散型离散型)( dd),()( )(E-yxyxfxypyxXYijijji第1页/共35页第一页，共35页。2)E)(E(E),(CovYYXXYX 协方差的性质(xngzh)：1. 对称性：

2、 ),(Cov),(CovXYYX )(E)(E)(EYXXY 2. 线性性： ),(Cov),(CovYXaYaX ),(Cov),(Cov),(Cov2121YXYXYXX 3. 若X和Y相互(xingh)独立，则 0),(Cov YX因为(yn wi)X和Y相互独立)(E)(E)(EYXXY 注意：反之未必成立。第2页/共35页第二页，共35页。34. ),(Cov2)(D)(D)(DYXYXYX 类似(li s)地有. ),(Cov2)(D)(D)(DYXYXYX 2)(EE)(DYXYXYX 2)E()E(EYYXX )E)(E(E2)E(E)E(E22YYXXYYXX ，),cov

3、(2)(D)(DYXYX )E)(E(2)E()E(E22YYXXYYXX 推广(tugung)：),(Cov2)(DD11jijiniiniiXXXX 因此(ync)，若X1,X2, ,Xn两两独立,，则有 niiniiXX11)(DD第3页/共35页第三页，共35页。4 协方差的大小(dxio)在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如：Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y) 为了消除(xioch)量纲的影响，下面提出随机变量标准化的概念 .我我们们把把)(D)(EXXXX 称称为为X的的标标准准化化随随机机变变量量. . 可以(ky)验证， ,0

4、)(E X.1)(D X标准化随机变量消除了量纲的影响。 二、相关系数的概念及其性质二、相关系数的概念及其性质第4页/共35页第四页，共35页。5)(D)(EXXXX 将将标标准准化化变变量量 X与与 Y的的 定义(dngy)(D)(EYYYY 设 D(X)0, D(Y)0, 的的协协方方差差),(Cov YX, ,称称为为X与与Y的的相相关关系系数数, , 记记为为XY , ,即即 ),(Cov YXXY 计算公式：)(D)(D),(CovYXYXXY 第5页/共35页第五页，共35页。6 设(X,Y )的联合(linh)分布律为 例1解1 XY2012.01.04.03.0.),(CovX

5、YYX 相相关关系系数数及及求求协协方方差差 iiipxX)(E，1 . 1 ijijjipyxXY )(E，5 . 03 . 024 . 001 . 0)1(2 . 00 3.07.0先求出边缘(binyun)分布， jjjpyY)(E，4 . 0 iiipxX22)(E，1 . 3 22)(E)(E)(D XXX ，89. 11 . 11 . 32 jjjpyY22)(E，4 . 0 ,24. 0)(D Y6.04.0第6页/共35页第六页，共35页。7 iiipxX)(E，1 . 1 ijijjipyxXY )(E，5 . 03 . 024 . 001 . 0)1(2 . 00 jjjp

6、yY)(E，4 . 0 iiipxX22)(E，1 . 3 22)(E)(E)(DXXX ，89. 11 . 11 . 32 jjjpyY22)(E，4 . 0 ,24. 0)(D Y)(E)(E)(E),(CovYXXYYX ，06. 0 )(D)(D),(CovYXYXXY .089. 024. 089. 106. 0 第7页/共35页第七页，共35页。8 设(X,Y )的联合密度(md)函数为 例2解.),(CovXYYX 及及相相关关系系数数求求协协方方差差先求出边缘(binyun)密度，,else , 032, 10 ,2),( xyxxyxf yyxfxfXd),()( xyxfy

7、fYd),()(,else , 010 ,2 xx,else , 0 32 ,3/2220 ,3/ yyyyxyOxy3 xy2 231第8页/共35页第八页，共35页。9 xxxfXd)()(E 10d2xxx，32 xxfxXd)()(E22 102d2xxx，21 22)(E)(E)(DXXX ，181 类似(li s)地，,35)(E Y,619)(E2 Y.187)(D Y yyxfxfXd),()( xyxfyfYd),()(,else , 010 ,2 xx,else , 0 32 ,3/2220 ,3/ yyyy第9页/共35页第九页，共35页。10,32)(E X，181)(

8、D X,35)(E Y.187)(D Y yxyxfxyXYdd),()(Eyxyxxxd2d3210 ，45 )(E)(E)(E),(CovYXXYYX ，365 ,else , 032, 10 ,2),( xyxxyxfxyOxy3 231xy2 )(D)(D),(CovYXYXXY 725 .9449. 0 第10页/共35页第十页，共35页。11注：实际上,本题不必求边缘(binyun)密度,可以直接用以下公式计算E(X)、E(Y )等. yxyxxfXdd),()(E yxyxyfYdd),()(E 1032d2dxxyxx，32 1032d2dxxyyx,35 103222d2d)

9、(ExxyyxY.619 实际上,第一种方法限定了求积分(jfn)的次序,有时不方便.,else , 032, 10 ,2),( xyxxyxfxyOxy3 231xy2 第11页/共35页第十一页，共35页。121| XY 性质(xngzh)1证),(Cov2)(D)(D)(D YXYXYXXY 22 ，0 ，11 XY .1| XY 即即得得性质(xngzh)2若若bXaY ，则则1 XY , )(E)(EXbaY , )(D)(D2XbY )(E)(EbXaXXY 证, )(E)(E2XbXa )0( b相关系数的性质相关系数的性质(xngzh)(xngzh)：第12页/共35页第十二页

10、，共35页。13性质(xngzh)2若若bXaY ，则则1 XY , )(E)(EXbaY , )(D)(D2XbY )(E)(EbXaXXY 证, )(E)(E2XbXa )(D)(D),(CovYXYXXY )(D)(D)(E )(E)(EYXYXXY )(D)(D)(E)(E)(E)(E22XbXXbaXXbXa bXXXb )(D)(E)(E22 0 10 1 bbbb)0( b第13页/共35页第十三页，共35页。14),4 , 0()3 , 1(22NNYX和和分分别别服服从从正正态态分分布布与与已已知知相相互互独独立立，与与，知知由由YXXY0)1( 例3解的的联联合合密密度度；

11、求求若若),(,0)1(YXXY .)(D),(E,23,21)2(XZXYZZYXZ 和和求求若若 )()(),(yfxfyxfYX 的的联联合合密密度度为为所所以以),(YXee22224232)1(241231 yx .241e3218)1(22yx 第14页/共35页第十四页，共35页。15),4 , 0()3 , 1(22NNYX和和分分别别服服从从正正态态分分布布与与已已知知例3解.)(D),(E,23,21)2(XZXYZZYXZ 和和求求若若 )23(E)(E)2(YXZ ，31021131 )(E21)(E31YX )23(Cov2)(D41)(D91)23(D)(DYXYX

12、YXZ， )(D)(D2131)23(CovYXYXXY ，）（143216122 .3 第15页/共35页第十五页，共35页。16)23,(Cov),(CovYXXZX .0)(D)(D),(Cov ZXZXXZ 所所以以)2,(Cov)3,(CovYXXX ),(Cov21),(Cov31YXXX )6(21931 ),(Cov21)(D31YXX ,0 第16页/共35页第十六页，共35页。17 相关系数是随机变量之间线性关系强弱的一个(y )度量(参见如下的示意图).1 XY XY1 XY XY10 XY 01 XY XY| |的值越接近于1, Y与X的线性相关程度越高; | |的值越

13、接近于0, Y与X的线性相关程度越弱. 三、随机变量三、随机变量(su j bin (su j bin lin)lin)的线性相关性的线性相关性第17页/共35页第十七页，共35页。18定义(dngy)如如果果0 XY ，称称X与与Y不不相相关关。 下列事实(shsh)彼此等价： (1) X与与Y不不相相关关( (即即0 XY ) )； ；）（0),(Cov 2 YX；）（)(E)(E)(E 3YXXY . )(D)(D)(D 4YXYX ）（若X与Y 相互(xingh)独立，则X与Y 不相关。 定理注意：(2) 在正态分布的场合,独立性与不相关性是一致的。 (1) 逆命题不成立,即X与Y 不

14、相关时,不一定独立. 第18页/共35页第十八页，共35页。19二维正态分布. ),(),(22212 1NYX),(yxf221121 2222212121212)(2)(2)()1(21e yyxx前面(qin mian)已证: X,Y 相互独立.0 可以(ky)计算得. XY 于是，对二维正态随机变量(su j bin lin)(X,Y )来说, X和Y 不相关与X和Y 相互独立是等价的.第19页/共35页第十九页，共35页。20例4设( X,Y )的分布(fnb)律为XY12 1 04/ 11244/ 104/ 1004/ 12/ 12/ 14/ 14/ 14/ 14/ 1,0)(E

15、X,2/5)(E Y,0)(E XY所以(suy),0),(Cov YX.0 XY 于于是是这表示(biosh)X,Y 不存在线性关系.但,1P2P01, 2P YXYX知X,Y 不独立.事实上, X,Y 具有非线性关系:.2XY 第20页/共35页第二十页，共35页。21设设A和和B是是试试验验E的的两两个个事事件件, ,且且0)(P A, , 0)(P B, ,并并定定义义随随机机变变量量X, ,Y如如下下： 不发生不发生若若发生发生若若AAX , 0 , 1 不发生不发生若若发生发生若若BBY , 0 , 1证证明明若若0 XY , , 则则X和和Y必必定定相相互互独独立立 证，)(P)

16、(EAX ，)(P)(EBY ，)(P)(EABXY 因因为为0 XY , , 即即)(E)(E)(EYXXY , , 所所以以)(P)(P)(PBAAB , , 即A与B相互(xingh)独立, 从从而而A和和B、A与与B、A与与B也也相相互互独独立立, ,于于是是 例5第21页/共35页第二十一页，共35页。22即A与B相互(xingh)独立, 从从而而A和和B、A与与B、A与与B也也相相互互独独立立, ,于于是是 1, 1P yX)(P)(P)(PBAAB ，1P1P yX0, 1P yX)(P)(P)(PBABA ，0P1P yX1, 0P yX)(P)(P)(PBABA ，1P0P

17、yX0, 0P yX)(P)(P)(PBABA ，0P0P yX故X和Y相互(xingh)独立 所所以以)(P)(P)(PBAAB , , 第22页/共35页第二十二页，共35页。23x1 11 y1即(X,Y)服从(fcng)单位圆1: ),(D22 yxyx上的均匀分布.设二维随机变量(su j bin lin)(X,Y)的概率密度为 其其他他 , 01 ,1),(22yxyxf 试验(shyn)证X和Y是不相关的,但X和Y不是相互独立的. 解边缘密度为 yyxfxfXd),()( 2211d1xxy ,122 x 1 x21xy 21xy 例6第23页/共35页第二十三页，共35页。24

18、 其其他他 , 01 ,1),(22yxyxf 边缘(binyun)密度为 ,12)(2 xxfX 1 x同理,12)(2 yyfY 1 y，)()(),(yfxfyxfYX 即X和Y不独立(dl). ，0d12)(E112 xxxX (奇函数) 同理,.0)(E Y第24页/共35页第二十四页，共35页。25 其其他他 , 01 ,1),(22yxyxf ，0)( XE.0)( YE 122dd1)(EyxyxxyXY 10320ddcossin1rr ，0 (或利用(lyng)对称性) 所以(suy)，0)(E)(E)(E),(Cov YXXYYX即X和Y不相关(xinggun).x1 1

19、1 y1第25页/共35页第二十五页，共35页。26练习(linx)：P131 习题(xt)四第26页/共35页第二十六页，共35页。27补充(bchng)题：若若,dcYVbaXU 试试证证U,V的的相相关关系系数数等等于于X,Y 相相关关系系数数，其其中中0 ac 1.2.设(X,Y )的联合(linh)密度函数为 .),(CovXYYX 及及相相关关系系数数求求协协方方差差,else , 0 10, 20 ,23),(2 yxxyyxf3.设A,B是二随机(su j)事件, 不不发发生生若若发发生生若若AAX, 1, 1 不不发发生生若若发发生生若若BBY, 1, 1试证明X和Y 不相关

20、的充分必要条件是A与B独立.并定义随机变量X,Y如下： 第27页/共35页第二十七页，共35页。28若若,dcYVbaXU 试试证证 U,V 的的相相关关系系数数等等于于 X,Y 的的相相关关系系数数，其其中中0 ac ，bXaU )(E)(E)E)(E(E),(CovVVUUVU YcXaVUUVDD),(Cov ，XaUD)(D2 证，dYcV )(E)(E，)(D)(D2YcV )E()E(EYYcXXa , ),(CovYXac XYacac .XY 补补1 1第28页/共35页第二十八页，共35页。29设A,B是二随机(su j)事件, 不不发发生生若若发发生生若若AAX, 1, 1

21、 不不发发生生若若发发生生若若BBY, 1, 1试证明X和Y 不相关的充分必要条件(b yo tio jin)是A与B独立.记，)(P),(P),(P1221ABpBpAp 则，12)1)(1(1)(E111 pppX,12)1)(1(1)(E222 pppYXY的可能(knng)取值为-1,1,并且1, 1P1, 1P1P YXYXXY)(P)(PBAAB )(P)(P)(P1)(PABBAAB 并定义随机变量X,Y如下： 证)(P)(PBAAB ，211221ppp 补补2 2第29页/共35页第二十九页，共35页。30.21P1221pppXY 所以(suy)2() 1()21 (1)(E12212112ppppppXY ,12242112 ppp)(E)(E)(E),(CovYXXYYX ，211244ppp 因此(ync)0),(Cov YX2112ppp )(P)(P)(PBAAB 即X和Y 不相关(xinggun)的充分必要条件是A与B独立.，2112211PpppXY ，12)(E1 pX,12)(E2 pY) 12)(12(224212112 ppppp第30页/共35页第三十页，共35页。31设(X,Y )的联合密度(md)函数为 解.),(CovXYYX 及及相相关关系系数数求求协协方方差差先求出边缘(binyun)