从复数域的发展过程,谈谈您对数和数学的认识(论文)

1、 从复数域的发展过程，谈谈您对数和数学的认识摘要:域是数学上的一个概念，简单的说就是数的集合，这个集合对加、减、乘、除（分母不为零）四则运算封闭，复数域是由全体复数组成，是特殊的实数域，也是目前发现的最大的一个数域，在数学方面有着很广泛的应用。本论文主要从复数的四则运算，在复平面上的三角形式，在近世代数方面的应用，有关复数域的扩充和在其他领域的应用五个方面来认识数与数学。关键字：复数 域扩充 应用Abstract: domain is a concept of mathematics, It a collection of several in brief, this collection o

2、f addition, subtraction, multiplication, and division (the denominator is not zero) arithmetic closed, complex domain is composed of all the complex, is a special real domain, also is currently the largest discovery of a number field, has a wide application in mathematics. This thesis mainly from th

3、e complex arithmetic, triangle on the complex plane form, the application in modern algebra, complex domain expansion and in other areas of application in five aspects to know Numbers and math. Key word: complex Domain expansion application 目录摘要.1引言.31.复数的发展过程 .32.复数域内复数的四则运算.4 2.1复数的加法运算.4 2.2复数的减法

4、.4 2.3复数的乘法.4 2.4复数的除法.43. 复数域内复数在复平面的三角形式.5 3.1复平面.5 3.2复数在平面内的表示.5 3.3复数的三角形式.5 3.3.1复数的三角形式.5 3.3.2 非零复数辐角的多值性.6 3.3.3 辐角主值 .6 3.3.4复数三角形式的特点.6 3.4复数的向量表示.7 3.5极坐标形式.9 3.6复数的指数形式.104.复数域内复数在近世代数中的应用.115.关于复数的扩充.116.复数域在其他领域的应用.156.1拉普拉斯变换.15 6.2根轨迹法.16 6.3希尔伯特空间.17总结.18参考文献.20 引言 正如大家所知道的，全体自然数、全

5、体整数不够成域，全体有理数构成有理数域，全体实数构成实数域，全体复数构成复数域。“复数”、“虚数”这两个名词，是人们在用公式求一元二次、三次方程的根，遇到求负数的平方根的问题时提出的。复数域是实数域扩充的一个大域，其数学实质是使得x2+1=0在大域中有根。本论文主要从复数的四则运算，在复平面上的三角形式，在近世代数方面的应用，有关复数域的扩充和在其他领域的应用五个方面来认识数与数学。 1.复数的发展过程 复数从提出到证明再到推广经历了一个漫长的过程。1545年，意大利数学家卡丹诺（GirolamoCardano,1501年1576年）在大术一书中，首先研究了虚数，并进行了一些计算，1572年，

6、意大利数学家邦别利（RafaclBombclli,1525年1650年）正式使用“实数”“虚数”这两个名词。此后，德国数学家莱布尼兹（GottfriedWilbclmLcibniz,1646年1716年）、瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler,1707年1783年）和法国数学家棣莫佛（AbrabamdeMoivre,1667年1754年）等又研究了虚数与对数函数、三角函数等之间的关系，除解方程以外，还把它用于微积分等方面，得出很多有价值的结果，使某些比较复杂的数学问题变得简单而易于处理。大约在1777年，欧拉在发表的微分公式中第一次用i来表示-1的平方根。1832年，德国数学家高斯（Ca

7、rlFricdrichGauss,1777年1855年）第一次引入复数概念，一个复数可以用abi来表示，其中a，b是实数，i代表虚数单位，这样就把虚数与实数统一起来了。高斯还把复数与复平面内的点一一对应起来，给出了复数的一种几何解释。不久，人们又将复数与平面向量联系起来，并使其在电工学、流体力学、振动理论、机翼理论中得到广泛的实际应用，然后，又建立了以复数为变数的“复变函数”的理论，这是一个崭新而强有力的数学分支，所以我们应该深刻认识到了“虚数不虚”的道理。 16世纪意大利米兰学者卡当（Jerome Cardan15011576）在1545年发表的重要的艺术一书中，公布了三次方程的一般解法，被

8、后人称之为“卡当公式”。卡当公式就是对于不完全三次方程其求根公式是：他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（15961650），他在几何学（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。 面对数系的不断扩充，直到现在最大的数域复数域，新的问题就出来了：是否还能在保持复数域的基本性质的条件下对复数进行新的扩张呢？ 对于在复数域的发展过程中对数与数学的认识我们从以下几个方面来认识和理解。2.复数域内复数的四则运算设，是任意两个复数，我们规定： 2.1 复数的加法运算 复数的加法运算法则： 复数的加法运算律： 结合律： 交换律：

9、 2.2复数的减法 复数减法是加法的逆运算，复数的减法运算法则： 2.3复数的乘法 复数的乘法运算法则规定复数的乘法按照以下的法则进行： 设，是任意两个复数，那么它们的积 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换 成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 乘法运算律： (1) (2) 2.4复数的除法 复数除法定义：满足的复数叫做复数 除以复数的商，记为：或者 除法运算规则： 设复数，除以，其商为， 即 3.复数域内复数在复平面的三角形式 3.1复平面 借助于横坐标为x、纵坐标为y的点来表示复数，x轴的叫实轴 y 轴上的非原点的点对应着纯虚数，故y轴

10、称为虚轴，这样表示复数z的平 面称为复平面。 3.2复数在平面内的表示 x Z(a,b) b r o a y a 复数的实部 r 向量的模长b 复数的虚部 在复平面上表示出复数z=a+bi所对应点和所对应的向量. 3.3复数的三角形式 3.3.1复数的三角形式 定义：复数表示成的形式叫复数 三角形式，其中为复数的辐角 y Z(a,b) r O a x 因为：； 所以： 其中， ， 把叫复数的三角形式 叫复数的代数形式 3.3.2 非零复数z辐角的多值性。 以ox轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角叫复数 y Z r b O a x 的辐角，因此复数z的辐角是 3.3.3 辐角主值 定义：适

11、合的角叫辐角主值 表示法；用 表示复数z的辐角主值。 唯一性：复数z的辐角主值是确定的，唯一的。 3.3.4复数三角形式的特点： （1）； （2）同角即是相同的； （3）中间用加号连接； （4）前余后正。 3.4复数的向量表示 在复平面内与复数、对应的点分别为、（如图） y z2 Z z1 O x 向量对应于 向量对应于 向量对应于 与复数对应的向量 显然 则 例1下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式: (1)(2) 分析:由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向.变形时，可 按照如下步骤进行:首先确定复数Z对应点所在象限（此处可假定为锐角）， 其次判断是否要变换三角函数名称，

12、最后确定辐角.此步骤可简称为“定点 定名定角”.这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问 题的正确率. 解:（1）由“模非负”知，不是三角形式，需做变换: 复平面上在第三象限（假定为锐角），余弦“” 已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“+”将变换 到第三象限. （2）由“加号连”知，不是三角形式 （加号连就是cos和sin中间 是加号连接的），复平面上点在第四象限（假定为 锐角），不需改变三角函数名称，可用诱导公式 “”或“”将变换到第四象限. 或 考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一. 小结:对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于 初学

13、者来讲是个难点.有了“定点定名定角”这样一个可操作的步骤， 应能够很好地解决此类问题。 例2求复数的模与辐角主值. 分析:式子中多3个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因 此可利用三角公式消“1” 解： = （1） (1)式右端=- ， 小结:（1）式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为 错误之处在于他们没有去考虑角范围， 因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形 式.看了这道例题，你一定能解决如， 等类似问题. 例3将化为三角形式，并求其辐角主值. 分析:三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为弦”.下一步当然 是要分母实数化，再向三角形式转化.

14、解： , ， 小结:掌握三角变形是解决这类问题的根本.但在此之前的解题方向一定 要明确，即要分析式子结构.比较其与三角形式的异同，从而决定变形的 方向，采用正确的方法.要求学生做好每道例题后的反思，并能由此及彼， 举一反三，达到熟练解决一类问题的目的，如, , 等. 3.5极坐标形式 作为替代，复数z可以用极坐标来指定。极坐标是叫做绝对值或模的 和叫做z的辐角的。对于，任何值的都描述同一个数。要得到唯 一的表示，常规的选择是设置。对于辐角 模以2后是唯一的； 就是说，如果复数辐角的两个值只相差精确的2的整数倍数，则它们被认为是等 价的。要得到唯一表示，常规的选择是限制在区间内，就是。 复数的极

15、坐标表示叫做复数的“极坐标形式”。 从极坐标形式到笛卡儿坐标形式的转换 从笛卡尔坐标形式到极坐标形式的转换 前面的公式要求非常繁杂的情况区分。但是很多编程语言提供了经常叫做atan2一个变体的反正切函数来处理这些细节。使用反余弦函数的公式要求更少的情况区分: 3.6复数的指数形式 在对复数三角形式的乘法规则讨论中，我们发现，复数的三角形式将复数的乘法“部分地”转变成加法（模相乘，幅角相加） 这种改变运算等级的现象在初等函数中有过体现： 对数函数与指数函数： 前者将两个同底幂的乘积变成同底的指数相加；后者将两个真数积的对数变成 两个同底对数的和。 从形式上看，复数的乘法与指数函数的关系更为密切些

16、 根据这个特点，复数应该可以表示成某种指数形式，即复数 应该可以表示成的形式。即： 定义：复数表示成的形式叫复数z的指数形式，其中 为复数z的辐角。 从复数的模与幅角的角度看，复数的指数形式其实是三角形式的简略化4.复数域内复数在近世代数中的应用 复数在近世代数中的应用，主要体现在复数域的构造；其构造复数域的过程如下： 在实数域R上负数是没有平方根的，即，a是正实数，这方程在R中无解。但实际上从16世纪开始就有数学家引入形如的数，其中a，b为实数，并且认为它也适合实数所适合的运算规则。这样所有负数的平方根可通过来表达，且能对形如的数进行加减乘除四则运算。这种形式的数称为复数。其后，人们证明了三

17、次和四次复数系多项式（包括实系多项式）的根能够通过系数的加减乘除和根式运算的某种公式来求得，即使是实系数多项式的实数根，其根的公式中也不能避免出现形式的复数。由此看出复数这个运算系统的引入是很有用的。尽管如此，由于记号的引入及运算缺乏严格的基础，许多数学家仍认为这种形式的数是“虚”的，“想像”的数，称为虚数。历史上，虚数的支持者与反对者的斗争经历了300年。到19世纪经过Gauss和Hamilton的平面点集上严格定义了四则运算，检验了运算规则才得到严格意义下的复数。中学课程中我们虽讲了复数，但也不是严格的构造。以上就是复数域的构造过程。5.关于复数的扩充从自然数集到复数集的扩张。其扩张共经历

18、了四次，即从自然数集到整数集；从整数集到有理数集；从有理数集到实数集；从实数集到复数集。在每一次扩张中，人们都遵守了如下的几条原则：  (1) 扩张的目的：在原数中不能总进行的某种运算，在扩张后的新数集中总能进行。 (2) 扩张后的集合要扩大：进行的每一次扩张总是从一个较小的原数集扩充到一个较大的新数集，且使得原数集是新数集的一部分。 (3) 保持原有的运算：进行扩张时，要使原数集中所能够进行的运算在新的数集中有意义，并且当把原数集中的数看成新数集中的数进行运算时，其结果应与它们在原数集中所得到的结果完全相同。 （4) 扩张的最小性与唯一性：要使扩张后的新数集是旧

19、数集满足以上的(1)、(2)与(3)原则的最小扩张，并且该扩张是唯一的。 我们已经看到，数集的每一次扩张，人们都能够解决一些在原数集中不能解决的问题。既然数集扩张后有如此的作用，所以人们自然会想到，能否将复数集再进行扩充，使得在扩充后的新数集中能够进行四则运算，并且复数集是新数集的一个特例。不仅如此，还希望这新的数集可以同空间向量等同起来，使两者的加法运算相一致。  诚然，这种愿望是美好的，同时也是十分自然的。历史上，这些想法曾困扰过许多数学家，但这些愿望却实现不了。因为满足所提要求的新数集是不存在的。  事实上，假设K是这样一个新数集。于是在取定了直角坐标系的空

20、间中表示向量的三数组应该同K中的元素,对应起来，其中是虚数单位，即，是添加到复数集中的一个新数。  为了与复数集一致，在K中自然规定：            当且仅当           于是当时，必有。   由于向量加法的定义是        所以在K中的两个元素的加法自然规定为    

21、 与相乘的结果自然要求属于K.故设 也就是        用乘(1)式两端后减法(2)式的两端得    由此得，这与是实数矛盾。这表明新数集K是不可能存在的。  我们在上面的讨论中，对新的数集K要求很多，至使我们不能如愿以偿。那么自然会问：若我们舍去某些要求，能否将复数集扩大呢?1883年，著名数学家威廉卢云哈密顿(Hamilton)将复数集扩张成“四元数集”.     我们记 称F是四元数集，称为四元数. 对于F中的两个数,， 我们规定：  &

22、#160;          当且仅当    此外，我们如下来规定加法运算：     显然，仍是F中的元素，称它为与的和.容易验证，对于加法来说，交换律与结合律均成立。  有了加法，仿复数情形，可定义加法的逆运算减法。用等式 来定义与的差. 对于 显然有：对于任意的有            我们称0为F中的零元. 称满足方程&#

23、160;           的y为x的负元.显然有                为定义乘法，先规定1,i,j,k之间的乘法如下： 其次规定： 依上述规定，可以证明，F中的乘法满足结合律，但不满足交换律；乘法对加法满足分配律。    对于，令   称为的共轭数.显然有可以算出   令&#

24、160;   称为x的模.显然，有且 对于任意的有     称1为F中的单位元.当时，有 称为x的逆元，记作 对于则方程            有唯一解.依此便可相应地定义乘法的逆运算除法。   至此，我们得到了一个包含着全体复数的四元数集F.在F上定义了加法与乘法两种运算。这两种运算都满足结合律，加法还满足交换律，乘法对加法还满足分配律。这两种运算都有逆运算。但是F中的乘法却不满足交换律。因此，F没有复数域中许多的性质。尽管

25、如此，这并不妨碍在F上建立四元数理论，它在物理、力学等领域有着许多实际的应用。四元数是由爱尔兰数学家威廉·卢云·哈密顿(Hamilton)在1843年发现的数学概念.从明确地角度而言，四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数就代表着一个四维空间，相对于复数为二维空间。四元数大量用于电脑绘图（及相关的图像分析）上表示三维物件的旋转及方位。四元数亦见于控制论、信号处理、姿态控制、物理和轨道力学，都是用来表示旋转和方位。相对于另两种旋转表示法（矩阵和欧拉角），四元数具有某些方面的优势，如速度更快、提供平滑插值、有效避免万向锁问题、存储空间较小等等

26、。在复数的扩张中，还有八元数和十六元数。八元数第一次被描述于1843年，于一封John Graves给哈密顿的信中。后来八元数由凯莱在1845年独自发表。凯莱发表的八元数和John Graves给哈密顿的信中所提及的并无关系。八元数可视为是透过实数构造而成的八维向量空间，它的乘法是由八个单位元素遵循规则进行的,八元数乘法不满足于交换律和结合律。十六元数透过实数形成16维的向量空间。彷如八元数，其乘法不符合交换律及结合律。十六元数的16个单元十六元数是: 1, , , , , , , , , , , 和。6.复数域在其他领域的应用 在之前我们谈了复数的发展历程和基础的计算方法等方面，现在我们将来

27、对复数的应用作简单的阐述。为什么是强调“简单”，针对这个问题，大家可以在通过我们的阐述过程里得到答案。以下是我们讨论得出的复数的一些应用。 6.1拉普拉斯变换首先介绍一下拉普拉斯变换的定义：拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏转换。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有引数实数的函数转换为一个引数为复数s的函数。解析该应用：从定义我们可以得出该定理是把定义域从实数转为在复数域上。即：在有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往在计算上容易得多。 用该复数的

28、应用的推广领域：拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。 6.2 根轨迹法 轨迹法定义：特征方程的根随某个参数由零变到无穷大

29、时在复数平面上形成的轨迹，称为根轨迹。（注：此处利用根轨迹分析和设计闭环控制系统的图解方法）解析该应用：大家都知道高等代数里特征方程在很多领域都有相关的应用和计算，但是当特征方程的次数不高于2时, 其根可用解析方法来简单地定出；但当特征方程的次数高于 2时，求根过程将变得相当复杂。于是就出现了根轨迹发在复平面上作图。于是我们得出结论：根轨迹法为简化特征方程的求根过程提供了一种有效的手段。 该复数的应的推广领域： 用于分析开环增益(或其他参数)值变化对系统行为的影响：在控制系统的极点中，离虚轴最近的一对孤立的共轭复数极点对系统的过渡过程行为具有主要影响，称为主导极点对。在根轨迹上，很容易看出开环

30、增益不同取值时主导极点位置的变化情况，由此可估计出对系统行为的影响。 用于分析附加环节对控制系统性能的影响：为了某种目的常需要在控制系统中引入附加环节，这就相当于引入新的开环极点和开环零点。通过根轨迹便可估计出引入的附加环节对系统性能的影响。 用于设计控制系统的校正装置：校正装置是为了改善控制系统性能而引入系统的附加环节，利用根轨迹可确定它的类型和参数设计。 6.3希尔伯特空间 希尔伯特空间定义：在数学中，希尔伯特空间是欧几里德空间的一个推广，其不再局限于有限维的情形。与欧几里德空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念）。 对该应用的理

31、解：因为该空间有距离和角的概念，于是一个抽象的希尔伯特空间中的元素往往被称为向量。在实际应用中，它可能代表了一列复数或是一个函数。例如在量子力学中，一个物理系统可以被一个复希尔伯特空间所表示，其中的向量是描述系统可能状态的波函数。 该复数的应的推广领域：（即在希尔伯特空间的复空间内的一些应用） 系统分析：在系统分析中，系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域。因此可在复平面上分析系统的极点和零点。分析系统稳定性的根轨迹法、奈奎斯特图法和尼科尔斯图法都是在复平面上进行的。无论系统极点和零点 在左半平面还是右半平面，根轨迹法都很重要。如果系统极点 位於右半平面，则因果系统不稳定， 都位于左半平面，

32、则因果系统稳定， 位於虚轴上，则系统为临界稳定的。 如果系统的全部零点都位於右半平面，如果系统的极点和零点关於虚轴对称，则这是全通系统。 信号分析：信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值|z|表示信号的幅度、辐角表示给定频率的正弦波的相位。 利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示：其中 对应角频率，复数z 包含了幅度和相位的信息。 电路分析中，引入电容、电感与频率有关的虚部可以方便的将电压、电流的关系用简单的线性方程表示并求解。有时用字母j 作为虚数单位以免与电流符号i混淆。另外还有反常积分、相对论、量子力学、应用数学流体

33、力学等等。以上是我们组讨论、查阅资料从而得出的一些与复数有关的理论应用，但是它们都有一个共同特征在实数域内难以计算，而在复数域内容易计算的应用。到这里大家应该清楚为什么“简单”论述了吧，因为真正在某一个单一的方面关于复数的应用几乎是没有的，而大多都是把复数结合在其它领域、其它学科。于是，我们就只简单的介绍探讨了复数的一些方面的应用。而若大家想要更加深刻明白地掌握复数的具体应用，我们可以推荐一些参考文献：总结本组论文主要从复数的四则运算，在复平面上的三角形式，在近世代数方面的应用，有关复数域的扩充和在其他领域的应用五个方面来认识数与数学，对于该题目，本组成员普遍认为范围太大，但通过这次讨论，还是

34、有所收获，最大的应该要说是了解了有关在复数域的基础上进一步扩充的问题，而这就涉及到四元数这一对我们很新的概念，在本组的论文中我们有对此的一些知识点的描述。大家也提出了一些自己的疑问和看法。本组成员的个人感想及部分问题： 周明琴（负责复数域在其他领域的应用）在查找复数的应用这部分里，我发现了复数的具体应用在一些实数不好解决的地方。比如说求积分的时候，可以变化上下线为复数就简单一些。从这一方面，我联系到实际生活里另辟蹊径的说法，如果现有的方法不能解决当前问题，那么我们是否应该换一种思维方式或者跳出一贯的思维找另外的方法。另一方面，我发现复数的应用并不仅仅只是单纯的复数的加减乘除或者复数自成一系统，

35、而多数都是和其它知识，其它学科紧密相连，更大部分是辅助其它领域解决应用问题。这让我联想到实际生活中分工合作，取长补短，共同促进的合作精神和绿叶甘为红花做衬的低姿态高尊容的精神。最后还发现，复数这么学科真的是们新，抽象但有用的学科，它是数的扩充，但并未取代实数的位置。关于对我们这个论题的感想：对于我们的这个论题，我将从论题本身、小组讨论过程和查询资料和撰写论文三个方面来谈。对于我们的论题，这个范围太大太广，我们不容易把握住中心论点，这也对我们查阅资料方面有了阻碍，但是这也是之所以是以小组为单位来完成该论题的目的。对于小组讨论过程，我们小组是比较认真严谨的，每次组长认真分配任务，记录员仔细到位的做

36、好记录，每个成员积极的发表自己的意见，但是由于该论题的难度，我们的讨论次数和时间都比较长，有时并未做到言简意赅，保质保量。但只是有时。查询资料这一块，每个成员都比较认真，翻阅图书馆，浏览各大网站等方式，可以看出两方面，第一，论题的确很难；第二，我们每个人都很认真。撰写论文，这一块主要是成员提供大部分资料，组长负责语言的整理和撰写，在大家的齐心协力之下，我们的论文按时按要求圆满的完成了。甘萍（负责复数的三角形式） 复数的三角形式把向量和复数的模有机的结合起来，使得复数的内容更加充实、生动、形象，是复数代数内容的升华，在学习复数的三角形式时，我们可以联系复数的代数形式，并把它与三角形式相融合，两种形式互化，可以使知识体系更加完备、灵活。另外，复数的三角形式是其乘法、除法