中值定理的证明技巧

1、中值定理的证明技巧第五讲中值定理的证明技巧一、考试要求1、理解闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，有界性定理，介值 定理)，并会应用这些性质。2、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中 值定理。掌握这四个定理的简单应用(经济)。3、了解定积分中值定理。二、内容提要1、介值定理(根的存在性定理)(1) 介值定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值ni之 间的任何值.(2) 零点定理设f(x)在a、b连续，且f(a)f(b)<0,则至少存在一点,cw(a、b),使得f(c)=O2、罗尔定理若函数/(X)满足：(1) /在恥上连续(2) /在(“上

2、)内可导(3) /(") = /()则一定存在孑 &小使得/«) = °3、拉格朗日中值定理若函数/满足：(1) 加在嗣上连续(2) /在(心呐可导则一定存在§ e (恥),使得f(b) - f(a)=广(§)0-«)4、柯西中值定理若函数 f(x),g(x) 满足：(1) 在泅上连续(2) 在(恥)内可导(3) 0ho/(力)-/二厂© 则至少有一点匸W(以)使得 g(b)-g(a) g©5、泰勒公式如果函数/在含有必的某个开区间(以)内具有直到+1阶导数，则当兀在(以)内时，/可以表示为的一个次多项式与

3、一个余项尺(兀)之和, 即/W=/Uo)+/Vo)U-x0)+/Vo)(x-x0)2 + +/(n)(x0)(x-x0)w+R/t(x) 其中恥)-时T(fC介于"与x之间).在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：1. 展开的基点；2. 展开的阶数；3. 余项的形式.其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的 泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公 式.而基点和阶数，要根据具体的问题来确定.6、积分中值定理若f(x)在a、b上连续,则至少存在一点cea> b|,使得f(x)dx=f(c)(b-a)Ja三、典型题型与例题题型一、与连续函数相关的问题(证明存

4、在訂吏/() = 0或方程f(x)=O有根)方法：大多用介值定理f(x)满足：在a, b上连续；f(a)f(b)<0.思路：1)直接法2) 间接法或辅助函数法例1、设/(x)在a,b上连续，a<兀v%2 v V£ vb,Cj>0(i = 12虫),证明存在冷“,使得/(门=仃/(“)+ 5/(心)+ 5心)仃+5+ 5例2、设>a>OJ(x)在a,b上连续、单调递增，且/(a) >0,证明存在< e (仍)使得a2f(b) + b2f(a) = 2ff)*例3、设/(X)在a,b上连续且/(x)>0,证明存在(a.b)使得 £

5、 f(x)dx =f(x)dx = |£/(x)dxo例4.设/(x),g(x)在a,b上连续，证明存在盘已")使得 g(§) f(x)dx=f(g)g(x)dx例5.设f(x)在0,1上连续，且f(x)<l.证明：2x-f/ = 1在(0,1)内有且仅有一个实根。在(吟内至少有-实根。例6、设实数"，“满足关系式诗+ (廿缶"证明方程a cosx + o? cos3x + + 心 cos(2n 一 l)x = 0 ,例 7、(0234, 6 分)设函数f(x),g(x)在a,b上连续，且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质，证

6、 明存在一点壮“"使得fMgMdx =g(x)dx题型二.验证满足某中值定理3-，例8、验证函数=« 2lxX < 1,在0, 2上满足拉格朗日中值定理，并求x>l满足定理的歹题型三、证明存在舟，使广"“） = 0（口，2,）方法：1、用费马定理2、用罗尔定理（或多次用罗尔定理）3、用泰勒公式思路：可考虑函数广小（切例9、设“丫）在a,b上可导且岸（°）广（b）<0,证明至少存在一个弘幽）使得.厂忆）=0例似设/(x)在0,3上连续，在(0,3)内可导，且/(0) + /+ /(2) = 3丿(3) = 1,证明存在一个g e (0,3

7、)使得广忆)=0*例1设/(X)在0,2上连续，在(0, 2)内具有二阶导数且终需=°，可：心=M)，证明存在代2使得.) = 0题型四、证明存在纭 使G(§J'(g),厂©) = 0方法：1)用罗尔定理(原函数法，常微分方程法.2)直接用拉格朗日中值定理和柯西中值定理(要求a, b分离) 思路：1) §换为兀2) 恒等变形，便于积分3) 积分或解微分方程4) 分离常数：F(x9f(x) = CF(x,/(x)即为辅助函数(1)用罗尔定理1)原函数法：步骤：将g换为X； 恒等变形，便于积分；求原函数，取c=0；移项，得F(x)例 12、设/(x)

8、,g(x)在a,b±连续，在(a,b)内可导，且g©)HO(.y("),求证g(G-g(b) 一帀例13、(0134)设f(x)在0,1上连续，(0,1)内可导，且 f() = kXel-xf(x)dx,k>证明:在(0,1)内至少存在一点©使 厂(§) = (1 -)/©).例 14> 设 f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且 f(a)f(b)>0,f(a) /(-) < 0, g(x)在a,b上连续，试证对北使得r©= gU)/©.*例15设f(x)在0, 1±连续，

9、在(0, 1)内一阶可导，且J f x)dx = 0,£ xf(x)clx = 0.试证： 呼(0,1),使得 广(§) = (1 +刖)/(§)2)常微分方程法：适用：北，广(勾=仅益/() 步骤：§TX,/'(X)= 0(XJ(X)解方程 G(x,/(x) = c 令 F(x) = G(x J(x)例16、设/(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(a) = f(b) = A9证明存在T")使得 f) + /() = 2*例17、设 f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0,f(l)=l,证明：对任意实数

10、几,必存在孑已(0, 1)，使得广©-刃/(-切=1(2)直接用拉格朗日或柯西中值定理例18、设/(“)在“，切上连续，在(以)内可导,求证存在RM),使得b_a例尊 设/(兀)在“上上连续，在内可导，求证存在纟丘上)，使得ba /(“)f(b)=严”(歹)+ ?'(§),心例20、设/(“)在“上上连续，在(“上)内可导(0<a<b)9求证存在§ w(a,b),使得 /W-/() = <ln-/XO7) = 3£/(xX7x例24设f(x)在-1, 1上具有三阶连续导数，且f(.l)=O,f(l)=l,r(O)=O,证明：在

11、(1,1)内存在一点S使得广(勺=3.例25-(103)设函数/(X)在闭区间0,3上连续，在开区间(0,3)内二阶可导，且2/(0)訂:/(x)厶*+/(3)(I) 证明存在 T) (0, 2),使得/()=/(0);(II) 证明存在 兵(0,3),使得广(矢0题型6、双介值问题F(帥)=0方法：1)同时两次用拉格朗日中值定理或柯西中值定理2)用一次后再用一次中值定理例26、设/在a,b上连续，在(a,b)内可导，0<a<bt求证存在咖幽)使例27、(051, 12分)已知函数/(兀)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且/(0) = 0,/(1) = 1证明：(1)存在<e(0,l),使得/=1-疳(2)存在两个不同的点，夕e (0,1)使得广()/'($) = 1题型7、综合题水例 29、(011, 7 分)设函数/(x)在内具有二阶连续导数，且/”(x)H