集合知识点归纳

1、高中数学第一章-集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集.考试要求：1 理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等 关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.集合知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法集合化简、简易逻辑 三局部：1、知识回忆：一集合1. 根本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性 .集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为A A ； 空集是任何集合的子集，记为 A； 空集是任何非空集

2、合的真子集；如果A B，同时B A，那么A = B.如果A B , B C，那么A C .注:Z= 整数 V Z = 全体整数 X集合S中A的补集是一个有限集，那么集合 A也是有限集.X例：S=N ； A=N，那么CsA= 0空集的补集是全集 假设集合 A=集合 B，贝U CbA=，CaB = Cs CaB = D 注： CaB =.3. x，y |xy =0， x R， y R坐标轴上的点集 x，y | xyvo，x R，y R 二、四象限的点集. x，y | xy>0， x R，y R 一、三象限的点集.注:对方程组解的集合应是点集.例：x y 3解的集合2， 1.2x 3y 1点集

3、与数集的交集是 .例：A = x，y| y =x+1 B= y|y = x2+1那么A Q B =4.n个元素的子集有2n个.n个元素的真子集有2n - 1个.n个元素的非空真子集有2n - 2个. 5一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题 逆命题.一个命题为真，那么它的逆否命题一定为真原命题 逆否命题.例：假设a b 5，那么a 2或b 3应是真命题.解：逆否：a = 2且b = 3，贝U a+b = 5，成立，所以此命 题为真 . x 1 且 y 2，x y 3.解：逆否： x + y =3 x = 1 或 y = 2.x 1 且 y 2 x y 3, 故 x y 3 是 x 1

4、 且 y 2 的既不是充分，又不是必要条件 .小范围推出大范围；大范围推不出小范围.3. 例：假设 x 5， x 5 或 x 2 .4. 集合运算：交、并、补 . 【并集】在集合论和数学的其他分支中，一组集合的并集是这些集合的所有元素构成的集合，而不 包含其他元素。根本定义：假设 A 和 B 是集合，那么 A 和 B 并集是有所有 A 的元素和所有 B 的元素，而没有其他元素的集合。 A和B的并集通常写作"A U B"。形式上：x是A U B的元素，当且仅当x是A的元素，或x是B的元素。举例：集合1, 2, 3和 2, 3, 4的并集是 1, 2, 3, 4 。数字 9 不

5、属于素数集合 2, 3, 5, 7,11, ? 和偶数集合 2, 4, 6, 8, 10, ? 的并集，因为 9 既不是素数，也不是偶数。 更通常的，多个集合 的并集可以这样定义：例如，A， B 和 C 的并集含有所有 A 的元素，所有 B 的元素和所有 C 的元素，而没有其他元素。形式上： x 是 A UB U C 的元素，当且仅当 x 属于 A 或 x 属于 B 或 x 属于 C 。代数性质：二元 并集(两个集合的并集)是一种结合运算，即 A U (B U C) = (A U B) U C。事实上，A U B U C也等于 这两个集合，因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。相似的，并集

6、运算满足交换率，即集合的顺序任意。 空集是并集运算的单位元。即 UA = A ，对 任意集合A。可以将空集当作零个集合的并集。结合交集和补集运算，并集运算使任意幂集成为布尔代数。例如，并集和交集相互满足分配律，而且这三种运算满足德摩根律。假设将并集运算换成对称差运算，可以获得相应的布尔环。【交集】数学上，两个集合 A 和 B 的交集是含有所有既属于 A 又属于 B 的元素，而没有其他元素 的集合。A和B的交集写作"A Q B"。形式上：x属于A Q B当且仅当x属于A且x属于B。例如：集合 1, 2, 3 和 2, 3, 4 的交集为 2, 3 。数字 9 不属于素数集合

7、2, 3, 5, 7, 11和奇数集合 1, 3, 5, 7, 9, 11的交集。假设两个集合 A 和 B 的交集为空，就是说他们没有公共元素，那么他们不相交。 更一般的，交集运算 可以对多个集合同时进行。例如，集合A, B , C和D的交集为A Q BQ C Q D = AQ (B Q (C Q D)。交集运算满足结合律，即 A Q (B Q C) = (A Q B) Q C。最抽象的概念是任意非空集合的集合的交集。假设 M 是一个非空集合，其元素本身也是集合，那么 x 属 于 M 的交集，当且仅当对任意 M 的元素 A ，x 属于 A 。一般地,设 S 是一个集合 ,A 是 S 的一个子集

8、 ,由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合 ,叫做 S 中子集 A的补1 :假设 A,C是集那么下恒等式成C - (AA B)=(C-A)U (C - B)C - (AU B)=(C-A)A (C - B)C - (B-A)=(AA C)U (C - B)(B - A)A C=(BA C)-A = B A (C -(B - A)U C=(BU C)- (A - C)集或余集记作CsA.在集合论和数学的其他分支中，存在补集的两种定义：相对补集和绝对补 集。补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。A - ? = A假设给定全集U ，中的相对补集称为A的绝对补集或简称补集，写作AC， 那么AC

9、 = U - A与补集有关的运算规律 求补律A U CsA=SAA A CsA=集合的性质：确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不A - A = ? ?-A = ?能成为集合，例如“个子高的同学“很小的数都不能构成集合。互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。不能写成1 , 1 , 2,应写成1 , 2。无序性：a,b,cc,b,a是同一个集合。集合有以下性质：假设 A包含于B,那么A A B=A , A U B=B集合的表示方法：常用的有列举法和描述 法。1. 列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法。1

10、 , 2,3, ? ? 2. 描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号 内，这种表示集合的方法叫做描述法。x|P x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同 属性如：小于n的正实数组成的集合表示为：x|0<x< n3. 图式法：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线或者说圆圈，用它的内部表示一个集合。常用数集的符号：1 全体非负整数的集合通常简称非负整数集或自然数集 ,记作N2非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作 N+ 或N*3 全体整数的集合通常称作整数集，记作 Z4 全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q5

11、全体实数的集合通常简称实数集，记作 R6复数集合计作C交： A B x | x A,且 x B并： A B x| x A 或 x B补：CuA x U,且 x A5. 主要性质和运算律A A,A,A U,C u A U,A B,B C A C; A B A,A B B; A B A,A B B.(2)等价关系：A B A B A A B B C u A B U ( 3)集合的运算律:1. 交换律a n b=b n aA U B=B U A2. 结合律(a n b) n c=a n (b n C)(A U B) U C=A U (B U C)3. 分配律a n (b u c)=(a n B)u

12、(a n C)a u (b n c)=(a u B)n (a u C)2德.摩根律Cs(A n B)=CsA U CsBCs(A U B)=CsA n CsB列举法和描述法是表示集合的常用方式。 吸收律A U (A n B)=AA n (A U B)=A求补律A U CsA=SA n CsA=(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1. 整式不等式的解法根轴法(零点分段法)将不等式化为ao(x-x i)(x-x 2) ? (x-x m)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“ + ；(为了统 一方便)求根，并在数轴上表示出来； 由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点(为什么？

13、)； 假设不等式(X的系数化“ + 后)是“ >0 ，那么找“线在x轴上方的区间；假设不等式是“ <0 ,那么找“线在x轴下方的区间.x x + + x1X2x3xm-3 -xm-2xm-1 -xmx23(自右向左正负相间)那么不等式a°xn aixn 1 a2Xn 2an 0( 0)(a° 0)的解可以根据各区间的符号确定特例一元一次不等式ax>b解的讨论；一元二次不等式ax 2+box>0(a>0)解的讨论.0002y =ax +bx +ca >0)的图象次方程ax2 +bx +c =0(a>0J 根仃两相异实根窃卷(片<x2)r L有两相等取bxd - x2 2a2ax +bx+c>0(a >0)的解集x ex或x >x2b x丰2aax2 +bx +c <0| a >0)的解集X| < x <x22. 分式不等式的解法(i)标准化：移项通分化为f %)>0(或 f(x)<o)；呕)=o(或 f(x)wo)的形式，g(x) g(x) g(x) g(x)(2)转化为整式不等式(组)0 f (x)g(x) 0； f % 0gf(xx)g(0x)0