一元二次方程讲义——绝对经典实用

1、一元二次方程讲义一一绝对经 典实用一元二次方程基础知识1、一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如 ax2 +bx + c = O (a*0)的-""般形式,我们把这样的方程叫一1兀二 次方程。其中4，bx. c分别叫做一元二次方程的二次项、 一次项和常数项，a、b分别是二次项和一次项的系数。如：2x2-4x + 1 = 0满足一般形式 ax2 + bx + c = 0 (aWO),2- -4x分别是二次项、一次项和常数项，2, 4分别是二次项和一次项系数。注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次 方程时，则

2、需要讨论字母的取值范围。2. 一元二次方程求根方法(1)直接开平方法形如Xj- 的方程都可以用开平方的方法写成x = ±而，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。(2)配方法通过配方将原方程转化为(x + n)=m(m2的方程，再用 直接开平方法求解。配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上初中数学:.第2页共61页.：一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1,只需方 程两边同时除以二次项系数，使之成为1。(3)公式法求根公式：方程ax、bx + c = O(a.O)的求根公式-b±Jb2 -4ac 2 A 、八、x = (b

3、-4ac>0)2a步骤:1)把方程整理为般形式:ax2+bx + c = O (a*0) ,a、2)计算式子b-4ac的值。初中数学，.第3页共61页.:3 )当 b ? -4ac > 0时，把a、b和b2 -4ac 的值代入求根公式计 算，就可以求出方程的解。(4)因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零,另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项 式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化 为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式 分解法。3、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到(/=x+i=±h2 - 4a

4、c4r ,显然只有当-4叱0时，才能直接开平方得:也就是说，一元二次方程 ax' + bx + c = 0(a 工 0) 只有当系数初中数学:第9页共61页.:/，、，满足条件 A = - 4ac > 0 时才有实数根.这里-4，叫做 一元二次方程根的判别式.4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程/+反+。=。（"。）的根由其系数八人，确定，它的根的情况（是否有实数根）由A =确定.设一元二次方程为&+6+。= °（"°）,其根的判别式为：A = /-4,理_ -b ± yjb1 - 4cic>（） =方程/

5、+队+。= 0（"。）有两个不相等的实数根依=一%._ _ b = 0 O方程/+以+ C = 0（“0）有两个相等的实数根"=*二一五.（OQ方程&+队+。= °（"°）没有实数根.若a, A, C为有理数，且A为完全平方式,则方程的解为有理根；若为完全平方式，同时T，±"2-4、是如的整数倍,则方程的根为整数根.说明： 用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有 两个不相等的实数根时，八。；有两个相等的实数根时, =。；没有实数根时，"。.在解一元二次方程时，一

6、般情况下，首先要运用根的判别式A”一，判定方程的根的情况（有两个 不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）.当时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根.当"。时=抛物线开口向上=顶点为其最低点;当"。时=抛物线开口向下=顶点为其最高点.5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：运用判别式，判定方程实数根的个数；利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围;通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代 数模型，解几何存在性问题，最值问题.6、韦达定理hc女口 ax

7、2 + hx + c = 0（ * 0）的两根是i2,则.（隐 含的条件：特别地,当一元二次方程的二次项系数为1时,设不， 士是方程丁 + Px + K的两个根，则演+/=- , A &F.7、韦达定理的逆定理以两个数” 士为根的一元二次方程（二次项系数为1）X1 -（X, + x2 ）x + xx2 = 0 .bc一般地，如果有两个数” %满足+"一屋那么” 士必定是 ax2 +bx + c = 0（“ 工 0） 的两个根.8、韦达定理与根的符号关系在 = ?-4ac>0 的条件下，我们有如下结论：ch当丁。时，方程的两根必一正一负.若一产°,则此 h方程的

8、正根不小于负根的绝对值；若一片°,则此方程的 正根小于负根的绝对值.c nh n当产时，方程的两根同正或同负.若一产，则此b n方程的两根均为正根；若二则此方程的两根均为负 根.更一般的结论是: 若” G是 ax2 + bx + c = 0（/ H 0）的两根（其中且加为实数，当维。时，一般地：（x 一 "】）（与 一 ?）v 0 = X m , x2 m（王 一，）（± -，） 0 日（为 一 ?）+ （x2 一 ） 0 0 % ？ ,x2，）（K -，） 0 日（七 一?）+（X, 一 】） 0 = a ， ,X特殊地：当初。时，上述就转化为 iix2 + b

9、x + c = 0（d * 0） 有两异 根、两正根、两负根的条件.其他有用结论：若有理系数一元二次方程有一根+",则必有一根"-"（% /，为有理数）.若“C 0 ,则方程/+队+ C = 0（工0）必有实数根.若 0 ,方程/ +灰+。= 0（ * °）不一定有实数根.（4）若 “ + + c = 0,贝丫 + 灰+ c = 0（，-0）必有一根 x = l .（5）若 一 + c = 0 ,则+ 次 + c = 0（ * 0）必有一根x = T .9、韦达定理的应用已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参 数的值；已知方程，求关于方程的两根的代数

10、式的值；已知方程的两根，求作方程；结合根的判别式，讨论根的符号特征；逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具 有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一 元二次方程的两根，以便利用韦达定理；利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定 要验证方程的.一些考试中，往往利用这一点设置陷 阱10、整数根问题对于一元二次方程*+法+。=。（"。）的实根情况，可以用 判别式也来判别，但是对于一个含参数的一元二次 方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没 有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然, 经常要用到一些整除性的性质.方程有擎数根的条件：有整数根，那么必然如果一元二次

11、方程& +x + c=0 3。0）同时满足以下条件：（1） 为完全平方数;（2） -b + jh2 - 4ac = 2uk b2 -4ac = 2ak , 其中k为整数.以上两个条件必须同时满足，缺一不可.另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保 证方程有有理根（其中八、，均为有理数）11、一元二次方程的应用1 .求代数式的值；2 .可化为一元二次方程的分式方程。步骤:1）去分母，化分式方程为整式方程（一元二次方程）。2）解一元二次方程。3）检验3 .列方程解应用题步骤：审、设、列、解、验、答板块一 一元二次方程的定义夯实基础例1把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再 写出它的

12、二次项系数，一次项系数和常数项。(1) 2y2 =y-7(2) V2 + 1-2x2+x = 0(3) (x + 5)(x-5) = 0(4)(5y + l)(2y-l) = y2-5(5 ) (m2 + l)x2 + n - mx = 0 (x是未知数)例2已知关于人的方程2/1是一元二次方程,求“ 的取值范围.例3 若一元二次方程(?-2)x2 + 3(m2 +15)x + m2 -4 = 0 的常数项为 零,则,的值为能力提升例4关于X的方程kMT2kT)x = l是什么方程？它的各项 系数分别是什么？例5已知方程.二。是关于，的一元二次方程，求八的值.例6若方程（ml） x2+ x=l

13、是关于x的一元二次方程，则m的取值范月A. m/1 B. m>0C. m>0 且 m/1D. m为任何实数培优训练例7加为何值时，关于x的方程-，-Q + 3）x = 4加是一,兀二次方程.例8已知方程2k一式，必=0是关于'的一元二次方程，求八的值.例9关于x的方程（m+3） xm2-7+ （m-3） x+2=0是一元 二次方程，则m的值为解：二该方程为一元二次方程，ni2-7=2,解得m=±3 ；当m=-3时m+3=0,则方程的二次项系数是0,不符合题意；所以m=3.例 10 （2000兰州）关于 x 的方程（m2-m-2） x2+mx+l=0 是一元二次方程

14、的条件是（）A.m,2c. m-1 或 m/2D. m/-l 且 m/2课后练习1、冽为何值时,关于X的方程-五天-S+3）m是一元二次 方程.2、已知关于x的方程3-J是一元二次方程，求的取值范围.初中数学:,第13页共61页.：3、已知关于*的方程(x-a)? = (ax-2尸是一元二次方程，求。的取值范 GESI4、若。是关于'的一元二次方程，求八的值.5、若一元二次方程(m - 2)x2 + 30M2 +15)x + m2 - 4 = 0 的常数项为零，贝!的值为板块二一元二次方程的解与解法 J夯实基础例1、(2012鄂尔多斯)若a是方程2x-x-3=0的一个解,则6a-3a的

15、值为()A. 3 B. -3C. 9D.9解：若a是方程2*x3=0的一个根，则有2a2-a-3=0,变形得，2a-a=3,故6a=3a=3x3=9.故选C.的值是（）例 2 （2011 哈尔滨）若x=2是关于x的一元二次方程x2mx+8=0的一个解.则A. 6B. 5C. 2 D, -6解：把x=2代入方程得：4-2m+8=0, 解得m=6.故选A例3用直接开平方法解下列方程(1) 3x2-9 = 0(2) (x + 2)2 - 3 = 0(3)2(3x + l)2 = 18初中数学:,.第1S页共61页.：(5) x2-6a + 9 = (5-2x)22(3x + l)2(4) 丁 = 8

16、(6) Vid)?=后例4先配方，再开平方解下列方程(1) x2-4x-4 = 0(2) 2y2 -y-1 = 0(3)2x2 =3-7x初中数学:,第19页共61页.：(5) 3y2 +1 = 2小y(4)x2+1x-l = 0(6) x2+2x-5 = 0例5用公式法解下列方程(1) x2-3x + 2 = 0(2) 2x-l = -2x2(3)(x + l)2 = -3x(a-5)(a-7) = 1x(6x +1) + 4x 3 = 2(2x + ) 2(6)x2-a-1 = 0例6用因式分解法解下列方程2x2-45%-450 = 0(1) 2x2 -3x-3 = O(3)产 日+ 2

17、= 0(2-x/3)x2-2(-1)x-6 = 0(5) x2 + 3a2 = 4ax - 2t/ +1(6) 9。一 2尸 一 160+1=0能力提升例7（2011乌鲁木齐）关于x的一元二次方程出1）x2+x+lal-Lo的一个根是。，则实数a的值为（A）A. -1B. 0 C. 1例8关于x的一元二次方程（a-l）x+ax+a-l=0的一个根是0,则a值为（C ）A. 1 B. 0C. -1D. ±1例9方程x2+ax+b=o与x2+cx+d=03c）有相同的根a,则a=将答： 祢 :方程/+aDc+b二。与x2+cx+d=0 （，c）有相同的根a,。同时满足方程3/+0+1&#

18、187;:=。和/+（:%十>1=0 Ca#c）,a4-aa+b= 0 ， :.<,a2+ca+d=0 > 由-0，潺（be） a+,b-d=0?即（be） OP-1+dba沪 c，a-c 声。，d-b Q a-c故普案为：粤例10已知.是方程 x2-2x-4=0的两个实数根则a3+8/6的值为A. -1B. 2C. 22D. 30解答；解：方程/-2x-4=0解是x=刑正，即*二1 ±a， a、隈方程/-2n-4=0的晒个实数根， ，当。=1+而 31-a时， 十瞅6,=(1+J5) 3种(1-45 +&,=16+8 +8-8 <5+6,=30 ；当

19、ci=l-格'gl+廊寸，必8附6,=(1-5) &+8 (1+J-5)+&，=16-8 晅 8+8 晅6,=30.故选D.例11关于X的一元二次方程(m-2) XmA-2+2mx-1=0的根是xi=xz=4解答：岁；根据一元二次方程的定义，得< jtl2-4=0 , 小-2,。斛得m=-2.则有方程即+1)沁,1义产2二-天故答案为；X尸2T，例12解方程：mx2 -(3m2 + 2)x + 6m = 0例 13 解方程/n?-（3*+2）x + 6,j = 0培优训练例14 （新思维）阅读下面的例题：解方程：lx 1-2 = 0.解：（1）当金。时，原方程化为

20、-7-2 =。,解得X=2,覆=-1 （不合题意,舍去），（2）当XV。时,原方程化为入"-2 = 0解得（不合题意，舍去）,原方程的根是演=2,中-2请参小一卜3 =。，则方程的根是例15解方程： x2+2|x + 2|-4 = 0例16 （新思维）设刈、孙是方程八1二。的两个实数根, 求代数式犬F*。的值.例17 (新思维)先请阅读材料:为解方程(1)、5)+ 4 =。，我们可以将XI视为一个整体,原方程化为 y: - 5y+ 4 = 0 ,当=i时，/一1=1,得、=±&；当尸4时，a-2-i=4,得”士而；故原方程的解为“凡”-凡占=-凡”-百.在解方程的过

21、程中，我们将*7用y替换，先解出关于y 的方程，达到了降低方程次数的目的，这种方法叫做“换 元法”，体现了转化的数学思想.请你根据以上的阅读，解下列方程：(1) -V4 -2 -6 = 0 (2)(*1)2-1 = 0.例18已知关于X的方程八向2 =。的一个解与方程言=3的 解相同.(1)求人的值;(2)求方程八七-2 = 0的另一个解.例19 （新思维）若X、y是实数，且加=-4孙+ 6户41），确 定机的最小值.x+2y-z=6 例20 （新思维）已知八小z为实数，且满足 x - y + 2x = 3 , 则-+，2 +严的最小值为.课后练习一、填空:元二次方程的般形式是2. k兀次方程

22、3x2 =5x + 6的一般形式是1. 一初中数学:.第23页共61页.：3 .关于X的方程(m+l)xFmx _ 3 = 0是一元二次方程，则IB的取值范围是 O4 .关于X的方程向41 + (m-2)x + m = 0是一元二次方程时,的取值范围是,是一元一次方程时，mD. x (x2+2) =02.-x2-15 = 05的取值范围是 二下列方程中，是一元二次方程的为A. x2+3x=0 B. 2x+y=3三、用两种方法解下列方程:1.05x2 -1 = 043. 3(1 - x)2 = 14 x2 -5x + 6 = 05. x2 =x + 72初中数学:.第#页共61页.：6. 3x2

23、-2 = 4x7. x2-2V2x = 28 x2 -3x- - = 049. 3-(2x-l) =010e (X-l)? +5X-3 = O(11)/ Ixl 1 = 0;(2)(r - 2x)2 + “2 _ 2x) _ 2 = 0;初中数学:.第2S页共61页.：U!解关于'的方程:(m - l)x2 + (2m - l)x + m - 3 = 0 五、解关于X的方程：a2(x2 -x + )-a(x2 - 1) = (1 一 l)x六、（新思维） ABC 中，三边BC = a,AC = b,AB = c,且满足/ +/+；/=。2c2 +, 试判定4ABC的形状七、（新思维）设

24、小7为实数，求代数式54届一瓯+ 2X + 4 的最小值.初中数学:.第33页共61页.：板块二一元二次方程根的判别式夯实基础例1不解方程，判断下列方程是否有实根，若有，指 出相等还是不等。(1) 8)，(2)，-5) = -25(2 )2x2 - 6x = 1(3)(a2 + l)x2 -2ax + (a2 +4) = 0 (X是未知数)例2如果关于x的一元二次方程内6-9 =。有两个不相等的 实数根，那么k的取值范围是（De A >1Ae k<例3已知，c为正数，若二次方程,“二。有两个实 数根，那么方程信+入+心。的根的情况是（）A.有两个不相等的正实数根B.有两个异号的实数

25、根C.有两个不相等的负实数根D.不一定有实数根例4若关于X的方程小.6x + 9 = 0有两个不相等的实数根,求k的取值范围。例5求证：当a和c的符号相反时，一元二次方程 +bx + c = O 定有两个不等实根。例6已知。、b、 c是的三边的长，且方程 丁+2()、+3一软)=。有两个相等的实数根,试判断这个三角 形的形状.能力提高例7关于、的方程(。-6)x2 - 8大 + 6 = 0有实数根，则整数的最大值是例8,为给定的有理数,我为何值时，方程2 +4(1-/?)。的根为有理数?例9k为何值时,方程伏-1）/（2k + 3）x + （ + 3） = 0有实数根.例10已知关于X的方程（

26、?一2）入2一2（吁1» +加+1 = 0在下列情况 F,分别求m的非负整数值。（1）方程只有一个实数根（2）方程有两个相等的实数根（3）方程有两个不相等的实数根例11 （新思维）已知一元二次方程k-（必-2» + 46=0有两个不相等的实数根.则k的最大整数值为例12 （新思维）如果一直角三角形的三边长分别为、b、c, ZB=90° ,那么，关于x的方程,心2 一 1）一2cv +以/+1）=。的根的情况是（）.A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定培优训练例13 （新思维）已知关于X的方程/-（A + 2）x + 2k=0（1

27、）求证：无论取任何实数值，方程总有实数根;（2）若等腰三角形A3C的一边长°=1,另两边长从c 恰好是这个方程的两个根，求AlbC的周长.例14 （新思维）已知函数y 和y"+i（D（1）若这两个函数的图象都经过点（1, ），求和左 的值;（2）当左取何值时，这两个函数的图象总有公共点?例15 （新思维）若xo是一元二次方程4£+泣+。=。（"。）的根, 则判别式A = jc与平方式M = （2ax（）+4 的大小关系是（）.A. A>MB. = c. A<A/ D.不能确定解：把X。代入方程ax+bx+c=O中得ax0+bx0=-c, (

28、2ax3+b ) =4a x0 +4abx0+b ,二(2aXo+b) =4a (ax02+bx0) +b =-4ac+b=A ，故选B例16 （新思维）关于x的方程3-，仅有两个不同的实根，则实数的取值范围是（).初中数学:.第S37页共61页.：A> 0°B.心4 C. 2<a<4 D. 0<a <4课后练习 1、一元二次方程的根的情况为（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根2、若关于，的一元二次方程+,=。没有实数根，则实数m的取值范围是（A. m<l B. m>-l C. m>lD.m

29、<-l3、关于x的方程八广。的两根同为负数，则（）A ./7> 0 日.f/> 0B " > 0 日、q < 0C . /? < 0 日.q > 0D . < 0 日.q < 04、不解方程，判断下列各方程根的情况（1） x2+l=O（2） 4x2 - 4x +1 = 0（3） lx2 -7x-3 = 05、k为何值时，方程（攵 l）/2（攵-7）入+ 2A+2 = 0的两个根相等?6、k为何值时,方程八3超+公=0有两个不相等的实根?7、已知 “>0 , b>a + cf 判断关于、的方程的根的情 况，并给出必要的说

30、明.8、已知关于1的方程42c 、5 =。有两个不相等的实数根，化简:11 -71-4， + 49、已知关于,的方程(M - m)x2 - 2inx + 1 = 0 有两个不相等的实数 根.求，的取值范围;若川为整数，且 Y,。是上述方程的一个根, 求代数式"i 一审+ 3的值.10、在等腰MBC 中，Z4、ZB、 ZC的对边分别为八八已知 4 =3 , b和c是关于'的方程、"+ 2一"=。的两个实数根, 求A48C的周长.11、如果关于X 的方程a + a)a+b) + (x+6)(x+c) + (% + c)(% + “) = 0 (其中 a 9 )

31、，均为正数)有两个相等的实数根.证明：以。，)，, 为长的线段能够组成一个三角形,并指出三角形的特征.12、k为何值时,方程2- +2E = (4A + l)x没有实根?板块二一元二次方程的应用夯实基础x+2 3k+ 10 八例1解方程二TE 二 °例2 一个车间加工300个零件，加工完80个以后， 改进了操作方法，每天能多加工15个，一共用了 6天完 成了任务，求改进操作方法后每天加工的零件的个数。初中数学:.第S41页共61页.：例3某商场运进120台空调准备销售,由于开展了促 销活动，每天比原计划多售出4台，结果提前5天完成 销售任务，原计划每天销售多少台？例4甲、乙两队学生绿

32、化校园，如果两队合作，6天 可以完成，如果单独工作，甲队比乙队少用5天，问两 队单独工作各需多少天完成？例5如图，在长为10cm,宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%,求所截去小正方 形的边长.例6某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈 利的年增长率相同.该公司2006年盈利多少万元?若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元?例7某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1.在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙

33、各保1m宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少米时，蔬菜种植区域的面 积是288m2?蔬菜种植区域能力提高例8 （新思维）如图，在宽为20m,长为32m的矩形地 面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种 上草坪.要使草坪的面积为540m2,求道路的宽（部分参考数据：322=1024, 522=2704, 482=2304).（第5题）例9 （新思维）某水果批发商场经销一种高档水果，如 果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查 发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日 销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多

34、少 元？解答：解：设街干克水果应旅价“元，（1分）依题意潺方程：（500-20z） （10+x） =6000, （4分）整理s微2-15y+50力（盼）解这个方程，得%二5, %2二10.（6分）要使顾客得到实惠，应取Q5. （7分）普:每千克水果应张价5元.（8分）例10 （新思维）如图，某农户打算建造一个花圃，种植 两种不同的花卉供应城镇市场,这时需要用长为24米的 篱笆，靠着一面墙（墙的最大可用长度是10米），I 成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽A笈为xm,面积为Sm2.（1）求x与S的函数关系式;（2）若要围成面积为45m2的花圃，4笈的长是多少米?（3）花圃的面积能达到48

35、m2吗？如果能，请求出此时Ab的长；如果不能，请说明理由.解答；解：(1)设AB的长是x米.(24-3x) 245 >解得x产当广布寸，长方形花圃的长为24-3万15,又调的最大可用长度a是10m,故舍去;当*=5时，长方形花圃的长为24-3x=g,符合题意；二战的长为5m .(2)花圃的面积为(24-3x) x=-3 (x-4>斗钻，二当AB长为4m，宽为12m时，有最大面祖，为48平方米.故花圃的面租能达到48m2,此时，岫的长为4-例11某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观,如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门

36、票收入.因此，博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数.在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系.在这样的 情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应 限定参观人数是多少？门票价值应是多少元？初中数学:.第S#页共61页.：解答:10k+b=700015k+b=4500解；设每周参现人数与票侑之间的一次函数关系式为产H+b把(10, 7000) (15, 4500)代入尸Iw+b中得飞二一500>=12000Ay=-500x+12000根据确保母周4万元的门票收入，得乂产旬。即又(-500x+12000) =40000x2-24x+80=0解得

37、二20又2二4把x20，七二4分别代入尸-50次+12000中得丫20。0, y2=10000因为控制参观人数，所以取x=20, y=2000答：身周应限定参飒人数是20。0人，门票价格应是20元/人.培优训练二、列方程解应用题1 .从一块长为80cm,宽为60cm的铁片中间截去一个 长方形，使剩下的长方形四周的宽度一样，并且小长方 形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度？初中数学:,第47页共61页.：2 .某车间一月份生产零件7000个，三月份生产零件 8470个，该车间这两个月生产零件平均每月增长的百分 率是多少？板块二一元二次方程根与系数的关系夯实基础例1若方程+ c = 0的一个根

38、为2+凡则方程的另一根为，c=.例2已知方程x2 +3x-5 = O 的两根为XI、必，则X； + 4=例3如果、乂2是一元二次方程aC+bx + cWd)的两根，那么，Xl+X2 = -,中2=£. 这就是著名的韦达定理.现在我们 aa利用韦达定理解决问题：已知m与n是方程2x/+3=O的两根。(1)填空:m+n=, mn=(2)计算1+1的值. m n有两个(2011厦门)已知关于X的方程x2.2x.2n=0不相等的实数根.(1)求n的取值范围;初中数学:,.第4S页共61页.：(2)若n<5,且方程的两个实数根都是整数，求n的 值.例5 (2011 孝感)已知关于X的方程

39、x2-2 (k -1) X + k2=O有求k的取值范目两个实数根F(1)(2)若区+X2 = XX2-1 ,求 k 的值.例6 （2011十堰）请阅读下列材料:问题：已知方程x2 + x-l =0 , 求一个一元二次方程，使它的 根分别是已知方程根的2倍.解：设所求方程的根为y,则y=2x所以“小 把代入已知方程，得（1+三_1=（） 化简，得 y?+2y-4 = 0故所求方程为 y° +2y-4 = 0这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换 根法”.请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所 求方程化为一般形式）:(1)已知方程Y + x - 2 =。，求一个一元

40、二次方程，使它 的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程 为:O(2)己知关于X的一元二次方程；M+bx+c = o有两个不等 于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是 己知方程根的倒数.的实例7 (2011南充)关于的一元二次方程x2+2x+k+l=O数解是和2(1)求k的取值范目(2)如果口且k为整数，求k的值.初中数学:,第57页共61页.：例8(2010淄博)已知关于X的方程Y-2 (k-3) x + k2-4k-l = 0.(1)若这个方程有实数根，求k的取值范围；(2)若这个方程有一个根为1,求k的值；(3)若以方程x2-2 (k-3) x + k2-4k-l=0 的两个根

41、为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数产”的图象上，求满足条件X的m的最小值.能力提升例1已知：关于x的一元二次方程kx2+ (2k-3)x+k-3 =0有两个不相等实数根(k<0).(I)用含k的式子表示方程的两实数根；(II)设方程的两实数根分别是，% (其中若一次函数尸与反比例函数y9工的图像都经过点(月，kX2),求一次函数与 反比例函数的解析式.例2 (昌平)已知：关于工的一元二次方程汗+2x + 2 -k=0.(X)若原方程有实数根，求的取值范围;(2)设原方程的两个实数根分别为再,当k取哪些整数时,2均为整数;利用图象，估算关于女的方程3越解.-4-耳例3 (顺义)已知：关于的

42、一元二次方程厂一(2/7/ + )x + 广 + di 2 = 0 (1)求证：不论，取何值，方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程的两个实数根再满足卜厂2G+署，求7的值.例4海淀09 模).已知：关于x的一元一次方程kx=x+2的根为正实数，二次函数yoz/fx+h(c#0)的图象与x轴一个交点的横坐标为L(1)若方程的根为正整数，求整数人的值;(2)求代数式中出的值;akc(3)求证：关于x的一元二次方程ax2_x+c=o必有两个不相等的实数根.例5知关于x的一元二次方程x2 +2ax + b2 = 0 , a > 0,b > 0.(1)若方程有实数根，试确定"，

43、方之间的大小关系;(2)若a : b=2 :后且“一公=2,求a, b的值；解：(1)V关于*的一元二次方程/+2” +八。有实数根,，A=(2tY)2-4Z?2>0,有a2-b2>0, (a+b) Ca-b) >0. a > O.b >0, ，a+b>09 a-b>0. a>b.2分(2) a ：b=2： 回，设a = 2k,b = #k .解关于X的一元二次方程X? +4" + 3攵* =0 9x = 一女或-34.当 $ = k,X=-3k 时,由 2%1 -x2 =2得k = 2 . =-3k,x2 = -k 时，由2$一占=2

44、得攵=一| （不合题 意，舍去）. n = 4,Z? = 2>/3 5培优训练例1设关于X的二次方程面一征+ ”+ （2公-6攵-4）工+公=4的两根都是 整数，求满足条件的所有实数k的值。例 2、已知关于x的方程aN（3aJ8a）x+2M-13a+15=0（其中a是非负整数）至少有一个整 数根，求a的值.例 3、设m是不为零的整数，关于x的二次方程展血1八+1=0有有理根，求m的值例 4、关于x的方程4叶2(配3”+(配2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值.例 5、已知关于x的方程x，+(a6)x+a=0的两根都是整数，求a的值.例 6、求所有有理数r,使得方程rx，+(r+

45、Dx+(rl)=O的所有根是整数.例7、已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m + 1 =0.(1)求证：无论机取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)当机为何整数时，原方程的根也是整数.解：明：A=( m + 3)2 - 4(m +1)=m2 + 6m + 9 4m - 4 =m2 + 2m + 5= 0 + 1)2 +4 V (w+i)2>0, ("2 + 1)2 +4 >0.无论机取何实数时，原方程总有两个 不相等的实数根2分(2)解关于x的一元二次方程X2+(/«+3)%+切+ 1 =0,得_ 7 3 ± J(7 + l)2 +4要

46、使原方程的根是整数，必须使得。田尸+4是完全平方数.贝!+ ? +1)(? -1) = 4 .。+1 。一1 一 1 的奇偶性相同,a + m + 1 = 2,卜/ + in +1 = -2,/ - in -1 = 2.= -2.a = 2, m = -1a = -2,/7/ = -1.将初=-1代入* = 一加一3±7(? + 1)2+4 俎2，府$ = -2, x2 = 0意.初中数学:,.第5s页共61页.：-1时，原方程的根是整数.例8知关于%的方程(1)/+2心+A+3 = 0.(1)若方程有两个不相等的实数根，求左的取值范 (2)当方程有两个相等的实数根时，求关于y的方+

47、(a-4k)y + a + =0解：=422-4(攵-1)(攵+ 3)的整数根金为正整数).二45一4攵 2一8攵+ 12=一队 + 121分V方程有两个不相等的实数根,y即17-1工0, 一族+ 12>0.初中数学:,第71页共61页.：的取值范3分(2)当方程有两个相等的实数根时，二一8 + 12=0 4分关于)的方程为V+("-6)y + a + l=0. ，= (a 6)2 - 4(a + l) = a2 12a+ 36 4a 4 = a2 16a+ 32= (a-8)2-32 -AS至整数，当-32是完全平方数时, 方程才有可能有整数根.、，田皿均为整数),(“一8尸一32 =(其中m为整数)， 32 = p*q ( p、 (。8)2，=32 艮|J (a 8+ ?)(一8 7)= 32 两式相加，得；(a - 8 + m)与(a 8 一2)的奇偶性相同，II 习产业2x16，4x8, (-2)x(-16) , (-4)x(8), =18或12或-18或-12或14或T (不合题意，舍去)或2.