(压轴题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试(答案解析)(1)

1、1.A.2.、选择题已知点x,y在圆（x 2）2+（y+3）2 1上，则x y的最大值是B.1c.、.2 1一x 3 cos在平面直角坐标系 xOy中，曲线C的参数方程为y sin的方程为x4,则曲线C上的点到直线l的距离的最小值是（D.21为参数），直线lA -22b. 2 2C. 1D.x23.已知Fi,F2椭圆一821的左右焦点，Q（2,历P是椭圆上的动点，则PQ PF1的最大值为（）A. 4C. 54,圆 J24sin一 与直线4A.相切B.相离5.曲线的参数方程为A.抛物线B.2 一一2 （ t为参数）的位置关系是（）二 t2C.相交且过圆心D,相交但不过圆心t2双曲线的6.已知曲线

2、C的参数方程为:y x 1的取值范围是（x（t是参数），则曲线是（）.C.圆D,直线cossin0,x,y在曲线C上，则B.1,1C.1,1、337.已知椭圆2 y b20 ,M为椭圆上一动点，Fi为椭圆的左焦点则线段 MFi的中点P的轨迹是A.椭圆B.C.双曲线的一支D.线段8.已知M为曲线C:sin(为参数）上的动点，设 O为原点，则 OM的最大cos值是A. 1B. 2C. 3D. 49.参数方程2cos（为参数）和极坐标方程sin6cos所表示的图形分别是（）A.圆和直线B.直线和直线C.椭圆和直线D.椭圆和圆10.在直角坐标系xOy中，过点P 1,2的直线1的参数方程为与2,L (t

3、为参二 t2数），直线1与抛物线y = x2交于点A,B ,则PA PB的值是（B. 2C- 3 2D.102 x11.若动点（x,y）在曲线一 42/ 1（b 0）上变化，则2x 2y的最大值为（）A.b242b(b4(04)C.b： 4 412.已知点b<：4)B.44(0b 2)A是曲线2b(b>4)D. 2b1上任意一点，则点 A到直线sin( ) J6的距离的 6最大值是（A _62二、填空题B.13.在平面直角坐标系中，记曲线x ty 2 0与曲线C交于A、C 为点 P（2cos 1,2sinB两点，则| AB |的最小值为1）的轨迹，直线14.在平面直角坐标系xOy中

4、,_x cosOO的参数方程为y sin,（为参数），过点(0,22）且倾斜角为的直线l与OO交于A, B两点.则的取值范围为15.点P在椭圆7x2+4y2=28上，则点P到直线3x2y16=0的距离的最大值为 16.已知点B在圆O： x2 y2 16上，A 2,2 ,OM OA OB,若存在点N使得MN为定长，则点N的坐标是17.点M x,y是椭圆2x2 3y2 12上的一个动点，则 m x 2y的最大值为（为参数），P为曲线C上的动点，直线的方程：19.已知曲线 的参数方程为x y 4,则点p到直线的距离d的最小值为t3FTt2FT（t为参数），则以下曲线的说法中:关于原点对称;在直线y

5、1下方； 关于y轴对称；是封闭图形，正确的有20.已知直线l4t. 52,（t为参数）与x轴交于点M ,点N是圆x 、3 cos18.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：y sin22x y 4y 0上的任一点，则| MN |的最大值为三、解答题21.已知圆C的极坐标方程为x4cos 8sin ,直线l的参数方程为（t为参数）（1）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;（2）求直线l被圆C截得的线段AB的长.x22.在平面直角坐标系 xoy中，曲线C的参数方程是y标原点。为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线2 3cos3sin（0为参数）.以坐l的极坐标方程为:（cos sin ）

6、 t（1）求曲线C的极坐标方程;（2）设直线0= -（R）与直线l交于点M,与曲线C交于巳Q两点，已知| OM |6OP| | OQ|=10,求 t 的值.23.在直角坐标系xxOy中，曲线C的参数方程为y3cos广 ，（为参数），、，5 sin直线lx的参数方程为O为极点，x轴的非负半轴为极轴1 t2，L , （t为参数），以原点乌2,，一， 八 2建立极坐标系，点 M的极坐标为 2,.(1)求直线l与曲线C的普通方程；(2)若直线l与曲线C交于 巳Q两点，求MP| MQ的值.x 2 t24.已知直线l的参数方程为-(t为参数)，曲线C的极坐标方程为y 、.3t2 cos21.(参考公式 c

7、ossin2cos2)(1)求直线l的普通方程及曲线 C的直角坐标方程；(2)求直线l被曲线C截得的弦长.25.在直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，已知直线的极坐标方程 22为 l: cos 2 sin 5 ,曲线 c ： x_ y 143(1)写出直线l的直角坐标方程和曲线 C的参数方程；(2)在曲线C上求一点P,使它到直线l的距离最小，并求出最小值 .2十x t226.已知直线l的参数方程为一 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非,2y 4 t2负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos .(I )求出直线l的普通方程以及曲线 C的直角坐标方程；(n )

8、若直线l与曲线C交于a , B两点，设P 0, 4 ,求PA PB的值.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1. . C解析：C【分析】设圆上一点P cos 2,sin 3 ,则x y sin cos1,利用正弦型函数求最值，即可得出结论【详解】设(x2)2 (y3)2 1 上一点 P cos 2,sin3 ,则 xy cos2 sin 3 sincos 1、2sin12 14,故选：C【点睛】本题考查圆的参数方程的应用，考查正弦型函数的最值2. B解析：B【分析】设曲线C上任意一点的坐标为式可得出曲线C上的点到直线【详解】l的距离的最小值.设曲线C上任意一点的坐标为、3 cos

9、,sin所以，曲线C上的一点到直线l的距离为3 cos sin 422sin4 2sin3 , -2-2k k Z 32时，d取最小值，且,4 2dminLV2 ,故选：B.【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用,考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，解题时可将椭圆向cos ,sin ,利用点到直线的距离公式结合辅助角公上的点用参数方程表示，利用三角恒等变换思想求解，考查运算求解能力，属于中等题3. B解析：B【分析】利用椭圆的参数方程设出椭圆上的点P 2J2cos ,2sin ,利用平面向量的数量积公式求得PQ PF1的表达式为4 2J2sin4sin2 ，然后根据二次函数的性质求解最值即可【详解

10、】22椭圆 二 上1左、右焦点分别为Fi 2,0 , F2 2,0 , 84设 P 2&cos ,2sin ,Q 2,我，-2 2sin 2 2 2 cos , 2sin4sin29.2 2一 4 sin2PQ 2 2石cos，亚 2sin , PF12 2>/2cos , 2sin ,PQ PF12 2 2cos4 8cos22.2sin4 2 2sin4sin2当sin42时，pQ PF；的最大值为 三 故选B.42【点睛】本题考查椭圆的简单性质、参数方程的应用，三角函数结合配方法求解最值，考查转化思想以及计算能力.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是

11、用圆锥曲 线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函 数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单 调性法以及均值不等式法求解 .4. D解析：D【解析】分析：先应用xcos , y ? sin ,将曲线J24sin 化为直角坐标方程,412x 一t轨迹为圆，再化简22 为直线x y 1 0 ,利用圆心到直线的距离公式，求出1 2.y t2 2距离，判断与半径的关系，从而确定直线与圆的位置关系详解：224sin 2J2 sin cos ,化为直角坐标方程为：42222x2 y2 2x 2y 0即 x 1 y 12,圆心为11

12、 ,半径为亚t 化为普通方程为直线 x y 1 0t则圆心到直线的距离为 1 11 J222故直线与圆相交且不过圆心故选D点睛：本题主要考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，参数方程转化为普通方程，还考 查了直线与圆的位置关系，属于基础题。5. A解析：A一 ，一、一 12分析：根据平方关系（t -）2 t【解析】,21t 7 2消参数，再根据曲线方程确定曲线形状xt2详解：参数方程为 yc 11则 x2 t2 3 2 y 2,t2整理得：y x2 2是抛物线.故选A .点睛：1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法.2.把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是

13、参数，并且要注意参数的取值对 普通方程中x及y的取值范围的影响.6. C解析：C【解析】分析：由题意得曲线C是半圆，借助已知动点在单位圆上任意动,而所求式子y x 1 , y 11 -xxy 1y的形式可以联想成在单位圆上动点xP与点C(0, 1)构成的直cos即sincossin由题意作出图形,y 11 -一，则k可看作圆 x(x2)2(y 1)2 1,上的动点P到点C(0,1)的连线的斜率而相切时的斜率， 由于此时直线与圆相切,在直角三角形ACB中， ACB30'一 33由图形知，k的取值范围是0,y x 1则7的取值范围是1,1x故选C.点睛：此题重点考查了已知两点坐标写斜率，及

14、直线与圆的相切与相交的关系，还考查了 利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想.7. A解析：A【解析】设 M (acos , bsin). Fi(c,0),线段MFi的中点P(acos c bsinacos cx 2bsin y 丁cos2y，点P的轨迹方程为(x £)222a4，线段MFi的中点P的轨迹是椭圆.故选A.8. D解析：D【解析】从曲线C的参数方程中消去1,故曲线C为圆，而OC3,故02 4210 0OM的最大值为39. D解析：D【解析】x 2cosy sin圆，所以选D.为椭圆；6coscos6x为10. B解析：B【解析】设A,B对应的参数分别为t1,t2 ,把

15、l的参数方程2t2代入乌2x中得:2 t 1 ,整理得：t2 72t 2222,故选B.ti t2近ti?22, PA?PB “同 |tit211. A解析：A【分析】用参数表示出x,y,由此化简2y ,结合三角函数、二次函数的性质，求得2x 2y的最大值.【详解】f(Hb若一4故选:2cos ,4sin 2bsin ,2bsinbW4,则当 sin2y 4cos2b、24(sin )42bsinf(sin),1,1 .b ,N时f()取得最大值,则当sin 1时f()取得最大值2b.【点睛】本题考查的是椭圆的性质及椭圆的参数方程，可以从不同角度寻求方法求解，本题用了椭 圆的参数方程结合三角函

16、数的最值进行求解.12. C解析：C先将直线sin(【分析】6) 场化为直角坐标系下的方程，再用椭圆的参数方程设出点坐标，利用点到直线的距离求解【详解】由直线 sin(3 .一sin2cos6"d ,即 V3y x20.又点A是曲线y2 1上任意一点，设、.3 cos ,sin则点A到直线x 2而 0的距离为6 sin3M 当 sin21时取得等号故选：C，属于中档【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、椭圆的参数方程和点到直线的距离题.、填空题13.【分析】由消去8得（x+1） 2+ （y-1） 2=4得曲线C的轨迹是以C （- 11）为圆心2为半径的圆再根据勾股定理以及圆

17、的性质可得弦长的最小值【详 解】由消去8得（x+1） 2+（y-1） 2=4；曲线C的轨解析:2.2【分析】x 2cos1一 一由消去0得（x+1） 2+ （y 1） 2=4,得曲线C的轨迹是以C （ - 1, 1）为y 2sin 1圆心，2为半径的圆，再根据勾股定理以及圆的性质可得弦长的最小值.【详解】x 2cos1一 一由消去。得（x+1） 2+ （y- 1） 2=4,y 2sin 1曲线C的轨迹是以C（- 1, 1）为圆心，2为半径的圆，又直线x ty 2 0恒过点D 2,0 ,且此点在圆内部故当CD AB时|AB|最短，|AB|=2“ CD22夜，故答案为：2庭【点睛】本题考查了简单曲

18、线的参数方程，考查圆的弦长公式，准确计算是关键，属中档题.14.【分析】先将圆化为普通方程直线与交于两点转化为圆心到直线的距离小于半径求得的取值即可【详解】因为的参数方程为（为参数）可得是以（00）为圆心半径r=1的圆当时直线l与圆有2个交点；当设直线1:要使直3解析：一,4 4【分析】先将圆化为普通方程，直线 1与0。交于A , B两点，转化为圆心到直线的距离小于半 径，求得的取值即可.【详解】-x cosc c因为OO的参数方程为，（为参数），可得x2 y2 1是以（0,0）为圆心，y sin半径r=1的圆 当 一时，直线l与圆有2个交点;2-,设直线 l： y kx J2kx y J2

19、0要使直线l与圆有2个交点，即圆心到直线的距离小于半径,即1 k21解得k 1或k 1.3所以 的取值范围为（一,一）U（,）4 22 4综上所述,的取值范围（一,【点睛】本题考查了参数方程和直线与圆的位置关系，解题的关键在于转化，易错点是没有考虑直线斜率不存在的情况，属于中档题型 .15.【分析】可设点坐标是点到直线的距离由此能求出点到直线的距离的最大 值【详解】在椭圆上椭圆的标准方程是可设点坐标是点到直线的距离故答案为【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用以及点到直线的距离公式辅助角公式.24 一解析： 1313【分析】可设P点坐标是2cos , J7sin，点p到直线3x 2y 16 0的距

20、离6cos 2、-7sin 169-41133 8sin16 ,由此能求出点P到直线3x 2y 16 0的距离的最大值.【详解】/ P在椭圆7x2 4y2 28上，22椭圆7x2 4y2 28的标准方程是 1 ,47可设P点坐标是 2cos , J7sin , 0360点P到直线3x 2y 160的距离6cos 2、.7sin 169-48sin16 , 0360dmax24限故答案为24A.本题考查椭圆参数方程的应用以及点到直线的距离公式、辅助角公式的应用，属于中档题利用辅助角公式 f x a sin x bcos x Ja2 b2 sin( x )可以求出：f2周期p单调区间(利用正弦函数

21、的单调区间通过解不等式求得)；值域ja2b2,402b2 ;对称轴及对称中心，由 x k 可得对称轴方程，2由 x k可得对称中心横坐标.16.【分析】设B (4cos 9 4sirn)M (xy)又A (22)结合可得消去参数得答案【详解】如图设且则即到的距离为定长点N的坐标是故答案为【点睛】本题考查平面向量的坐标运算考查圆的参数方程是中档题 解析：2,2【分析】设 B (4cos9, 4sin 9 , M (x, y),又 A (2, 2),结合 om, oA oB 可得x 4cos2,消去参数得答案.y 4sin2【详解】如图，设 B 4cos ,4sin , M x, y , A 2,

22、2 ,且 OM' OA OB，x,y 4cos 2,4sin 2 ,x 4cos 2则 y 4sin 2,即(x 2)2 (y 2)2 16.M到N 2,2的距离为定长，点N的坐标是2,2 .故答案为2,2 .【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查圆的参数方程，是中档题.17 .【解析】设是椭圆上任意一点设则所以(其中)应填答案解析：22设M (x, y)是椭圆2x2 3y2 12上任意一点，设-6cos)(其中x J6 cos , y 2sin ，所以 x 2y 76cos4sinV22sin( tan 号),应填答案疹18 .【分析】点P用参数表示把问题转化为求三角函数的最值来解

23、决【详解】 设点则点P到直线的距离当时d取最小值【点睛】本题主要考查用三角函数解 决最值问题要重点掌握解析：2【分析】点P用参数表示，把问题转化为求三角函数的最值来解决。【详解】设点P(J3cos ,sin ),则点P到直线x y 4 0的距离石8ssin 42sin(§)4 ,当 sin() 1时，d 取最小d223值，d 2【点睛】本题主要考查用三角函数解决最值问题，要重点掌握。19 . 【解析】【分析】由曲线的参数方程推导出且对选项逐个分析即可得到答案【详解】解：曲线的参数方程为(t为参数)则且即则即假设点在图形上 则若曲线的图形关于原点对称则点也在图形上即且解得显然不符合题意

24、故解析：【解析】【分析】3由曲线 的参数方程推导出 一x2,且0 y 1, x R ,对选项逐个分析即可得到答1 y案。【详解】x解：曲线 的参数方程为yt3下1_x,即 tt227t为参数)，则0 y 1，x R,且y（-）23t x ,则 y y一，即一y- x2,y1（ x）21 yy3假设点（Xo，y0）在图形上，则 -y0 Xo2 ,1 Vo3-Vo 2若曲线的图形关于原点对称，则点（-Xo，-yo）也在图形上，即-2 Xo ,且1+yo33-VoVo.士-二°一,解得y0=o,显然不符合题意，故 错误；1+yo1 v。3若曲线的图形关于 y轴对称，则点（-Xo,yo）也在

25、图形上，即 -v° Xo2,显然成立，故1 Vo正确；由于o y 1,故正确；因为x R ,所以不可能为封闭图形。故答案为【点睛】本题考查命题真假的判断，考查参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题。2o.【分析】由直线的参数为直线的普通方程求得再由圆的方程求得圆心坐标 为半径利用两点间的距离公式求得进而得到的最大值【详解】由直线可得直线 的普通方程令则即直线与x轴的交点坐标又由圆的圆心坐标为半径则所以的解析：2、, 2 2【分析】由直线的参数为直线的普通方程4x 3y 8 o,求得M（2,o）,再由圆的方程，求得圆心坐标为C（o,2），半径R 2 ,利用两

26、点间的距离公式，求得 MC2&,进而得到 MN的最大值.【详解】3x t 2由直线l :5,可得直线的普通方程 4x 3y 8 o ,v*令y 。，则x 2,即直线与x轴的交点坐标 M（2Q）, 又由圆x2 y2 4y 。的圆心坐标为C（o,2）,半径R 2 ,则MC J22 222石，所以MN的最大值为2，2 2.本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及点与圆的位置关系的应用，其中解答中 把点与圆的最值问题转化为点与圆心之间的距离d R求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力 .三、解答题2221. (1) x 2 y 420; (2)炳.【分析】(1)利用极坐标

27、与直角坐标互化公式，将4cos 8sin 左右同乘以 ，即得解;(2)将直线l的参数方程代入圆的方程，求解出t1,t2,利用参数方程的几何意义，ABti t21 J ti t2 2【详解】(1)由 4cos 8sin2 ，圆C的直角坐标万程为 x22即 x 2 y 4x(2)直线l的参数方程y,结合韦达定理，即得解可得202 4 cos 8 sin4x 8y 0与2l (t为参数)代入x2 y2 4x 8y 0化简得二tt2 " 7 0，t1 t2 J2,tt27据t的几何意义得：AB t1 t2| 711 t2 2 4t1t230【点睛】 本题考查了参数方程和极坐标综合，考查了学生

28、综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题22. (1) 2 4 cos 5 0; (2) 1 V3或 73 1.【分析】(1)由曲线C的参数方程，可得曲线 C的普通方程，再将其化为极坐标方程.(2)将 6代入 cos sin t中，求得| OM| ,将 g代入24 cos 5 0 中，得 2 2J35 0,得至U |OP| |OQ|=5.再根据|OM| |OP| |OQ|=10,解得 t 值即可.【详解】(1)由曲线C的参数方程，可得曲线C的普通方程为 x 2 2 y2 9,即 x2 y2 4x 5 0. . x cos , y sin ,故曲线C的极坐标方程为 2 4 cos 5 0 .

29、(2)将 一代入 cos sin t中，得 U3t ,则J3 1t.622，一代入 4 cos65 0 中，得 2 2J3设点P的极径为1 ,点Q的极径为2 ,则1 25 .所以 | OP| | OQ|=5 .又|OM| |OP| |OQ|=10,则 5 向 1 t =10. t= 1 73或 73 1【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查了利用极坐标解决长度问题，考查了学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.2223. (1)直线l的普通方程为，3x y 2，3 0 ;曲线C的普通方程为1 ;95-4【分析】(1)直线l的参数方程消去参数 t可得直线l的

30、普通方程，曲线 C的参数方程变形代入cos2sin21可得曲线C的普通方程；(2)首先求出点 M的直角坐标，判断出点 M在直线l上，联立直线l与曲线C的普通方程得到关于t的一元二次方程，根据直线的参数方程的几何意义进行求解【详解】(1)因为直线l的参数方程为1 t 23 32(t为参数)，消去参数t可得直线l的普通方程为旧xy2/30 .x 3cos因为曲线C的参数方程为 厂(为参数)，y 5 sin22由cos2sin21可得曲线C的普通方程为 1 .952(2)因为点M的极坐标为 2, ，所以M的直角坐标为1,J3 ,点M的坐标满足直线l的方程J3x y 2，30 ,则点M在直线l上,将直

31、线l的参数方程代入曲线C的普通方程得8t222t 13 0一1113则 11t20,11t20,48 215故 MP MQt1 t2 tj t1 t24t1t2 .【点睛】本题考查参数方程与普通方程的相互转化、直线参数方程的几何意义，属于中档题24. (1) y 向x 2); X2 y2 1 (2) 2斤【分析】(1)求直线l的普通方程可由参数方程消去参数即可；求曲线C的直角坐标方程先对曲线 C的极坐标方程为2 cos21进行化简，然后用 cos X , /】sin?= y代入即可；(2)联解直线和双曲线方程，求出交点的横坐标，代入圆锥曲线的弦长公式即可 【详解】解：(1)直线l的方程为y 坞(x 2)由2cos2 1得2_2(cos2 sin ) 122(cos )( sin )1cos x , QsinO = yx(2) 将y2x2解得y2 1直线l的方程为y 用(x 2)J3(x 2)代入 x2 y2 1 得12x 13 0610610"2' x2