2021-2021学年度北师大版八年级下册等腰(边)三角形性质与判定解答题专练-培优版

1、2021-2021北师大八下等腰(边)三角形性质与判定解答题专练-培优版AD=AC ,1 如图， ABC中，AB=AC，点E, F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上,(1) 求证： ABEAACF ;(2) 假设厶BAE=30，那么 ADC=2 ，如图， AABC为等边三角形，AE=CD , AD、BE相交于点P (1) 求证：AAEBCDA ;(2 )求BPQ的度数；(3) 假设 BQAD 于 Q, PQ=6, PE=2，求 BE 的长.,ac=ae ,3 如图，点E在厶ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，假设 C=S, DE=BC求证：AD平分 BDE.Q在矩4 如图，

2、四边形 ABCD是矩形， PBC和厶QCD都是等边三角形，且点 P在矩形上方，点 形内证明：(1) PBA= PCQ= 30°(2) PA= PQ.CBA5 如图，ACB和ADCE均为等腰三角形，点 A、D、E在同一直线上，连接 BE假设ACAB=CDE = CED = 50°.求证：AD = BE ；求AAEB的度数.m为6.如图，在平面直角坐标系中，直线y= x+2与x轴，y轴分别交于A , B两点，点C ( 2,1直线y= x+2上一点，直线 y =- x+b过点C.2(1 )求m和b的值;1(2) 直线y= - x+b与x轴交于点D ,动点P从点D开始以每秒1个单位

3、的速度向x轴负方向运2动.设点P的运动时间为t秒.假设点P在线段DA上，且 ACP的面积为10,求t的值；是否存在t的值，使 ACP为等腰三角形？假设存在，直接写出t的值；假设不存在，请说明理由.7 .如图，在 ABC中，AD是BC边上的高，BE平分 ABC交AC边于E,两线相交于F点.(1 )假设厶BAC=60 , C=7C° ,求厶AFB的大小；(2)假设D是BC的中点， ABE=3C，求证： ABC是等边三角形.&如图，在 ABC中，AB=AC=2, B=AC=40。，点D在线段BC上运动(D不与B、C重合)，连接AD，作ADE=4C° , DE交线段AC于E

4、.(1) 当BDA=115° 时，EDC=° , DEC=° ;点 D 从 B 向 C 运动时，ABDA 逐渐变(填大或小；(2) 当DC等于多少时， ABDDCE，请说明理由；(3) 在点D的运动过程中，ADE的形状可以是等腰三角形吗？假设可以，请直接写出ABDA的度数.假设不可以，请说明理由.9 .如图，在 ABC和厶ADE中，AB=AC , AD=AE，且 BAC=A DAE，点E在BC上.过点 D作DFA BC,连接 DB .求证：(1) ABDAACE ;(2) DF=CE .10.如图，在 ABC中，AB= AC, D, E, F分别在三边上，且 BE

5、 = CD, BD = CF , G为EF的中占八、假设AA= 40 °求AB的度数；(2)试说明：DG垂直平分EF.11如图， ABC, ADE是等边三角形，B , C, D在同一直线上.求证：(1)CE = AC + CD ； (2) ECD= 60°.12如图，AABC是边长为5cm的等边三角形，点 P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段 AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s当点P到达点B时，P, Q两点停止运动，设点 P的运动时间为 t (s) (1 )当t为何值时，APBQ是直角三角形?(2)连接AQ、CP，相交于点M，那么点P, Q在运动的过程中，CMQ会

6、变化吗？假设变化，那么说明 理由；假设不变，请求出它的度数.13.如下图，在ABC中,虫BC和AACB的平分线交于点 0,过点0作EF ABC,交AB于点E,交AC于点F.假设 AABC=40 ° ,ACB=60。求 AB0E+ AC0F 的度数;假设AEF的周长为8 cm,且BC=4 cm,求ABC的周长.14 ABC为等边三角形，点 D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边作 等边 ADE(顶点A、D、E按逆时针方向排列)，连接CE.如图1，当点D在边BC上时，求证： BD= CE , AC= CE+CD ;(2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，

7、结论AC = CE+CD是否成立？假设不成立,请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；AC、CE、(3) 如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出CD之间存在的数量关系.15 .，Rt ABC中， C=90°, BC=6 , AC=8.动点P从点A出发沿 A BC的方向以每秒 2个单位的速度运动设P的运动时间为t (秒).(1) 请直接用含t的代数式表示 当点P在AB上时，BP=; 当点P在BC上时，BP=;2 求厶BPC为等腰三角形的t值.备用图16如图，边长为4cm的等边 ABC中，点P、Q分别是边AB、BC上的动点端点除外，点P

8、从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为 1cm/s，连接AQ， CP交于点M，在点P， Q运动的过程中.1求证： ABQXACAP ;2 QMC的大小是否发生变化？假设无变化，求 QMC的度数；假设有变化，请说明理由;3连接PQ,当点P, Q运动多少秒时， PBQ是直角三角形?17. 12分如图1,Rt ABC中，AB = BC , AC = 2，把一块含30。角的三角板 DEF的直角顶点 D放在AC的中点上直角三角板的短直角边为 DE，长直角边为DF，点C在DE上，点B在DF 上.1求重叠局部 BCD的面积；如图2，将直角三角板 DEF绕D点按顺时针方向旋转 30度，DE交BC于点

9、M , DF交AB于点N.求证：DM = DN ;在此条件下重叠局部的面积会发生变化吗？假设发生变化，请求出重叠局部的面积， 假设不发生变化,请说明理由； 如图3，将直角三角板 DEF绕D点按顺时针方向旋转 a度(0v av 90), DE交BC于点M , DF交AB于点N，那么DM = DN的结论仍成立吗？重叠局部的面积会变吗？(请直接写出结论，不需要说明理由)18.如图，点O是等边 ABC内一点，AOB 105 , BOC ，点D是等边AABC外一点,OCD=60 , OC=OD ,连接 OD、AD.(1 )求 AOD的度数(用含 a的式子表示)(2) 求证：VBOCVADC：；(3) 探

10、究：当a为多少度时， AOD是等腰三角形.19 .图1、图2中，点C为线段AB上一点， ACM与厶CBN都是等边三角形如图1,线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论;如图2, AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究 CEF的形状，并证明你的结论20. 背景如图 ， ABC与厶ADE均是顶角为40。的等腰三角形，BC，DE分别是底边，求证:BD = CE.探究如图b, ACB和厶DCE均为等边三角形，点 A , D , E在同一直线上，连接 BE. AEB的度数为 ; 线段BE与AD之间的数量关系是 .拓展如图c, ACB和厶DCE均为等腰直角三角形， ACB= DCE= 90°

11、;点A , D, E在同一直线上，CM DCE中DE边上的高，连接 BE.求 AEB的度数；请直接写出线段 CM , AE , BE之间的数量关系.21. 如图，点 B 在线段 AC 上，点 E 在线段 BD 上， ABD= DBC= 90 ° AB = DB , EB = CB , M ,N分别是AE , CD的中点.(1) 求证： ABMXA DBN ；(2)试探索BM和BN的关系，并证明你的结论.22. 如图，在 Rt ABC 中，= 90° AC = 8cm, BC = 6cm, M 在 AC 上，且 AM = 6cm,过点 A(与 BC在AC同侧)作射线ANA A

12、C,假设动点P从点A出发，沿射线 AN匀速运动，运动速度为 1cm/s，设点P运动时间为t秒.(1)经过秒时，Rt AMP是等腰直角三角形？经过几秒时，PW MB ?经过几秒时，PW AB ?(4) 当厶BMP是等腰三角形时，直接写出t的所有值.23. 如下图，在 ABC中，AB =AC, E为AB上一点，F为AC延长线上一点,BC 于 D，求证:DE = DF .BE=CF, EF 交24. 问题探究：如图1， ACB和厶DCE均为等边三角形，点 A、D、E在同一直线上，连接 BE .国1(1) 证明：AD=BE ;(2) 求厶AEB的度数.问题变式：D、 E在同一直线(3) 如图2, AC

13、B和厶DCE均为等腰直角三角形， ACB= DCE=90 ，点A、上，CM DCE中DE边上的高，连接 BE. ()请求出 AEB的度数；(判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由.25. 如图， AE FE,垂足为 E,且E是DC的中点.如图，如果FCA DC, ADA DC，垂足分别为 C, D，且AD = DC ,判断 AE是厶FAD的角平分 线吗？(不必说明理由)如图，如果 中的条件“ AD= DC'去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由;ADA FC' (1)中的结论仍成立吗？请说明理由.(3)如图，如果(1)中的条件改为26 AABC为等边

14、三角形，在线段 BC、CA上，且CE BD，直线AD与BE相交于M求证： ABD VBCE . AME 6027. 如图，在 ABC中，AB = AC, D是BC上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为点E、F.如图，当点D在BC的什么位置时，DE = DF?并证明；(2) 在满足第一问的条件下，连接AD，此时图中共有几对全等三角形？请写出所有的全等三角形(不必证明);如图，过点C作AB边上的高CG,请问DE、DF、CG的长之间存在怎样的等量关系？并加以 证明.128. 如图 1,在ABC 中，ACB=90 ° AC = BC,点 D 为 BC 的中点，AB =DE, B

15、E AC.2(1) 求证：ABCDEB ;(2) 连结 AD、AE、CE,如图 2.求证：CE是厶ACB的角平分线；请判断ABE是什么特殊形状的三角形，并说明理由.29. (1)如图(1),：在 ABC中， BAC= 90 ° AB = AC ,直线I经过点A , BD直线l,CE直线I，垂足分别为点 D、E.证明：DE = BD+CE .2如图2,将1中的条件改为：在 ABC中，AB = AC , D、A、E三点都在直线I上，且 BDA= AEC= BAC= a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论DE = BD+CE是否成立？如成立； 请你给出证明；假设不成立，请说明理由.3拓展与应

16、用：如图3, D、E是直线I上的两动点D、A、E三点互不重合，点 F BAC平分线上的一点，且 ABF和厶ACF均为等边三角形，连接BD、CE，假设 BDA = AEC = BAC ,求证：DF = EF .30. 如图1 , ABC的边BC在直线l上，AC ABC，且 AC=BC; AEFP的边FP也在直线l上，边EF 与边AC重合，且EF = FP.(1) 如图1,请你写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；(2) 将厶EFP沿直线I向左平移到图2的位置时，EP交AC于点0,连接AP，BO.猜测并写出BO 与AP所满足的数量关系和位置关系，并说明理由；(3) 将厶£卩卩沿直线I

17、继续向左平移到图 3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点 O,连接AP, BO.此时，BO与AP还具有(2)中的数量关系和位置关系吗？请说明理由.参考答案1. 解：(1) AB=AC, BM ACF在ABE 和ACF 中，AB ACB ACF ,BE CF ABEA ACF(SAS);(2) ABEAACF, BAE=30 , CAF=A BAE=30°,A AD=AC , A ADC=A ACD,18030=75 A ADC一2故答案为75.2. ( 1)证明： ABC是等边三角形,AA BAC=A C=60° AB=CA，在A ABE和A CAD中，AB= CABA

18、E= C ,AE= CD A ABEAA CAD( SAS)；(2) ABEA CAD , A ABE=A CAD,AA ABE+A BAP=A CAD+A BAP ,即厶 BPQA BAC=60 ；(3) BQ AD , BQP=90； PBQ=30； BP=2PQ=12, BE=BP+PE=12+2=143 .证明：在 ABC和厶ADE中，AC AE C E ,CB ED ABCAA ADE AB=AD , ADE=AB , BM ADB ADB=A ADE, AD 平分 BDE.4 证明：(1) 四边形ABCD是矩形, ABC= BCD= 90 ° PBCFHA QCD是等边三

19、角形， PB(5= PCB= QCD= 60 ° PBA= ABC- PBC= 30 ° PCD= BCD- PCB= 30 °, PCO= QCD PCD= 30 ° PBA= PCQ= 30 °(2) AB = DC = QC, PBA= PCQ, PB= PC, PABA PQC PA= PQ.5 .解：(1) CAB=A CBA= CDE CED= 50 ° ACB= DCE 180。一 2 X 50=80 ° ACB= ACD+ DCB, DCE= DCB+ BCE, ACD= BCE ACB和 DCE均为等腰三角

20、形， AC= BC, DC= EC,AC BC AD= BE ；在厶ACD 和厶BCE 中，有ACD BCE , ACDA BCE(SAS),DC EC(2) ACDA BCE , ADC= BEC ,点A、D、E在同一直线上，且 CDE= 50 ° , ADC= 180 °- CDE= 130 ° BEC= 130 ° BEC= CED+ AEB ,且 CED= 50 ° AEB= BECA CED= 130 °- 50 °= 80 ° .6.解：1把点C 2,m代入直线y x 2中得：m 224,点 C 2,4

21、Q直线y1x b过点C ,b, b 5 ；2由题意得：PD t,y x 2 中，当 y 0 时，x 20,x 2 ,A 2,0 ,1 1y x 5 中，当 y 0 时， x 50,2 2x 10,D 10,0 ,AD 10 2 12,QVACP的面积为10,1-12 t 410,2t 7,那么t的值7秒；存在，分三种情况：i当AC CP时，如图1,过C作CE AD于E，PE AE 4，PD 12 8 4，ii当AC AP时，如图2,AC AP1 AP2,42 42 4 .2 ,DR t 12 4,2 ,DP2 t 12 4 2 ；iii当AP PC时，如图3,QOA OB 2,BAO 45o，

22、CAP ACP 45o，APC 90°，AP PC 4,PD 12 4 8，即 t 8 ；综上，当t 4秒或12 4 2秒或12 4、. 2秒或8秒时，VACP为等腰三角形.7.解：(1) BAC=60； C=70° ABC=180°- 60 °- 70 ° =50； BE平分 ABC,1 FBD ABC=25°，2 ADA BC, BDF=90； AFBM FBD+A BDF=115°(2)证明： ABE=30 , BE 平分 ABC, ABC=60°, BD=DC, ADA BC , AB=AC , ABC是等

23、边三角形.8 .解：(1) EDC=180°- ADB- ADE=180°115 -40 ° =25 ° DEC=180°- EDC- C=180 -40 °-25 ° =115 ° BDA逐渐变小；故答案为25° 115° 小;(2)当 DC=2 时， ABDXA DCE ,理由： C=4C° , DEC/ EDC=140° ,又厶厶ADE=40 , ADB+A EDC=140° , ADB/ DEC,又AB=DC=2 ,(3 )当厶BDA的度数为110°

24、;或80°时， ADE的形状是等腰三角形,理由： BDA=110 时， ADC=70°, C=40； DAC=70°, AED=A C+A EDC=30° +40 ° =7,0 ° DACS AED, ADE的形状是等腰三角形；当 BDA的度数为80时， ADC=100°， C=40； DAC=40°， DACS ADE， ADE的形状是等腰三角形.9 .解：(1) BAC=DAE , BAC BAE=ADAE - BAE, ABAD=EAC .在 BAD 和厶CAEAD AE中， BAD EAC , ABADCA

25、E ( SAS);AB AC(2) BAD CAE , DBA MC .AB=AC, ©ABC.DF BC, ADFB = AABC = C=DBA，即 DFB=DBF , DF = CE.10 .解：(1) AB=AC , B=C, A=40； B=180 40 =70 °2(2 )如图连接DE ,DF,在厶BDE与厶CFD中,BD CFB C,BE CD BDEA CF(SAS), DE=DF (三角形全等其对应边相等)， G为EF的中点, DG EF, DG垂直平分EF.11.解：(1) ABC ADE是等边三角形， AE= AD , BC = AC = AB , B

26、AC= DAE= 60 ° BAD= CAE, BAD CAE(SAS) BD= EC. BD= BC + CD= AC + CD , CE= BD = AC + CD.由知厶BAD CAE, ACE= ABD= 60 ° ECD= 180 ACB- ACE= 60 °12.解：(1 )设时间为 t,那么 AP=BQ=t , PB=5-t,当 PQB=90° 时, B=60；5 PB=2BQ,得 5-t=2t, t=;3当 BPQ=90° 时， B=60；ZR 10 BQ=2BP,得 t=2 ( 5-t), t=；3510当第 秒或第一秒时，

27、PBQ为直角三角形；3 3(2) CMQ=60 不变.在厶ABQ与厶CAP中，AB ACB CAP 60 ，AP BQ ABQ CAP( SAS)， BAQS ACP, CMQ= ACP+A CAM/ BAQ+A CAM/ BAC=60° 13 .解:(1) EF BC,OCB= COF, )BC= ABOE.又 BO,CO分别是BAC和ACB的角平分线，1 1COF= FCO=ACB=30 ° ,BOE= OBE= ABC=202 2 BOE+ COF=50 ° .BOE= OBE, a OE=BE.=8 cm.AEF 的周长=AF+OF+OE+AE=AF+CF

28、+BE+AE=AB+AC ABC 的周长=8+4=12(cm).14. (1) ABCO ADE都是等边三角形， AB= AC = BC, AD = AE , BAC= DAE= 60 ° BAC- CAD= DAE - CAD,即卩 BAD= CAE.在厶ABD和厶ACE中，AB ACBAD CAE,AD AE ABD ACE(SAS) BD= CE. BC= BD+CD , AC = BC, AC= CE+CD ；(2)AC = CE+CD 不成立，AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC = CE - CD .理由： ABC和厶ADE都是等边三角形， AB= AC = BC,

29、 AD = AE , BAC= DAE= 60° BAC+A CAD= DAE+A CAD , BAD= CAE在厶ABD和厶ACE中,AB ACBAD CAEAD AE ABMA ACE(SAS) BD= CE CE- CD = BD - CD = BC = AC , AC= CE - CD ;(3)补全图形(如图)mAAC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC = CD - CE.理由： ABC和厶ADE都是等边三角形, AB= AC = BC, AD = AE , BAC= DAE= 60° BAC- BAE= DAE - BAE, BAD= CAE在厶ABD和厶AC

30、E中，AB ACBAD CAEAD AE ABD ACE(SAS) BD= CE. BO CD - BD, BO CD - CE, AC= CD - CE.15.解:(1) >90 °, BC=6 , AC=8 , ABi AC2 BC2 =10，BP=AB-AP=10 2t;BP=2t AB=2t 10;(2)分三种情况讨论：如图1，作BC的垂直平分线交 AB于点P，交BC于点巳连接PC,那么厶BPC是等腰三角形. 3=90 ° PEAAC .1BE=EC , AP=PB= AB=5 , t=5 十 2=2.52P 连接PC，那么厶BPC是等腰三角形.如图2，以B为

31、圆心，BC为半径作弧与 AB交于点PB=BC=6, AAP=AB BP=10 6=4 , t=4 - 2=2如图3,以C为圆心，BC为半径作弧与 AB交于点P.过C作CDAAB于D，连接PC,贝U ABPC -AC?BC=-AB?CD, CD= AC BC2 2是等腰三角形.=4.8, ABD = BC2 BD2. 62 4.82 =3.6.AB PC=BC=6, PD=BD=3.6，AP=AB BP=10 7.2=2.8，t=2.8 - 2=1.4综上所述：t=2.5或2或1.4.16. (1)证明： ABC是等边三角形, ABQS CAP=60°, AB=CA ,点P、Q的速度相

32、同, AP=BQ,在厶ABQ和厶CAP中，AB CAABQ CAP,AP BQ ABQ CAP(2) 解： QMC的大小不发生变化， ABQ CAP BAQS ACP, QMC= QAC+ ACP=A QAC+ BAQ=60°；(3) 解：设点P，Q运动x秒时， PBQ是直角三角形,贝U AP=BQ=x，PB=( 4-x)，当厶PQB=90时， B=60； BP=2BQ,即卩 4-x=2x ,4解得，x=-,3当厶PBQ=90时， B=60； BQ=2BP,即卩 2 ( 4-x) =x ,解得，x= 8 ,34 8当点P, Q运动一秒或秒时， PBQ是直角三角形.3 317解： AB

33、=BCAC=2,D是AC的中点，1CD=BD= AC=1,BD AC.2111 S/bcd = CD BD= X 1 X 1=.222(2) 证明：连接BD,那么BD垂直平分AC.BD=CD, ZC=ANBD=45 ° ,又厶CDM MBDN, CDM BDN(ASA).DM=DN.11由知 CDM BDN , AS四边形bndm = Sbcd = ，即此条件下重叠局部的面积不变，为一22(3) DM = DN的结论仍成立，重叠局部的面积不会变18.解：(1) OCD 60，OC OD ,VOCD为等边三角形， COD 60， AOB 105， BOC ， AOD 360AOBBOC

34、COD195；(2) ABC和VOCD均为等边三角形， BC AC, OCDC ,ACBOCD60 , ACB ACO OCD ACO,即 BCO ACD 在VBOC和VADC中，BC ACBCO ACD ,OC DCVBOC VADC (SAS)；(3) VBOCVADC , ADC BOC= VOCD为等边三角形. ODC 60， ADO ADC ODC 60 又由(1)可知 AOD 195, OAD 180 AOD ADO 45， AOD是等腰三角形， ADO AOD ,即 60195,解得 127.5 , ADO OAD，即 a 6045，解得 105， AOD OAD ,即19545

35、 ,解得 150综上：当127.5或105或150时， AOD是等腰三角形19. (1) ACh/与 CBN都是等边三角形， AC=MC,CN=CBA ACM/ BCN=60°. MCN=60 , ACN=A MCB,在/ ACN和/ MCB中，AC=MC, ACN=A MCB,CN=CB, ACNA MCB(SAS), AN=BM.(2) ACM=6C° , MCN=60 , ACM/ MCN, ACNA MCB, CAE=A CMB.在/ ACE和/ MCF中， CAE=A CMF, AC=MC, ACE=A MCF, ACEA MCF(ASA), CE=CF,20.

36、解：背景： BAC= DAE= 40 ° BAC- DAC= DAE DAC,即卩 BAD= CAE,AB AC在 BAD 和 CAE 中， BAD CAE ,AD AE BAD CAE BD CE ；探究： ACB和 DCE均为等边三角形， AC=BC，CD=CE， ACB/ DCE=60°， CDES CED=60°， ACB DCBS DCE-A DCB,即厶ACDA BCE，AC BC在厶ACD和厶BCE中，ACD BCE，CD CE ACD BCE ADCS BEC,点A，D，E在同一直线上， ADC=18060=120 ° BEC=120；

37、AEB=A BEGA CED=120-60=60 °故答案为：60° ACD BCE BE=AD,故答案为：BE=AD ；拓展： ACB和 DCE均为等腰直角三角形， ACB = DCE= 90° AC= BC, CD= CE , CDE= CED= 45 ° ACB DCB= DCE DCB,即厶 ACD = BCE,在厶ACD和厶BCE中，AC BCACD BCE ,CD CE ACD BCE AD= BE, ADC= BEC,点A, D, E在同一直线上， ADC= 180 ° CDE= 180 ° 45 °= 135

38、 ° BEC= 135 ° AEB= BEC CED= 135 ° 45 °= 90 ° DCE=9C°° CD=CE , CM DE , CM=DM=EM , DE=DM+EM=2CM ,又AD=BE , AE=AD+DE=BE+2CMAB DBDBC ,21 . (1)解：在 ABE 和厶 DBC中 ABDEB CB(2)解： MBN是等腰直角三角形，证明如下: ABEA DBC AE=CD, BAM/ BDN .M , N分别是AE , CD的中点，11 AM= AE ,CN= CD.22 AM=CN.AN CN在厶A

39、BM和厶DBN中 BAM BDN ,AB BD ABMA DBN . BM=BN , ABM=A DBN . ABD/ DBC, ABD/ DBC=180° , ABD/ ABM+ DBM=90 . DBN+ DBM/ MBN=90 . MBN是等腰直角三角形.22. 解：(1)当Rt AMP是等腰直角三角形时， AP = AM = 6cm, i= 6 * 1 6(s),故答案为：6;当 PW MB 时， BMP= 90 ° BMC/ AMP = 90 ° 又厶 BMC/ CBM = 90 °在厶CBM和厶AMP中,CBM AMPBC MA,BCM MA

40、P CBMA AMP(ASA), AP= CM = 2, t 2,即经过 2秒时，PMA MB ;当 PMA AB 时，如图 1, PHA= 90 ° HPA+A HAP= 90 ° 又 HAP+A CAB = 90 ° APM= CAB,在厶APM和厶CAB中，APM CABMA BC,MAP BCA APMA CAB(ASA), AP= CA = 8, = 8,经过8秒时，PM AB ；2 10 , BP的最小值为 8,根据勾股定理得，BM = . bc2 cm 2 . 62 22 2、. 10 v 8, BW BP,当MB = MP时，在 Rt BCM 和

41、Rt MAP 中,BC MABM MP， Rt BCW Rt MAP(HL, AP= CM = 2,贝U t= 2,当PB =PM时，如图2,作BFAAN于F,那么四边形BCAF为矩形, BF= CA = 8, AF = BC = 6, PF= 6 - t,由勾股定理得， BP2= PF2+BF2 , MP2= AM 2+AP2 , pF+BF2= AM 2+AP2,即(6 -t)2+82= 62+t2 , 解得,t=16 一 ?3当 BMP是等腰三角形时，t = 2或16 .323. 证明：过点 E作EGA AF交BC于点G,B DEG=AF, A BGE=A BCA.A AB=AC , B

42、=A BCA B=A BGE BE=GE, BE=CF, GE=CF.在 DEG和 DFC中，DEG F,EDG FDC,GE CF. DEG DFC DE=DF.24解：1如图1,C園1 ACB和 DCE均为等边三角形， CA=CB，CD=CE， ACB=A DCE=60°， ACD=A BCE.AC BC在厶ACD和厶BCE中，ACD BCECD CE ACMA BCE( SAS), AD=BE ；(2) 如图 1, ACDXA BCE , ADC=A BEC, DCE为等边三角形， CDE=A CED=60°,点A, D, E在同一直线上， ADC=120°

43、, BEC=120； AEB=A BEGA CED=60° ；(3) ()如图 2, ACB和 DCE均为等腰直角三角形， AC=BC, CD=CE , ACB/ DCE=90° , CDES CED=45° , ACB DCBS DCE-A DCB,即厶ACD BCE ,AC BC在厶ACD和厶BCE中，ACD BCE ,CD CE ACMA BCE( SAS), BE=AD , BEC/ ADC, ADC=18045=135 : BEC=135° AEB=A BEGA CED=135°-45 ° =90°故答案为：90&

44、#176;；()如图 2° DCE=90 ° CD=CE ° CM!DE ° CM=DM=EM ° DE=DM+EM=2CM ° ACDAA BCE(已证)° BE=AD° AE=AD+DE=BE+2CM °故答案为：AE=BE+2CM .25 .解：(1) AE是厶FAD的角平分线；(2)成立，如图，延长 FE交AD于点B， E是DC的中点， EC=ED, FCA DC ADA DC， FCE=A EDB=90； 在FCE和BDE 中,FEC DEBEC ED ,FCE EDB FCEA BD, EF=

45、EB, AEA FE AF=AB , AE是厶FAD的角平分线；(3)成立，如图，延长 FE交AD于点B , AD=DC, FCE=A EDB在FCE和BDE 中,FEC DEBEC ED ,FCE EDB FCEAA BDE EF=EB, AE FE AF=AB , AE是厶FAD的角平分线26. 解：证明：VABC为等边三角形, AB BC , ABD C 60 , 在VABD和VBCE中,AB BCABD C,BD CEVABD VBCE SAS ,AD BEVABD VBCE, BADCBE, AMEABE BAD ,ABE CBE,ABC 60 27. 证明：ZD为BC中点，BD=CD,AB=AC, BMC,DEAB,DF AAC, DEBMDFCngO ° ,在 BED 和 CFD 中，B CDEB DFCBD CD ABED CFD (AAS )DE=DF.(2)A有 3 对全等三角形,有BEDCFD, X