2二项式系数的性质及应用苏教版选修30001

1、高二年级理科数学教学案5第一章计数原理152二项式系数的性质及应用(1)编写人：编号：011学习目标1、掌握二项式系数的四个性质。2、培养观察发现、抽象概括及分析解决问题的能力。学习过程：一、预习：1、利用二项式定理展开(a+b) 0,(a+b) 1,(a+b) 2,(a+b) 3,(a+b) 4,(a+b) 6,观察二项式系数有什么特点？2、.二项式系数表(杨辉三角)(a b)n展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3,时，二项式系数表，表中每行两端都 是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2.二项式系数的性质：(a b)n展开式的二项式系数是 C： , C：, C： , , , C

2、： . C：可以看成 以r为自变量的函数 f(r)定义域是0,1, 2/ ,n，例当n =6时，其图象是7个孤立的点(如图)(1)对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数 ( Cm)直线是图象的对称轴.(2)增减性与最大值.n - k 1, n 11= k :k2k n(n -1)( n-2)( n-k1) k j n - k 1Cn= k! =Cn ，二c：相对于c：4的增减情况由 丄土一1决定,kn +1当k时，二项式系数逐渐增大由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中2间取得最大值；当n是偶数时，中间一项 _取得最大值；当n是奇数时，中间两项 ,取得最大值.(3)各二项式系数和:-

3、(1+x)n =1+C：x+C：xr + +xn,令 x =1，则 2n C C；：ynn 练习：证明：在(a b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和二、课堂训练：例 1 已知(1 2x)7 = a0 - a1x a2x2 侶7'a7x7，求：(1)aa?a? ；( 2)aia3a5a7；( 3)| 玄 | c |£71.注意：赋值法不仅可以用来求二项展开式的系数和，对于展开式为多项式的代数式的系数和大多数也能用此方法解决，如：(1 x)5(1 -2x)6的展开式中各项的系数和为多少？可以看到(1 x)5(1 -2x)6的展开式仍是多项式，令x =

4、1，即得各项系数和为25(-1)6=32 再 比如：(1 x - x2)n = a0 a2x2 川"卜a2nx2n，则 a0 a2 - a4;(i'a2n等于多少？本题可以由取x =1得到各项系数和，取 x二-1得到奇数项系数和减去偶数项系数和，两式相1加可得a。 a' a2n(3n 1) 此外，为了赋值的需要，有时需要用一个新的二项2式替换原来二项式，只要它们的系数等同即可如：(x 2log2x)n的展开式中各项的系数和是多少？我们可以用一个更简单的二项式(1 2x)n代替原来的二项式，它们的系数并不改变，令x=1便得各项系数和为3n 例2.求(1+x)+(1+x) 2+, +(1+x) 10展开式中x3的系数。例3、在(x 2+3x+2)5的展开式中，求 x的系数。例4、用二项式定理证明：9910 -1能被1000整除。三、巩固练习：1、(1)求(1-X)3(1 X)10展开式中X5的系数； 求(x - 2)6展开式中的常数项.X2、求(1 X - X2)6展开式中X5的系数.3、求证：(1) cn - 2C2- ncn -n -2nJ;(2) C-1)1C23Cn4、利用二项式定理证明：32n 2 - 8n -9是64的倍数.5、展开2x32X26、若将(x y z)10展开为多项式，经过合并同类项