(完整word版)全国数学联赛金牌教练高中奥数辅导：第五讲不等式的证明

1、-1全国高中数学联赛金牌教练员讲座兰州一中数学组第五讲不等式的证明知识、方法、技能不等式在数学中占有重要地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛和高 考的热门题型证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据 是不等式的性质，不等式的性分类罗列如下：不等式的性质：a b a b 0, a b a b 0.这是不等式的定义， 也是比较法 的依据. .对一个不等式进行变形的性质：(1) abb a（对称性）(2) abacb c（加法保序性）(3)ab,c0ac bc; a b, c 0 ac bc(4)ab0a1 nbn,nalb(n N*).对两个以上不

2、等式进行运算的性质（1 1）ab,b cac（传递性）这是放缩法的依据（2 2）ab,c dacb d.（3 3）ab,c dacb d.（4 4）ab 0,dc0,ab,ad becd含绝对值不等式的性质:（1 1）|x| 1 a(a 0)2x2aa x a.（2 2）|x| 1 a(a 0)2x2ax a 或 xa.-2 -(3)|a|b| |a b| |a|b|(三角不等式)证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造 函数方法等当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”前者我们称之为综合法；后者称为分析法综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，

3、分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明 中使用得更为突出而已此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法赛题精讲例 1 1:a, b, c 0,求证：ab(a b)bc(b c)ca(c a) 6abc.【略解】ab(ab)bc(bc) ca(ca) 6abca(b22c2bc)2 2b(a c2 22ac) c(a b 2ab)a(bc)2b(ca)2c(ab)20ab(a b) bc(b c) ca(c a) 6abc.【评述】(1 1)本题所证不等式为对称式(任意互换两个字母，不等式不变)，在因式分解或配方时，往往采用

4、轮换技巧再如证明a2b2c2ab bc ca时，可将a2b2(ab bc ca)配方为1(a b)2(b c)2(c a)2，亦可利用a2b22ab,2 2 2 2b c 2bc,c a 2ca，3 3 式相加证明. .(2 2)本题亦可连用两次基本不等式获证. .a b c例 2 2：a,b,c 0，求证：aabbcc(abc)3.【思路分析】显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法a b【略解】不等式关于a, b,c对称，不妨a b c,则 a b,b c, a c R，且一，一，b c旦都大于等于 1.1.(4)| aia2an| | ai| |a2|an|.-3 -c-4 -（3

5、 3）本题还可用其他方法得证。 因aabbabba,同理 b b另aabbccaabbcc, 4 4 式相乘即得证(4 4)设 a a b b c c 0,0,则 IgIg a a IgIg b b IgIg c.c.例 3 3 等价于alg a blg b alg b blg a,类似例 4 4 可证a Ig a b Ig b clg c alg b b Ig c clg a alg c blg b clg a.事实上，般地有排序不等式（排序原理）设有两个有序数组a1a2an,b1b2bn，则aQa?b2anbn(顺序和）a1bj1a2bj2anbjn（乱序和）a1bna1bn 1anb1（

6、逆序和）其中j1, j2,jn是 1,2,n的任一排列. .当且仅当a1a2an或b1b2bn时等号成立. .排序不等式应用较为广泛（其证明略），它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序数组的积的形式. .如abc RJJ时,a333b c a2bb2cc2aa2ab2bc2c2 . 221 1.21 121 121 11 11 12 2 2a a b bc c. 2.22a a b b b b c c c ca;-a;-a ab b c c a ab b - -c c a a b bc cb bc ca ab bc ca aa ab bc c2 . 2.222 23.33例 3 3：a,b,

7、cR ,求证 ab ca bbcc aabc2c2a2bbccaab.a b ca b ca b ca(abc)32a b c 2b a c 2c a ba cb ab c c a c ba ba ba 厂(b)3a ca 厂(-)3c1.【评述】（1 1）证明对称不等式时,不妨假定n个字母的大小顺序，可方便解题（2 2）本题可作如下推广:右ai0(i1,2, ,n),则aa2a2anan品2an)aia2nanc b c aa cb b c c ,c,c a a c c a a ,-5 -【思路分析】中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明-6 -【略解】不妨设ac，则

8、兀叫1序和）b2b2组a3b3c3及 bc1b1c11（逆序和），同理c1山，则aa21a -cb2b2c21(乱b（乱序和）（逆序和）两式相加再除以 2 2,即得原式中第一个不等式再考虑数ac，仿上可证第二个不等式ab例 4 4 ：设，a2,an且各不相同,求证：112a2a3【思路分析】ann不等式右边各项ai可理解为两数之积，尝试用排序不等式【略解】设b1,b2,bn是 a1, a2,an的重新排列，满足b1b2bn，122所以a1132亚223a321-2. nan.b1n22的正整数，故b11,b22,bnn.从而b132b2bs【评述】排序不等式应用广泛,b3c3a2b b2c例

9、5 5:利用基本不等式证明a2b1,b2,bn是互不相同bnn1-，原式得n例如可证我们熟悉的基本不等式,b2ab b bc c ca ac2ab bc ca.bcb2b aca b b a,c ab 3abc.【思路分析】左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换 的方法【略解】2a【评述】（1 1）22XX2X3b22ab,同理 b利用基本不等式时,2XnX1x2X1再如证(a 1)(b31)(a c) (b2c32bc,c2a22ca；三式相加再除以 2 2 即得证除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧Xn，可在不等式两边同时加上x x2x x3X XnX

10、X1. .3223c） 256a b c （a,b,c 0）时，可连续使用基本不等-7 -8 -（2）基本不等式实际上是均值不等式的特例. .（一般地，对于n个正数a1,a2, an）（2 2 ）基本不等式有各种变式2b2等. .但其本质特征不等式两边的次2数及系数是相等的如上式左右两边次数均为 2 2，系数和为 1.1.441例 6 6：已知a b 1,a,b0,求证：a b .8【思路分析】不等式左边是a、b的 4 4 次式，右边为常数次式呢1i【略解】要证a4b4,即证a4b4（a b）4.88，如何也转化为a、b的 4 48【评述】（1 1）本题方法具有一定的普遍性. .如已知X1X?

11、X31, Xj330,求证：X1X21 111X3!.右侧的一可理解为一（&X2X3）3.再如已知X1X23 33332+ +X3X10,此处可以把 0 0 理解为（X1X2X3），当然本题另有简使证法8X2X30，求证：X1X2X2X3调和平均Hnn丄a111a2an几何平均Gnna1a2an算术平均An平方平均Qn这四个平均值有以下关系:时成立. .H HnG GnA.A.Q Qn，其中等号当且仅当玄2an-9 -例 7 7：利用排序不等式证明G GnA An. .【证明】令bi,n）则db2bn1，故可取X1,X2, Xn0，使得X1X21-10 -的几何平均，而右边为其算术平均

12、AAA【略证】n 1(11)n(11)(11) 1F j 个口【评述】（1 1）利用均值不等式证明不等式的关键是通过分拆和转化，使其两边与均值不1 1等式形式相近类似可证（1）n 1（1）n 2.b1,b2X2,bn 1bib2X1X2X3XXi=n=n.aiX3X2a2GnGn【评述】对a1【思路分析】bnXnXia24,bnXn（乱序和）1XnXn由排序不等式有:X1（逆序和）anGna2nanGn-1,各数利用算术平均大于等于几何平均即可得,an对于任意正整数原不等式等价于G GnA An. .R R，有(1n(1和1-，故可设法使其左边转化为1n n 个数(111-)(1 -) 1dn

13、nn 1n 1X1X21-11 -nn 1（2 2）本题亦可通过逐项展开并比较对应项的大小而获证，但较繁【证明】先证左边不等式n(1 n)11 1(11n)n-3n例 9 9： n n 为正整数，证明:n(11n)n11(n 1)nn 11-12 -(1 n)1(1 n)n1 1 123n1 1(1 1)$ 1) (3 1)nn 1(11)n(*)n 1n.n 1.(* *)式成立，故原左边不等式成立 其次证右边不等式(1(n13.11)1 11(12(13)(1丄)nn_ (*)(*(*)式恰符合均值不等式，故原不等式右边不等号成立针对性训练1 1.x, y, z 0,求证:xy 2yz 52Xz222 2.已知Xo,Xn 1XnXn(n0),求证：45X100045.1.3 3.已知X1X2X3p, X1X2X2X3X3X1q，求证:-13 -p23q 0;P22P 3q XiP2、P23q(i333 3