计算方法Chapter04 - 方程求根的数值解法

1、四方程求根2方程求根方程求根方程求根概述方程求根概述根的隔离根的隔离二分法二分法迭代法的基本概念迭代法的基本概念迭代过程的收敛性迭代过程的收敛性迭代法的收敛速度及加速处理迭代法的收敛速度及加速处理牛顿迭代公式牛顿迭代公式牛顿迭代法的收敛性及收敛速度牛顿迭代法的收敛性及收敛速度牛顿迭代法的初值选取牛顿迭代法的初值选取3引言引言( )0f x 科研工作或生产实践中遇到的数学问题，常常需科研工作或生产实践中遇到的数学问题，常常需要求解一元（单个变量）的方程（或方程组）要求解一元（单个变量）的方程（或方程组）当当 f (x) 为一般连续函数时，称上式为超越方程为一般连续函数时，称上式为超越方程若若 f

2、 (x) 不是不是 x 的线性函数，则称上式为非线性方程的线性函数，则称上式为非线性方程特别地，如果特别地，如果 f (x) 为某个为某个 n 次多项式次多项式 pn(x)，称上式，称上式 n 次多项式方程或代数方程次多项式方程或代数方程方程的根方程的根 x* 又称又称 f (x) 的零点，它可以是实数，也可的零点，它可以是实数，也可以是复数，我们主要学习实根的求法以是复数，我们主要学习实根的求法4引言引言理论上已证明，对于次数理论上已证明，对于次数 5 的多项式方程，它的的多项式方程，它的根一般不能用解析表达式表示，需要借助群论的相根一般不能用解析表达式表示，需要借助群论的相关知识解决；关知

3、识解决；对于次数对于次数 n 4 的多项式方程，它的根可以用公式表的多项式方程，它的根可以用公式表示，但是对于示，但是对于 n 3, 4，其根的表达形式非常复杂，其根的表达形式非常复杂可见：对于一般的可见：对于一般的 f (x) 0 的方程，不存在根的解析的方程，不存在根的解析表达式表达式实际应用中，也不一定必须得到方程根的解析表达实际应用中，也不一定必须得到方程根的解析表达式，只要得到满足一定精度要求的根的近似值就可式，只要得到满足一定精度要求的根的近似值就可以了以了5方程求根问题方程求根问题根的存在性：方程有没有根？如果有根，有几个根？根的存在性：方程有没有根？如果有根，有几个根？哪儿有根

4、：求出有根的大致区间，即将哪儿有根：求出有根的大致区间，即将 x 的取值范的取值范围划分为若干个小区间，使得每个区间或是没有根，围划分为若干个小区间，使得每个区间或是没有根，或是只有一个根或是只有一个根根的精确化：上述有根区间内的任一点均可看作方根的精确化：上述有根区间内的任一点均可看作方程根的较为粗略的近似值，在此基础上设法逐步把程根的较为粗略的近似值，在此基础上设法逐步把根精确化，直到满足精度要求为止根精确化，直到满足精度要求为止迭代法迭代法6根的隔离根的隔离零点定理零点定理 若若 f (x) 在在 a, b 上连续，且上连续，且 f (a) f (b) 0，则方，则方程程 f (x) 0

5、 在区间在区间 a, b 上上至少至少有一个根。有一个根。区间区间 a, b 内如果有且仅有一个根，则称该区间为内如果有且仅有一个根，则称该区间为有根区间。通常可用逐次搜索法求有根区间。通常可用逐次搜索法求 f (x) 0 的有根区的有根区间间yabxyabx*x*x7逐次搜索法逐次搜索法 在在 x 的不同取值点上计算的不同取值点上计算 f (x)，观察，观察 f (x) 的符号，的符号，只要在充分接近的相邻两点函数值只要在充分接近的相邻两点函数值 f (x) 反号，则以该反号，则以该两点为端点的区间必然是有根区间两点为端点的区间必然是有根区间例例：求方程：求方程 的有的有根区间根区间.32(

6、 )11.138.841.770f xxxx解：解：取步长为取步长为 1 对方程的根进行搜索，结果如下：对方程的根进行搜索，结果如下：x0123456f (x) 符号符号 因此方程因此方程 三个有根区间，分别为三个有根区间，分别为 ：1, 2、3, 4、 5, 68二分法二分法逐步将较大的有根区间进行二分，通过判断分割点逐步将较大的有根区间进行二分，通过判断分割点处的函数值的符号，将原来较大的有根区间不断折处的函数值的符号，将原来较大的有根区间不断折半缩小，直至有根区间缩小到容许的误差范围内半缩小，直至有根区间缩小到容许的误差范围内取一系列二分后，最后得到的有根区间的取一系列二分后，最后得到的

7、有根区间的中点中点作为作为方程根的近似值。方程根的近似值。9二分法（续）二分法（续）假设已找到假设已找到 f (x) 的较为粗略的有根区间的较为粗略的有根区间 a0, b0，并且并且 f (x) 在在 a0, b0 上连续上连续取中点取中点 将区间将区间 a0, b0 分成两半，检分成两半，检查查 f (x0) 与与 f (a0) 是否同号？是否同号？000() 2xab同号：说明根同号：说明根 x* 仍在仍在 x0 的右侧，取的右侧，取 a1 x0 , b1 b0得到只有原有根区间一半宽度的新有根区间得到只有原有根区间一半宽度的新有根区间 a1, b1异号：说明根异号：说明根 x* 仍在仍在

8、 x0 的左侧，取的左侧，取 a1 a0 , b1 x0 得到只有原有根区间一半宽度的新有根区间得到只有原有根区间一半宽度的新有根区间 a1, b1重复上述过程，取重复上述过程，取 将区间将区间 a1, b1 分分半，确定根半，确定根 x* 在在 x1 的哪一侧，得到新区间的哪一侧，得到新区间 a2, b2111() 2xab10二分法（续）二分法（续）0a0b0a0b1b1a2a2b3a3byx( )yf x*x0 x1x2x3x11二分法（续）二分法（续）这样便可以得到一系列有根区间：这样便可以得到一系列有根区间：001122,nna ba ba ba b其中每一个区间的宽度都是前一个区间

9、的宽度的一其中每一个区间的宽度都是前一个区间的宽度的一半，因此半，因此 ：1122002111()()()222nnnnnnnbabababa012,nxxxx取每个有根区间的中点取每个有根区间的中点 作为作为 x* 的近的近似值，则在二分过程中，可以得到一系列精度越来似值，则在二分过程中，可以得到一系列精度越来越高的方程根的近似值序列：越高的方程根的近似值序列：() 2iiixab12对于有限次二分后得到的对于有限次二分后得到的 xn，它是准确根，它是准确根 x* 的近似的近似值，且它的绝对误差的绝对值为：值，且它的绝对误差的绝对值为：1100*21222nnnnnnbababaxx 如果给

10、定了某个精度要求如果给定了某个精度要求 e e，则二分法的二分过程一，则二分法的二分过程一直要持续到新的有根区间宽度的一半不大于直要持续到新的有根区间宽度的一半不大于 e e*limlim2nnnnnabxx 显然，当显然，当 n 时，必然有：时，必然有：1122002111()()()222nnnnnnnbabababa13二分法的特点二分法的特点二分法计算过程简单，程序容易实现，可以在大范二分法计算过程简单，程序容易实现，可以在大范围内求根围内求根二分法收敛较慢，其收敛速度仅与一个以二分法收敛较慢，其收敛速度仅与一个以 1/2 为比为比值的等比级数相同值的等比级数相同二分法不能求解偶数重根

11、和复根二分法不能求解偶数重根和复根二分法一般用于求根的初始近似值，然后再使用其二分法一般用于求根的初始近似值，然后再使用其它的求根方法对根精确化它的求根方法对根精确化14例例求方程求方程 f (x) x3 e x 0 的一个实根，要求精确到的一个实根，要求精确到小数点后第小数点后第 3 位。位。解解：因为：因为 f (0) 0。 故故 f (x) 在在 (0, 1) 区间内区间内有根，由精度要求可知：有根，由精度要求可知：3*111()1022nnxxba 所以需要将区间所以需要将区间 (0, 1) 二分二分 10 次才能找到满足精次才能找到满足精度要求的近似根。各次计算结果见下表度要求的近似

12、根。各次计算结果见下表 即：即：3210n 9.968n 15例例nanbnxnf (xn) 符号符号00.0000-1.0000 +0.5000-10.5000-1.0000 +0.7500-20.7500-1.0000 +0.8750+30.7500-0.8750 +0.8125+40.7500-0.8125 +0.7812+50.7500-0.7812 +0.7656-60.7656-0.7812 +0.7734+70.7656-0.7734 +0.7695-80.7695-0.7734 +0.7714-90.7714-0.7734 +0.7724-100.7724-0.7734 +0.

13、7729+16迭代法迭代法1()0,1,2,nnxxn 当给定初值当给定初值 x0 后，由迭代格式可求得一系列准确根后，由迭代格式可求得一系列准确根的近似值，组成迭代序列的近似值，组成迭代序列 xn。由方程由方程 f (x) 0 变换为变换为 x (x)，然后建立迭代格式，然后建立迭代格式*x*()xx *x迭代法又称逐次迭代法，其基本思想是构造不动点迭代法又称逐次迭代法，其基本思想是构造不动点方程，以求得近似根（如果方程，以求得近似根（如果 满足满足 ，则称，则称 为为 (x) 的不动点）的不动点） 17迭代法（续）迭代法（续）如果迭代序列如果迭代序列 xn 收敛于收敛于 A，则，则 A 是

14、方程的准确根：是方程的准确根：1limnnAx 针对某个方程针对某个方程 f (x) 0，可以构造出不同的迭代公式，可以构造出不同的迭代公式，只有满足一定条件的迭代公式才收敛。只有满足一定条件的迭代公式才收敛。lim ()nnx (lim)nnx ( )A 如何构造不动点方程，由如何构造不动点方程，由 f (x) 0 变换为变换为 x (x) ？如何选择合适的初值如何选择合适的初值 x0 ？n 时，时，迭代产生的序列迭代产生的序列 xn 是否收敛到是否收敛到 x* ？如果迭代序列如果迭代序列 xn 收敛，则有限次迭代得到的近似收敛，则有限次迭代得到的近似根的误差如何估计？根的误差如何估计？18

15、若若 x a, b 时，时， (x) a, b存在某个小于存在某个小于 1 的正数的正数 L，使得，使得 x a, b，有：，有：迭代过程的收敛定理迭代过程的收敛定理( )1xL 设迭代函数设迭代函数 (x) 在区间在区间 a, b 上具有连续的一阶上具有连续的一阶导数，并且：导数，并且：则迭代方程则迭代方程 x (x) 在区间在区间 a, b 上上有且仅有一个有且仅有一个根根 x*，并且对，并且对任意选取的初始值任意选取的初始值 x0 a, b，迭代过程，迭代过程生成的序列生成的序列 xn 收敛，且：收敛，且：*limnnxx 19( ) , ( )1xa bxL在在区区间间上上连连续续，且

16、且 , ( ) , xa bxa b 且且( )( )g xxx 设设( )( )0g aaa ( )( )0g bbb 连续，故连续，故 连续连续( )x ( )g x由零点定理知，必存在零点由零点定理知，必存在零点 使得使得 ，* , xa b *()0g x 存在性存在性：*()()( )()xxxxxx 唯一性唯一性：*()0 xx *()xx 即：即：假设存在另外一点假设存在另外一点 也满足也满足* , xa b *()xx *1( ) ()0 xx 或或*,xx *,xx0 *xx 0 20( ) , ( )1xa bxL在在区区间间上上连连续续，且且 , ( ) , xa bxa

17、 b 且且由微分中值定理可知：由微分中值定理可知：收敛性收敛性：*11()()( )()nnnxxxxxx 即：即：*1( )nnxxxx *1nL xx 2*2nL xx *0nL xx *0limlim0nnnnxxL xx*limnnxx *1,nxx *1,nxx 或或21迭代过程的误差估计迭代过程的误差估计*1*1011nnnnnLxxxxLLxxxxL 则有误差估计式：则有误差估计式：设迭代函数设迭代函数 (x) 在区间在区间 a, b 上具有连续的一阶上具有连续的一阶导数，并且：导数，并且：若若 x a, b 时，时， (x) a, b存在某个小于存在某个小于 1 的正数的正数

18、L，使得，使得 x a, b，有：，有：( )1xL 1,2,3,n 22*11nnnLxxxxL *101nnLxxxxL *11()()nnnnxxxxxx111()()( ) ()nnnnnnxxxxxx *111nnnxxxxL 1*1nnnxLxxxL *101nnLxxLxx |ababab|ba 或或*1nnxxxx *nnxxL xx*(1)nL xx1nnL xx 212nnLxx10nLxx 23因此只要两次相邻的迭代值相差足够小，就可以因此只要两次相邻的迭代值相差足够小，就可以保证最后一次迭代得到的近似值保证最后一次迭代得到的近似值 xn 足够精确足够精确L 较大时较大时

19、不适用不适用可以用可以用 大致估计需要进大致估计需要进行迭代的次数行迭代的次数 n*101nnLxxxxLe e 1nnxxe e 迭代终止条件：迭代终止条件：*11nnnLxxxxL *101nnLxxxxL 11LL 12L 即：即：*111nnnnnLxxxxxxLe e ( )1xL 24迭代法的基本步骤迭代法的基本步骤检查检查 | x1 x0 | e e，如成立，则迭代终止，方程的近，如成立，则迭代终止，方程的近似根为似根为 x1；如不成立，则将；如不成立，则将 x1 代入代入迭代方程迭代方程，重复，重复以上迭代、检查的步骤以上迭代、检查的步骤如果迭代次数超过预先指定的次数如果迭代次

20、数超过预先指定的次数 N 后，仍然后，仍然不能满足精度要求，则终止迭代，所构造的迭代函不能满足精度要求，则终止迭代，所构造的迭代函数数 (x) 发散发散将将 x0 代入代入迭代方程迭代方程，计算，计算10()xx 选定初始近似值选定初始近似值 x0，确定，确定 f (x) 0 0 的等价的等价形式形式 x (x)，构造迭代方程，构造迭代方程1()nnxx 25局部收敛性局部收敛性*()1x 定义定义：如果在准确根：如果在准确根 x* 的某个邻域的某个邻域 内，内， 迭代过程对于任意选定的初值迭代过程对于任意选定的初值 均收敛，则均收敛，则 称这种在根的邻近所具有的收敛性为称这种在根的邻近所具有

21、的收敛性为局部收敛局部收敛 性性。*|xx ：0 x 定理定理：设迭代函数：设迭代函数 (x) 在准确根在准确根 x* 邻近有连续的一邻近有连续的一 阶导数，且：阶导数，且：则迭代过程则迭代过程 具有局部收敛性。具有局部收敛性。1()nnxx 26迭代法的几何意义迭代法的几何意义xyx0p0p1p2Q2Q1p*x*x2x1yx ( )yx 27迭代法的几何意义（续）迭代法的几何意义（续）xyyx ( )yx x0p0p*28例例3152nnxx 2312212max( )133(522)xx = =故迭代过程必收敛。故迭代过程必收敛。用迭代法求用迭代法求 在区间在区间 1, 2 内的近似根，内

22、的近似根，结果保留结果保留 5 位小数位小数3250 xx解解：将方程改写成：将方程改写成： ，并作迭代方程：，并作迭代方程：352xx22331221( )33(52 )(52 )xxx = =因为：因为：29例例取取 ，通过迭代可得：，通过迭代可得：01x 11.44224x 21.28472x 31.34489x 41.32195x 51.33064x 61.32763x 71.32860 x 81.32814x 91.32831x 101.32825x 111.32827x 121.32826x 131.32826x 30构造不同的迭代法求：构造不同的迭代法求： 的根的根 230 x

23、*3x 解解：(1) ，迭代方程为，迭代方程为3( )xx 13nnxx *23( ),()1xxx (2) ，迭代方程为，迭代方程为23( )4xxx 2134nnnxxx *3( )1,()10.134122xxx (3) ，迭代方程为，迭代方程为13( )2xxx 1132nnnxxx *213( )1,()012xxx31若取若取 x0 2.0 2.0，分别用上述三种迭代方法计算，分别用上述三种迭代方法计算，结果见下表（准确根结果见下表（准确根 x* 1.73205080757）1.7320508212.0 x881.7320509071.5x771.7320515532.0 x661

24、.7320563691.5x551.7320508081.7320923202.0 x441.7320508101.732360840 1.5x331.732142857 1.734375000 2.0 x221.751.751.5x112.02.02.0 x00 xnn13nnxx 2134nnnxxx 1132nnnxxx 32迭代过程的收敛速度迭代过程的收敛速度如果存在某个实数如果存在某个实数 p 和正常数和正常数 C，使得：，使得：定义：定义：设序列设序列 xn 是收敛于是收敛于 f (x) 0 的准确根的准确根 x* 的迭的迭代序列，记各步的迭代误差为代序列，记各步的迭代误差为 e

25、en xn x*,1limnpnnCe ee e 则称序列则称序列 xn 是是 p 阶收敛的。阶收敛的。渐近误差常数渐近误差常数 p 1, 0 C 1 时，序列时，序列 xn 是线性收敛是线性收敛C 0 时，序列时，序列 xn 是超是超 p 阶收敛阶收敛1 p 2 时，序列时，序列 xn 是超线性收敛是超线性收敛p 2 时，序列时，序列 xn 是平方收敛是平方收敛p 越大，收敛越快越大，收敛越快33迭代过程的收敛速度（续）迭代过程的收敛速度（续）定理：定理：对于迭代过程对于迭代过程 xn 1 (xn)，如果迭代函数，如果迭代函数 (x)在准确根在准确根 x* 的邻近有连续的二阶导数，且：的邻近

26、有连续的二阶导数，且：*()1x 则有：则有：当当 而而 时，迭代过程为平方时，迭代过程为平方收敛收敛*()0 x *()0 x 当当 时，迭代过程为线性收敛时，迭代过程为线性收敛*()0 x *(1)*()0,()0,()0pxxx 当当 而而 时，迭代过程为时，迭代过程为 p 阶收敛阶收敛()*()0px 34如果迭代函数如果迭代函数 ( (x) ) 收敛，在收敛，在 x * 的某个邻域的某个邻域 内有内有 ( (x) 1) 1，当有根区间较小或，当有根区间较小或 ( (x) ) 在在 内内变化较平缓变化较平缓时，可近似将时，可近似将 ( (x) ) 取某个定值取某个定值 a。迭代过程的加

27、速迭代过程的加速设迭代方程设迭代方程 x ( (x) ) 的准确根为的准确根为 x *，由微分中值，由微分中值定理可知：定理可知：*1()nnxxa xx *1111nnaxxxaa *11()1nnnaxxxxa xn 1 的大致误差，可的大致误差，可以在以在 xn 1 的基础上叠的基础上叠加上这个误差，从而加上这个误差，从而得到比得到比 xn 1 本身更精本身更精确的近似值确的近似值*1()()( )()nnnxxxxxx 35经过加速处理后，迭代过程为：经过加速处理后，迭代过程为：迭代终止条件仍为：迭代终止条件仍为：1nnxxe e 迭代迭代：1()nnxx 111()1nnnnaxxx

28、xa 加速加速：*11()1nnnaxxxxa a 的确定需要求解迭的确定需要求解迭代函数的导函数代函数的导函数 ( (x) )不便不便之处之处36埃特金（埃特金（Atiken）加速）加速(1)1()nnxx ( () )(2)(1)11nnxx ( () )*(2)*(1)11nnxxa xx*(1)*1()nnxxa xx *(1)*1*(2)*(1)11nnnnxxxxxxxx 所以：所以：( () )( () )( () )2*(1)*(2)11nnnxxxxxx展开得：展开得：( () )( () )( () )( () )22*(1)*(1)112*(2)*(2)112nnnnnn

29、xxxxxxxxx x即：即：37( () )( () )( () )( () )222*(1)*(1)*(2)*(2)11112nnnnnnxxxxxxxxx x( () )2(2)(1)11(2)1(2)(1)112nnnnnnxxxxxx ( () )( () )( () )222(2)(1)(2)(2)(2)(2)(1)(1)11111111(2)(1)11222nnnnnnnnnnnnxxxx xxxxxxxx ( () )2(2)(1)11*(2)(1)112nnnnnnx xxxxxx ( () ) ( () )2(2)(2)(1)(2)(1)11111(2)(1)1122nnn

30、nnnnnnxxxxxxxxx 38埃特金（埃特金（Atiken）加速（续）加速（续）加速公式中不再含有与加速公式中不再含有与 ( (x) ) 相关的系数相关的系数 a需要两次迭代再能得到下一步的近似值需要两次迭代再能得到下一步的近似值某些发散的迭代公式经埃特金法加速处理后，能够某些发散的迭代公式经埃特金法加速处理后，能够获得较好的收敛性获得较好的收敛性两次迭代两次迭代迭代：迭代：(1)1()nnxx 迭代：迭代：( () )(2)(1)11nnxx 加速：加速：( () )2(2)(1)11(2)11(2)(1)112nnnnnnnxxxxxxx 39牛顿法牛顿法假设已知假设已知 f (x)

31、 0 的某个初始近似根为的某个初始近似根为 x0，且在，且在 x0 的一个适当小的邻域内的一个适当小的邻域内 f (x) 可微，将可微，将 f (x) 在点在点 x0 附附近用泰勒公式展开：近用泰勒公式展开：200000()( )()()()()2!fxf xf xfxxxxx 如果仅取上述泰勒展开式的前两项，忽略如果仅取上述泰勒展开式的前两项，忽略 (x x0)2及其后的各项，则可以得到及其后的各项，则可以得到 f (x) 在在 x0 附近的近似线性附近的近似线性展开式：展开式：000( )()()()f xf xfxxx 000()()()0f xfxxx ( )0f x 40假设假设 f

32、 (x0) 0，则上式的解为：，则上式的解为：如果将上面公式求得的如果将上面公式求得的 x 作为原方程的一个新的作为原方程的一个新的近似根近似根 x1，将，将 f (x) 在在 x1 附近作近似线性展开，可求得附近作近似线性展开，可求得另一个新的近似根另一个新的近似根 x2 。如此重复上述过程，可得到一。如此重复上述过程，可得到一般的迭代公式：般的迭代公式：000()()f xxxfx 1()()nnnnf xxxfx 这种迭代方法称为这种迭代方法称为牛顿法牛顿法牛顿迭代公式牛顿迭代公式000()()()0f xfxxx 41显然，牛顿法对应的方程为：显然，牛顿法对应的方程为：( )( )f

33、xxxfx 牛顿法的迭代函数为：牛顿法的迭代函数为：( )( )( )f xxxfx 如果如果 x* 是方程是方程 f (x) 0 的一个单根，即：的一个单根，即：1()()nnnnf xxxfx 其中：其中：( )0fx 22( )( )( )( )( )( )( )1( )( )fxfxf x fxf x fxxfxfx 由于：由于：*()0f x 而而*()0fx 则则 ，因此，因此 的邻近迭代过程具有局部收敛性的邻近迭代过程具有局部收敛性*()0 x *x42牛顿法的几何意义牛顿法的几何意义xy0 x1x2x3x*x( )yf x 0牛顿法又叫切线法牛顿法又叫切线法000()()()y

34、f xfxxx 111()()()yf xfxxx 43牛顿法的计算步骤牛顿法的计算步骤选择合适的初始近似根选择合适的初始近似根 x0，计算，计算 f (x0) 和和 f (x0)将将 x0 代入迭代公式：代入迭代公式：求得一个新的近似根求得一个新的近似根 x1，并计算，并计算 f (x1) 和和 f (x1)1()()nnnnf xxxfx 求得达到精度要求的近似根求得达到精度要求的近似根超过预定的迭代次数超过预定的迭代次数 N 后仍未达到精度要求后仍未达到精度要求迭代过程中存在迭代过程中存在 f (xk) 0，此时应终止迭代，此时应终止迭代检查检查 | x1 x0 | e e 且且 f (

35、x1) 0，如成立，则迭代终如成立，则迭代终止，方程的近似根止，方程的近似根 x1；如不成立，则将；如不成立，则将 x1 代入代入迭代迭代方程方程，重复前述步骤，重复前述步骤44223( )( )( )( )2 ( )( )( )( )( )( )( )fx fxf x fxf x fxxfxfxfxfx 牛顿法的收敛速度牛顿法的收敛速度设设 x*是是 f (x) 0 的一个准确的一个准确单根单根， f (x) 在在 x* 附近附近具有连续的二阶导数，且具有连续的二阶导数，且 f (x*) 0，则牛顿法具有二，则牛顿法具有二阶收敛速度，即阶收敛速度，即牛顿法是平方收敛牛顿法是平方收敛牛顿法的迭

36、代函数为：牛顿法的迭代函数为：( )( )( )f xxxfx 22( )( )( )( )( )( )( )1( )( )fxfxf x fxf x fxxfxfx *()0,()0f xfx *()()0()fxxfx 45牛顿法举例牛顿法举例每步迭代只做一次除法和一次加法再做一次移位即每步迭代只做一次除法和一次加法再做一次移位即可，计算量少，收敛速度又较快，是计算机求解开可，计算量少，收敛速度又较快，是计算机求解开方的一个实用有效的方法方的一个实用有效的方法22221( )222xaxxaaxxxxxx 2( )0f xxa若用牛顿法求解，由牛顿迭代公式可得：若用牛顿法求解，由牛顿迭代公

37、式可得：112nnnaxxx 则迭代公式为：则迭代公式为：a假设假设 a 0，求平方根，求平方根 的过程可化为解方程：的过程可化为解方程： 4632( )21020f xxxx610 用牛顿法解方程用牛顿法解方程 ，要求误差，要求误差不超过不超过 例例解解：由于：由于 f (1) 7， f (2) 1616， f (1) f (2) 又：又：另：另：( )64fxx (1)6,(2)16ff即：即：( )6,16fx ，所以：，所以：*()0fx ( )fx 事实上：事实上： 在在 1, 2 区间上为单调增函数，区间上为单调增函数， 且最大值为且最大值为 164732222( )21020(

38、)34102(1)80( )6410,16f xxxxfxxxxxfxx 2( )( )( )( )f x fxxfx 可可正正可可负负考查考查 (x)的最大值：的最大值：3222221022023242101.47 32212 110 12013 14 110 1.41 (2)(2)2(2)ff (1)(1)1(1)ff 2(1)920 x xx22(1)(1)7 10(1)0.242(1)17fff 22(2)(2)16 16(2)0.284(2)30fff 22(1.5)(1.5)2.875 13(1.5)0.07(1.5)22.75fff 满足收敛定理满足收敛定理要求的条件要求的条件4

39、8取初值取初值 x0 2.0，建立牛顿迭代方程：，建立牛顿迭代方程：3212()21020()3410nnnnnnnnnnf xxxxxxxfxxx 611001.466666670.53310nxxx 3633221.368810222.702 1010nxxx6644331.368808112.11 1010nxxx655441.36880811010nxxx 49例例如取初值如取初值 x0 1.5，则由牛顿迭代方程：，则由牛顿迭代方程：3212()21020()3410nnnnnnnnnnf xxxxxxxfxxx 可见选择有根区间的中点，在相同的精度要求下可见选择有根区间的中点，在相同的精度要求下所需的迭代次数较少所需的迭代次数较少可计算得：可计算得：611001.373626370.12610nx