勾股定理典型例题详解及练习附答案

1、典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB CD EF、GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A. CD、EF、GHB. AB、EF、GHC. AB、CD GHD. AB、CD EFC E BHD思路分析：贺1）题意分析：本题肴查勾股定理及勾股定理的逆定理.心2）解題思路：可利用勾股定理直接求出各边长，再进行判斷." 吨谗"在段AEAF中，AFT, AET,根据勾股定理，得EF =+ AF2 =75同理 AB - 2/2, GH 二届 CD 二 24计算发现"尸十©旋尸=（晅-即AB

2、2 + EF2 = GH2 ,根据 勾股定理的逆定理得到以AB、EF. GH为边的三角形是直角三角形.故选 B.屮解題后的慝心1.勾股定理只适用于直埔三角形,而不适用于*兑弟三角形和钝角三第形.因此，解题时一定裝认真分析题目所给条件，看是否可用勾股定理来解-2在运用勾股宦理时，墓正确分析题目所给的条件，不要习愦性地认为 % ”就是斜边而“固执組地运用公式c2=a2b其实，同样是 IBS /C不一定就等于90%亡不一定就是斜边，A ABC不一定就是直角三甬 形口3. 貢第三角形的判定条件2勾般定理是互逆的，区别在于勾股定理的运 用是一个从曲形"（一个三角形是直甫三甫形）至I） “数”

3、（c2=a2 +护） 的过程，而直第三甬形的判定是一个从 叱（一个三甬形的三边满足+戸的条件）到“形”（这个三角形是直角三角形）的过程.44. 在应用勾股定理解题时，要全面地考虑间题，注意问题中存在的多种 可能性，曉免漏解.*例2：如图，有一块直角三角形纸板肋C,两直角辺SCMcg 5C=8ctn. 现将直角边AC沿直线AD折蛊,使它落在斜边虫迟上,且点（7落到点童处, 则GD等于（）心A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. Scmt11）題意分析：本题考查勾股定理的应用叙2）解題思路：本题若直接在ZU仞中运用勾股定理是无法求得CD的长的，因处只知道一条边卫7册长，由题意可知，上仞和心因?关

4、于直 线2D对齡因而心釦空/ED.进一歩则 AE=AC=6c CD=ED ED 丄AB,设CD=ED=cm,则在Rl A ABC中.由勾股定理可得 j4=4Ca+Ca=614-8100,得 AB=10cm,在取万DE 中，有应+ （1Q-6） 3= （3-x） 解得3.心7解答逸BP解题諭辭勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及

5、其逆定理求 线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。例3： 一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。”“是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！”“但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？”占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角形。”“勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。”绣亚补充说

6、。几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。同学们，你算出来了吗？思路分析：1）题意分析：本题考查勾股定理的应用2）解题思路：本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确的解答设直角三甬形的三边长分别为弘b, c,如图，则在=3米，= 米屮又 <?_护=护， 即 t + 扫.忙_扣=川， 所以 a2 _ 911 (9左_ 7+"ioio （米人祕1041120 （米人心解題后KI思 4这杲一道阅读理解粪试题.这种题型特点鲜明、内容丰富、超越常规， 源于噪本，高于课本，不仅考查阅读能力.而且还踪合着查馥学意溟和数 学综合应用能力，尤其考查数学思维能力和创新意识.

7、解题时，一般是通 过阅读，理解概念，拿握方法，领悟思想，抓住本质，然后才能解答问题”知识点二.构造直角三角形使用勾股定理p例4=如图!一个长方Pt腿的木柜放在墙角处（2墙面和地面均没有缝隙）， 肓一只蚂故从柜角卫处沿看木柜表酝爬到柜角G处.4（1）请你画出蚂螃能够最快到达目的地的可能路径；*当加二绻BC = 4, CC7l = 5Wj求蚂蚁爬过的最愆路径的长畀（3）求点坊到最短路径的距离.仪备用图思路分析、1）龜意分析：本题肴查勾股定理的应用."2）解題思路：解诀此类间题的关讎是把立牡图形问题转化淘平而图形 问题，从而利用勾股定理解决.路径虽无数最短却唯一，要注意弄清哪一 条路径杲最

8、短的.屮解答过程；（1）如图，木柜的表面展开图是两个矩形乂召匚坷和r蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的也 和化心（2）蚂蚁沿着木柜表酝经线段4耳到爬过的路径的长是 4=J护十百+对=®.屮蚂秋沿着木柜表面经线段月妨到G、爬过的路径的长是/厂J（4+4+孚二唐.“最短路径的长是L =屈.心（3）作丄川G于则所求.4解題后的思若：屮转化的思想是将复朵间题转似分解肉简单的间题，或将陌生的间题转化为熟悉的问题来处理的一种思想方法.如：在许多实际问题中，首先将实际间题转化为数学问题，另外，当问题中没有给出直角三角网时，通常通过作辅助线构造直角三角形将它们转化为直角三角形问题等。例乐有一块

9、直角三甬形的绿地，墾得两直甬辺长分别为6tn, 8尬现在 要将绿地扩充成等腰三甫形，且扩充胡分是以8m沟直角边的直甫三甫形， 求扩充后等曉三角形绿地的周长.事思路分析此题如有图形变得很简单，按图形解答即可.但若没有 團形，则需墓讨论几种可能的情况这正是“无图题前细思考，分类讨论 保周到3屮解答过程=在Rt肋U中，/LACB = 90 AC-B, BC = 6,由勾 股定理有肋= 10,扩充部分为Rt乂CD,扩充咸等腰少口应弭以 "F三种情况；如图b AB = AD =10时，可求CD = CB = 6 f得 ABD的周长沟32m.如图£当=£) = 10时，可求C

10、D* 由勾股定理得：得£ABD的周长为1 20 + 4>/5imT如图引25X = 当占8为底时，设Q二方。二兀则仞二不一&由勾股定理得；3 ,80分类讨论思想是解题时常用的一种思想方法，同学们如果掌握了这种方法，可以使思维的条理性、缜密性、灵活性得到培养，才能在解题中真正做到不重不漏。知识点三、勾股定理及其逆定理的正逆混用例6：( 1图甲是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积为13,每个直角三角形两条直角边的和是 5,求中间小正方形的面积。(2)现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成 6 块，再拼合成一个

11、正方形。(要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据)1) 題意分析：本题考查利用勾股定理进行图形的拼割剪接72) 解題思路：注意拼接过程中面积是不变的(1) 设直角三角形的较长直角边长为a,较短直角辺长为b,则小正 方形的边长为a_ b由题意得卩a-5卩由勾股定理，得/+耳=13心2得2ab = 12“所以-疔=a2 +於一 2必=13 -12 = 1“即所求的中间小正方形的面积为2(2) 所拼成的正方形的面积为65x2= 1迤/),所以可按照图甲制 作.a由得a -心=1卩由、组成方程组解得& = 3、b = 2i结合题意，每个直角三角形的较长直角辺只能在纸片6.

12、5cm的长边上 截取，去掉四个直角三角形后，余下的面积为 13-X 3x2x4 = 13-12= l(cw2)2，恰好等于中间的小正方形的面积。于是，得到以下分割拼合方法：a解题后的思考；这是一道综合题，根据题目所提供的信息是不难解决 间题的，但是，要注意掌握和运用好题目所给的各个有用信息，否则，间 题就不容易得到解决。卩知识点四.连续应用勾股定理V例7=如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角迫向外作第2个等腰直角 三角形ABA”再以等腹直角三角形AB A】的斜边为直角边向外作第3个等 腰直角三角形AiBBi，如此作下去，若OA=OB=1,则第n个等腰 直角三角形的面积鼻=- 3思路分析：卍1)

13、意分析:2)在 RtAAB Ai 中,本题考查利用勾股定理进行归纳推理a先在RtAAB0中，由0A=OB= 1求出AB=运；再由AB=A Ai= 求出AB=2, ；再分别求出AOBs ABA】、AAjBBis的面积，从中发现规律，猜想出结论。在 RtAAB0 中，由 ZAOB=90°, OA=OB = 1,可求出 AB= 2 , S2 2A0B= 2 xlxl= 2 =24；在 RtAAB Ai中，由 ZAjAB=90°, AB=AAi=2旋，可求出 AiB=2, S2=2x72x72=1 = 20；在 RtAAiBBi 中，由 Z2AiBBi=90°, AB=B

14、Bi=2,可求出 AiBi= 2-/2 , s3= 2 x2x 2=2=2】；在 RtAAi 比Bi 中，由 Z比AiBi=90% AiBi=Ai比=2旋，可2求出 Bi Bj=4, S4= 2 x 2V2 x2V2 =4=22；,由此可以猜想鼻解題后的思考：类比归纳法是两种或两种以上在某些关系上表现相似 的对象进行对比，作出归纳判断的一种科学研究方法。在中考数学中考查 类比归纳法，旨在引导学生通过对知识的类比和归纳，把知识由点连成线， 由线织成网，使知识有序化、系统化，从而使学生掌握知识內在的规律.a预习导学卩下一讲我们将讲解四辺形的应用，本讲內容是中考重点之一，如特姝 四边形（平行四边形、

15、矩形、菱形、正方形、等膜梯形）的性质和判定， 以及运用这些知识解决实际间题.中考中常以选择题、填空题、解答题和 证明题等形式呈现，近年的中考中又出现了开诙题、应用题、阅读理解题、 学科间综合题、动点间题、折醫间题等，这些都是热点题型，应引起同学 们高度关注.3同步练习（答题时间：60分钟）卩、选择题V1. 如图，每个小正方形的辺长为1,力、万、（7是小正方形的顶点，则Z AFC的度数为（D. 30VA. 90°2.如图所示，As B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米, AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文 化活动中心，要求这三个村庄

16、到活动中心的距离相等，则活动中心P处的 位苴应在（）3A. AB中点处B. BC中点处 3C. AC中点处D. ZC的平分线与AB的交点处卩3.如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点3到点C的距离为5, 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点4爬到点B,需要爬行的最短距离 是（）3A. 521B. 25C. 10厉+ 5d. 35a二、埴空题v4.某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB = 4米，ZB4C = 30°,ZC=90°,因某种活动要求铺设红色地毯，则在A5段楼梯所铺地毯的长度应为. 35. 已知RtAABC的周长杲4 + 4击，斜辺上的中线长是2,则S abc=

17、6.如图，长方体的底55边_长分别为lcm和3cm,高为6cm.如果用一根 细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点那么所用细线最短需要 cm；如果从点卫开始经过4个侧面缠绕刀圈到达点D那么所用细线最短cm。a7. 图甲杲我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直 角三角形围成的。在RtAABC中，若直角辺AC=6, BC=6,将四个直角三 角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”, 则这个风车的外围周长（图乙中的实线）杲-“8. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径匕 在花圃內走出了一条"路”.他们仅仅少走了步路（假设2步

18、为1米），却踩伤了花草 329. 如图所示的圆柱体中底面圆的半径杲兀，高为2,若一只小虫从丄点 出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是 （结 果保苗根号）.3三、解答题卩10. 如图，A, 8是公路？（？为东西走向）两旁的两个村庄，虫村到公路? 的距离办村到公路1的距离BD=2km, B村在力村的南偏东45° 方向上。3Ba（1）求出儿B两村之间的距离；3（2）为方便村民出行，计划在公路辺新建一个公共汽车站P,要求该 车站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点卩的位置（保留活晰的作 图痕迹，并简要写明作法）。4你热爱生命吗？那么别浪费时间，因为时间是组成生 命的材料富兰克林试题答案"2. %3.10, 29 + 16/ （或J36 + 64/）【解析】由题意得：细线从点力 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B其最短长度为将长方体的四个侧面展 开即可构成一个直角边分别为Ban和6cm的直角三角形，所以细线的最短 长度应为lUcm；当细线经过四个侧面缠绕n圈时，到达点、廿的最短长度为 2丁9 + 16/ （或 丁36+64异）cm<_.4.76【解析】风车的外围周长=4x（ 13+6）=76卩5. 4*6. 2旋 a7. 解析：(1)方法一：设与CD的交点为0,根据题意可得 厶二&q