高中数学数列典型6类例题

1、nn1n2n n -1aa2n -3( )n +1n高中数学数列典型 6 类例题 数学数列典型 6 类例题1.形如an +1-a = f ( n ) n型（累加法）（1）若 f(n)为常数,即：an +1-a =dn,此时数列为等差数列，则a = a +( n -1) d n 1.（2）若 f(n)为 n 的函数时，用累加法.3n -1例 1. 已知数列a 满足 a =1, a =3 n -1 +a ( n ³2) ,证明 a =n -1例 2.已知数列 a的首项为 1，且 a =a +2 n ( n Î N * ) 写出数列 a的通项公式.n n +1 n n例 3.已知

2、数列a n满足a =31，1a =a + ( n ³2)n(n -1)，求此数列的通项公式.2.形如 n +1 = f ( n) 型（累乘法）ana（1）当 f(n)为常数，即： n +1 =q（其中 q 是不为 0 的常数），此数列为等比且 a = a ×qn 1n（2）当 f(n)为 n 的函数时,用累乘法.n -1.例 1、在数列a 中 a =1, a = n 1 nnn +1a ( n ³2) n -1，求数列的通项公式。答案：a =n2n +1练习：1、在数列a n中a =1, a = 1 nn -1n +1a ( n ³2) n -1，求a

3、与 Sn n。答案：a =n2 n(n +1)2、求数列 a1=1, a =na (n ³2) 的通项公式。 2n +1 n -13.形如an +1= pa + f ( n) n型（构造新的等比数列）（1）形如an +1=ca +dn的数列求通项，可以通过an +1+x =c (a+xn)的形式，利用待定系数法求出 x 的值，转化为公比是 c 的等比数列求解。例 3已知数列an满足a =1, a1n +1=3a +2n，求通项an；解：an +1=3a +2 ,设 a nn +1+x =3(a +x )，则x =1nan +1+1 =3(a +1)na +1是公比为 3 的等比数列，

4、首项是 na +1 =2 1a +1 =2 ×3 nn -1a =2 ×3 nn -1-1, (nÎN *)(2)形 如an +1=ca +m ×d nn的 数 列 求 通 项 ， 当 c ¹d 时 ， 可 以 通 过an +1+x ×d =c a +x ×d 的形式，利用待定系数法求出nx的值，转化为公比是c的等比1 / 9( )n( )n( )n( )n a +4 ×2nn高中数学数列典型 6 类例题数列求解；当 c =d 时，转化为等差数列求解。例 2 已知数列an满足a =1, a1n +1=3a +2nn

5、，求通项an；an +1=3a +2nn设an +1+x ×2n +1=3 a +x ×2 ，则 x =1 nan +1+2n +1=3 a +2 ， na +2nn是公比为 3 的等比数列，首项是a +2 1 =3 1a +2nn=3 ×3n -1=3na =3nn-2 n , (nÎN *)已知数列an满足a =1, a1n +1=3a +4 ×2 nn，求通项an；an +1=3a +4 ×2 nn设an +1+x ×2n +1=3 a +x ×2 ，则 x =4 nan +1+4 ×2n +1=3

6、 a +4 ×2 ， na +4 ×2 11=9 是公比为 3 的等比数列，首项是 na +4 ×21 =9 1，a +4 ×2 nn =9 ×3n-1=3n +1a =3nn +1-4 ×2n, (nÎN *)已知数列an满足a1=1, an +1=3a +3nn，求通项an；an +1=3a +3nna a 1 n +1 = n +3 n +1 3 n 3ìa ü í ýî3n þ1 1 是公差为 的等差数列，首项是3 3a nn =3 n 3a =n 

7、5;3 nn -12 / 9ïæ1)î î高中数学数列典型 6 类例题（ 3 ）形 如an +1=ca +dn +e n的 数 列 求 通 项 ， 可 以 通 过an +1+x ( n +1) +y =c (a+xn +yn)的形式，利用待定系数法求出 x 、 y的值，转化为公比是c的等比数列求解。例 3已知数列an满足a =1, a1n +1=3a +2 n ，求通项 a ； n n解：an +1=3a +2 nn设a +x ×(n +1) +y =3(a +x ×n+y n +1 n)ìx =1ï，则 

8、7; 1y =î 2an +1+( n +1) +12=3çèa +n +n12ö÷øì íîa +n +n12üýþ是公比为 3 的等比数列，首项是1 5 a +1 + =2 2a +n +n1 5= ×32 2n -1a =n5 1 ×3n-1 -n -2 2。（4）形如an +1= pa +qann -1的数列求通项，可以通过an +1+xa =y(a+xan nn -1的形式，利用待定系数法求出 x 、 y 的值，转化为an +1=ya +znn的

9、数列求解问题。例 4、已知数列an满足a =5, a =2, a 1 2n +1=2a +3ann -1, (n³2)，求通项an；（见课本必修 5 第 69 也复习参考题 B 组第 6 题）解法一：Q an +1=2 a +3ann -1, 设 an +1+xa = y (a+xan nn -1)ì则 íîy -x =2 xy =3ìx =1 ìx =-3 í 或íy =3 y =-1 an +1+a =3(a+an nn -1) a +ann -1是公比为 3 的等比数列，a +a =7 1 2 a +ann

10、-1=7 ×3n -13 / 9n -1nn1( )n -1n( )n -1nn -1nnn( )n -1高中数学数列典型 6 类例题令an +1+x 3n=-1(a+x3nn -1)，与a +ann -1=7 ×3n -1对照可得 x=-74an +1-74×3næ 7 ö =-1ça - ×3 ÷è 4 øì 7 ü ía - ×3n-1ýî 4 þ是公比为1 的等比数列，首项是7 13a - =4 47 13 a - &

11、#215;3n-1 = ×-14 4 a =n13 7 ×-1 + ×34 4n -1, (nÎN*)解法二：同上得：a +ann -1=7 ×3n -1a 1 a 7 n + × n -1 =3 n 3 3n -1 9设a 1 æ n +x =- ×ç3 n 3 èa3n -1n -1+xö÷ø与a 1 a 7 n + × n -1 =3 n 3 3n -1 9对照可得：x =-712a 7 1 æa 7 ö - =- ×&

12、#231; - ÷3 n 12 3 è3n -1 12 øìa 7 üí - ý î3n 12 þ是公比为-13的等比数列，a 7 131 - =3 12 12。a 7 13 æ 1 ö - = ×ç-÷3 12 12 è 3 øn -1 a =n13 7 ×-1 + ×34 4n -1, (nÎN*)。解法三：同解法一得：an +2-3an +1=-(an +1-3an)an +1-3an是公比为1 的等

13、比数列，a -3a =-13 2 1 a an +1n +1-3a =13 ×(-1)n n=3a +13 ×(-1)n n4 / 9( )()n -1n +1( )nn +1( )ç÷n-1n +1nn +1ç( )nn( )nî( )1n( )n -1( )()n -1íî( )()n -1高中数学数列典型 6 类例题设 an +1+x ×(-1)n+1=3(a+x×(-1)n)与a nn +1=3a +13 ×(-1)n n对照可得：x =134 a+x×(-1)n是公

14、比为3的等比数列， na -113 7=4 4a +x ×(-1)n= n74×3n -1 a =n13 7×-1 + ×3n-1, n Î N * 4 4解法四：同解法三得： an +1-3a =13 ×(-1)n na (-1)n+1a+3 × n-1=13设a (-1)n+1æ a ö+x =-3×ç n +x ÷è ø与a (-1)n+1+3 ×a (-1)n=13 对照可得 x =134a (-1)n+1+134æ =-3&#

15、215;çèa 13n +-1 4ö÷÷øì a í +-1134üýþ是公比为3 的等比数列，a 13 71 + =-1 4 4a (-1)n+13 æ 7 ö=ç- ÷×-3 4 è 4 ø a =n13 7×-1 + ×3n-1, n Î N * 4 4解法五：同解法三得： an +1-3a =13 ×(-1)n n同解法一得an +1+a =7 ×3 nn&#

16、236;ïa -3a =13 ×(-1)n. n +1 nïa +a =7 ×3n.n +1 n-得： 4a =13 ×(-1)n-1n+7 ×3n -1 a =n13 7×-1 + ×3n-1, n Î N * 4 45 / 9nïîn00高中数学数列典型 6 类例题例 5 已知a、b是方程x2 + px +q =0 的两个根， a = p , a = p 21 2-q ,an +1= pa +qann -1, (n³2),求通项 an。解：p =a+b,q =a×

17、;ban +1= pa +qann -1=(a+b)a+ab×ann -1an +1-a×a =b(a-a×an nn -1)a -a×a nn -1是公比为 b 的等比数列，首项是a -a×a = p 2 -p -q =(a+b)2-a(a+b)-ab=b2 2 1a -a×a nn -1=b2×bn-2=bn.又an +1-b×a =a(a-b×an nn -1)同理可得：a -b×a nn -1=an当a =b时， a -a×ann -1=ananan-an -1an -1=1，

18、anan=n, a =n × nan当a ¹b时，由得 ：a =nan +1 -bn+1 a -b综上，ìn×an, , a =b ïa =ían+1-bn+1, a ¹ba-b说明：本例和例 4 基本相同，请读者自己考虑其它解法。（5） a = p ×a +q n ，后面的待定系数法也用指数形式。 n +1 n(05 江西理)已知数列a 的各项都是正数 , 且满足 : a =1, a n 0n +1=12a , (4 -a ), n Î N . n n（1）证明a <ann +1<2, n

19、Î N ;（2）求数列a n的通项公式 a .解：（1）方法一 用数学归纳法证明：1°当 n=1 时， a =1, a =0 11 3 a (4 -a ) = ,2 26 / 9k -1k -1kk2kkk00k -1k -1kknnn2n -1n nnn -1 n -2n -1n2 -1nnnnnn a <a <20 1高中数学数列典型 6 类例题 ，命题正确.2°假设 n=k 时有 ak -1<a <2.k则 n =k +1时, a -akk +1=1 1a (4 -a ) - a (4 -a ) 2 21=2( a -a ) - (

20、a -a )( a +a ) k -1 k k -1 k k -1 k=12( a -a )(4 -a -a ). k -1 k k -1 k而ak -1-a <0.k4 -ak -1-a >0,k a -akk -1<0.又 ak +1=1 1a (4 -a ) = 4 -( a -2) 2 22 <2.n =k +1时命题正确.由 1°、2°知，对一切 nN 时有a <ann +1<2.方法二：用数学归纳法证明：1°当 n=1 时， a =1, a =0 11 3 a (4 -a ) = ,2 20 <a <a

21、<20 1；2°假设 n=k 时有 ak -1<a <2k成立，令 f ( x) =12x(4 -x )， f ( x)在0，2上单调递增，所以由假设有：f ( ak -1) < f ( a ) < f (2),k即1 1 1a (4 -a ) < a (4 -a ) < ´2 ´(4 -2), 2 2 2也即当 n=k+1 时a <akk +1<2成立，所以对一切n Î N , 有a <akk +1<22（2）下面来求数列的通项： a 2( a-2) =-(a -2)nn +1n +1=

22、1 1a (4 -a ) = -(a -2) 2 +4, 2 2所以1 1 1 1 1 1令b =a -2, 则b =- b 2 =- ( - b 2 ) 2 =- ×( ) 2 b 2 =L =-( ) 1+2+L+2 b 22 2 2 2 2 21 12 -1又 b =1，所以 b =-( ) , 即a =2 +b =2 -( )2 2n,4.求数列的前 n 项和基本方法：A）公式法， B）分组求和法1、求数列2n+2 n -3的前 n 项和 S .n2.S =-1+3 -5 +7 +¼+( -1) nn(2n -1)7 / 9nn1 210n*n*pana1nn高中数学数列典型 6 类例题3.若数列a 的通项公式是 a (1)n·(3n2)，则 a a a ( ) A15 B12 C12 D154.求数列 1，2+1 1 1，3+ ，4+ ， n + 2 4 8 21n -15.已知数列a 是 321,622n1,9231,12241，写出数列a 的通项公式并求其前 n 项和 Sn.C ） 裂 项 相 消 法 ， 数 列 的 常 见 拆 项 有 ：1 1 1 1= ( - ) n(n +k ) k n n +k；1n + n +1= n +1 - n；例 1、求和：S=1+1 1 1+ +L+1 +2 1 +2 +3 1 +2 +3 +L+n例