2022年2022年高等数学基础知识点归纳

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载第一讲函数,极限,连续性1.集合的概念一般地我们把争论对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合（简称集）；集合具有确定性 （给定集合的元素必需为确定的）和互异性 （给定集合中的元素为互不相同的）；比如“身材较高的人”不能构成集合,由于它的元素不为确定的；.全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）；记作n.全部正整数组成的集合叫做正整数集,记作n+；.全体整数组成的集合叫做整数集,记作z；.全体有理数组成的集合叫做有理数集,记作q；.全体实数组成的集合叫做实数集,记作r；集合的表示方法.列举法：把集合的元素一一列举出来,并用“”括起来

2、表示集合.描述法：用集合全部元素的共同特点来表示集合集合间的基本关系.子集：一般地,对于两个集合a .b ,假如集合a 中的任意一个元素都为集合b 的元素,我们就说 a.b 有包含关系,称集合a 为集合 b 的子集,记作a . b ；.相等：如何集合a 为集合 b 的子集,且集合b 为集合 a 的子集,此时集合a 中的元素与集合b 中的元素完全一样,因此集合a 与集合 b 相等,记作 a b；.真子集：如何集合a 为集合 b 的子集,但存在一个元素属于b 但不属于 a ,我们称集合a 为集合b 的真子集,记作a；.空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集；记作,并规定,空集为任何集合的子集；.由

3、上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论：.任何一个集合为它本身的子集；.对于集合a.b .c,假如 a 为 b 的子集, b 为 c 的子集,就a 为 c 的子集；.我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”；集合的基本运算.并集：一般地,由全部属于集合a 或属于集合b 的元素组成的集合称为a 与 b 的并集；记作ab ；（在求并集时,它们的公共元素在并集中只能显现一次；）即 a b x|x a ,或 x b ；.交集：一般地,由全部属于集合a 且属于集合b 的元素组成的集合称为a 与 b 的交集；记作ab ；即 a b x|x a ,且 xb ；.全集：一般地

4、,假如一个集合含有我们所争论问题中所涉及的全部元素,那么就称这个集合为全集；通常记作 u；.补集：对于一个集合a ,由全集 u 中不属于集合a 的全部元素组成的集合称为集合a 相对于全集u精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载的补集；简称为集合a 的补集,记作cua； 即 cua x|x u,且 x 不属于 a ；.运算公式：交换律：ab=b aa b=b a结合律：（ ab c=a b c a bc=ab c）安排律：（ ab c=（ac）（ b c（a bc=（ac）（ bc对偶律： cu（ ab=c ua cub cu（ ab=c ua cub集合中元素的个数.有

5、限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集,含有无限个元素的集合叫做无限集；.用 card来表示有限集中元素的个数；例如a a、b、c ,就 carda=3 ；.一般地,对任意两个集合a .b ,有 carda+cardb=carda b+carda b2.常量与变量.变量的定义： 我们在观看某一现象的过程时,常常会遇到各种不同的量,其中有的量在过程中不起变化,我们把其称之为常量 ；有的量在过程中为变化的,也就为可以取不同的数值, 我们就把其称之为 变量 ；.变量的表示：假如变量的变化为连续的,就常用区间来表示其变化范畴；在数轴上来说,区间 为指介于某两点之间的线段上点的全体；以上我们所述的都

6、为有限区间,除此之外,仍有无限区间a,+ ：表示不小于a 的实数的全体,也可记为：ax +； -, b ：表示小于b 的实数的全体,也可记为：- x b；-, + ：表示全体实数,也可记为：- x +注： 其中 - 和 +,分别读作 " 负无穷大 " 和" 正无穷大 "、 它们不为数 、 仅仅为记号；.邻域： 设 与 为两个实数,且 0. 满意不等式 x- 的实数 x 的全体称为点 的 邻域,点称为此邻域的中心,称为此邻域的半径；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载3.函数.函数的定义：假如当变量x 在其变化范畴内任意取定一个数

7、值时,量y 依据肯定的法就f总有确定的数值与它对应,就称y 为 x 的函数； 变量 x 的变化范畴叫做这个函数的定义域 ；通常 x 叫做自变量 ,y 叫做 函数值（或因变量）,变量 y 的变化范畴叫做这个函数的值域 ；注： 为了说明 y 为 x 的函数,我们用记号y=fx.y=fx 等等来表示；这里的字母"f" ."f" 表示 y 与 x 之间的对应法就即函数关系 、 它们为可以任意采纳不同的字母来表示的；假如自变量在定义域内任取一个确 定的值时,函数只有一个确定的值和它对应,这种函数叫做单值函数 ,否就叫做 多值函数 ；这里我们只争论单值函数；.函数相

8、等由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域.对应关系和值域；由于值域为由定义域和对应关系打算的,所以,假如两个函数的定义域和对应关系完全一样,我们就称两个函数相等 ；3.函数的简洁性态.函数的有界性：假如对属于某一区间i的全部 x 值总有 fx m 成立,其中m 为一个与x 无关的常数,那么我们就称fx在区间 i有界,否就便称无界；注： 一个函数,假如在其整个定义域内有界,就称为有界函数；函数的有界性,单调性应与相关点集i 联系起来,离开了点集i ；这些概念为没有任何意义的；.函数的单调性：假如函数在定义域区间a、b 内随着 x 增大而增大,即：对于a、b内任意两点 x 1精品学习资料精

9、选学习资料 - - - 欢迎下载及 x 2 ,当 x 1 x 2 时,有f x1 f x2 ,就称函数f x 在区间 a、b内为 单调增加 的；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如函数f x 在定义域区间 a、b 内随着 x 增大而减小, 即：对于 a、b内任意两点x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载及 x 2,当 x1 x2 时,有f x1f x2 ,就称函数f x 在区间 a、b内为 单调减小 的；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载.函数的奇偶性精品学习资料精

10、选学习资料 - - - 欢迎下载假如函数f x 对于定义域内的任意x 都满意 f xf x ,就f x 叫做偶函数； 假如函数对于定精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载义域内的任意x 都满意f xf x ,就f x 叫做奇函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注： 偶函数的图形关于y 轴对称,奇函数的图形关于原点对称；奇偶函数的定义域必关于原点对称；.函数的周期性精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 f x 的定义域为 i ；如存在 t0 ,对任意的xi ,都使得f xt f x xti ,就称精品学习资料精选学

11、习资料 - - - 欢迎下载函数 f x 为周期函数,称t 为其周期；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注： 我们说的周期函数的周期为指最小正周期；周期函数的定义域必为无限的点集,但也不能说为全体实数,如xk /2k=0、1、2.ytan x 的定义域为（ - , +）；且精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载a. 奇函数 +奇函数 =奇函数b. 偶函数 +偶函数 =偶函数c.奇函数·偶函数 =奇函数d.奇函数·奇函数=偶函数e 偶函数·偶函数=偶函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 f x 以 t 为最小正周期

12、,就f x 以 t 0 为最小正周期精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.反函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载.反函数的定义： 如由函数yf x 得到 x y ,就称 x y 为 yf x的反函数, yf x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为直接函数,反函数也可记为yf1 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注：f1 fxf f1 xx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载.反函数的存在定理：如在 a ,b 上严格增 减 ,其值域为r,就它的

13、反函数必定在r上确定,且严格增 减.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例题： yx2 ,其定义域为 - 、+ ,值域为 0、+ . 对于 y 取定的非负值 、 可求得 xy . 如我们精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载不加条件,由y 的值就不能唯独确定x 的值,也就为在区间- 、+ 上,函数不为严格增 减 ,故其 没有反精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载函数 ；假如我们加上条件,要求x 0,就对 y 0.x= 就为 yx2 在要求 x 0 时的反函数；即为：函数在此精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载要求下严格增 减.反函数的性质：在同一坐标平面内

14、,与的图形为关于直线y=x 对称的；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例题： 函数y2 x 与函数 ylog 2x 互为反函数,就它们的图形在同始终角坐标系中为关于直线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yx 对称的；如右图所示：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载5.复合函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载复合函数的定义：如 y 为 u 的函数： yf u ,而 u 又为 x 的函数： u x,且 x 的函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载值的全部或部分在f u 的定义域

15、内, 那么,y 通过 u 的联系也为 x 的函数,我们称后一个精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载函数为由函数yf u 及 u x复合而成的函数,简称复合函数,记作精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yf u,其中 u 叫做中间变量；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注： 并不为任意两个函数就能复合；复合函数仍可以由更多函数构成；例题： 函数与函数为不能复合成一个函数的由于对于的定义域- 、+ 中的任何 x 值所对应的u 值（都大精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

16、下载于或等于 2）,使yarcsin u 都没有定义；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6.初等函数.基本初等函数：我们最常用的有五种基本初等函数,分别为：指数函数.对数函数.幂函数.三角函数及反三角函数；下面我们用表格来把它们总结一下：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载.初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数 .注：初等函数必需能用一个式子表示,不能用一个式子表示的函数不能称为初等函数,故分段函数一般不能叫初等函数7.数列的极限精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载.数

17、列的极限 ：设xn 为一数列,假如存在常熟a,对于任意给定的正数 不论其多么小 ,总存在正整精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数 n ,使得当n n 时,不等式xna都成立,那么就称常数a 为数列 xn 的极限,或者称数列收敛于精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a,记为lim xn na 或 xnan精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注：此定义中的正数 只有任意给定, 不等式才能表达出与a 无限接近的意思； 且定义中的正整数n 与任意给定的正数 为有关的,它为随着的给

18、定而选定的；在利用数列极限定义证明某个数列为否存在极限时,重要的为对于任意给定的正数,只要能够指出定义中所说的这种正整数n 的确存在,但没有必精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载要去求最小的n；假如知道xna 小于某个量（这个量为n 的一个函数）,那么当这精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载个量小于时, xna当然也成立如令这个量小于来定出 n 比较便利的话, 就可以采纳这种方法；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载.数列的有界性：对于数列,如存在着正数m,

19、使得一切都满意不等式 m,就称数列为 有界的 ,如正数 m 不存在,就可说数列为无界的 ；.收敛数列的几个重要性质：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a. 极限的唯独性：假如数列xn 收敛,那么它的极限唯独；（依据极限的定义用反证法证明）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b. 有界性：假如数列xn 收敛,那么它肯定有界；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注： 数列收敛为数列有界的充分非必要条件；即数列收敛,肯定有界,但数列有界不肯定收敛；例： 数列 1,-1 ,1,-1 , -1 ,为有界的,但它为发散的；精品学

20、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c.保号性： 假如 lim xnna 且 a0 （或 a0 ）那么存在正整数n0 ,当 nn 时,都有 xn0 （或精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xn 0 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载推论： 假如数列 xn 从某项起有 xn0 （或 xn0 ）,且lim xnna ,那么 a0 （或精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a0 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注： 即使从某项起有xn 0 （ 或 xn0 ）,且lim xnna ,那么 a 不肯定肯定为a 0 ,也有可能精品学习资料精选学习资料 -

21、 - - 欢迎下载a0 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载d.收敛数列与子数列的关系：假如数列xn 收敛于 a,那么它的任一子数列也收敛,且极限为a；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如数列 xn 有俩个子数列收敛于不同的极限,那么数列xn 为发精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载散的；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载. 数列存在的充分必要条件：lim xnanlimnx2 nlimnx2 n 1a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其任一子数列的极限都为a8.函数的极限前面我们学习了数

22、列的极限,已经知道数列可看作一类特殊的函数,即自变量取n 内的正整数,如自变量不再限于正整数的次序,而为连续变化的,就成了函数；下面我们来学习函数的极限.函数的极值有两种情形：a ：自变量无限增大；b ：自变量无限接近某肯定点x0 下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念.函数的极限 分两种情形 a:自变量趋向无穷大时函数的极限精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定义 ：设函数f x 当 x 大于某一正数时有定义,如存在常数a ,对于任意给定的正数 不论其多么小 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品

23、学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载总存在着正数x ,使得当 x 满意不等式xx 时,对应的函数值f x 都满意不等式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f xa,那么常数a 就叫做函数f x 当 x时的极限,记作limxf xa 或 fxa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（当 x）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注： x x 时f x 的极限定义只需要将以上定义中的xx 改为 xx （ 或 xx ）即可；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下：b:自

24、变量趋向有限值时函数的极限精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定义： 设函数f x 在点x0 的某一去心邻域内有定义,如存在常数a ,对于任意给定的正数 不论其多精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载么小 ,总存在着正数,使得当 x 满意不等式 0 xx0时,对应的函数值f x都满意不等式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f xa,那么常数a 就叫做函数f x 当 xx0 时的极限,记作limf xa 或 f xa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx 0精品学

25、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（当 xx0 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注：在定义中只要求在去心邻域内不等式成立,不要求在x0 点此不等式成立, 意味着 xx0 时f x 以 a 为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载极限与f x 在 x0 点为否有定义即使有定义函数值等于什么无关；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载自己参考数列极限引生函数的左右极限概念；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - -

26、 欢迎下载注：xx0时函数极限存在的充要条件：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limf xalimf xlimf xa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx0xx0xx0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载有些时候,我们要用此极限的定义来证明函数的极限为a,其证明方法为怎样的呢？ a: 先任取 0；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b: 写出不等式f xa；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c: 解不等式能否得出去心邻域0 xx0,如能；精品学

27、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载d:就对于任给的 0 ,总能找出 ,当 0xx0时,f xa成立,因此limf xa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx 0.函数的极限的性质参考数列极限的重要性质：唯独性,局部有界性 , 局部 保号性. 函数极限与数列极限的关系精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如极限limf x 存在, xn 为函数f x 的定义域内任一收敛于x0 的数列,且满意：xnx0 ,那么相精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载应的函数值数列

28、f x 必收敛,且limf xn limf x ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nx 0xx09.无穷小与无穷大精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载无穷大量： 设有函数 yf x,在 x=x 0 的去心邻域内有定义,对于任意给定的正数n 一个任意大精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的数 ,总可找到正数,当 0 xx0时,f xn成立,就称函数当xx0 时为 无穷大量 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载记为：limf x（表示为无穷大量,实际它为没有极限

29、的）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载同样我们可以给出当x时,无穷大的定义：设有函数yf x,当 x 充分大时有定义,对于任意精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载给定的正数 n 一个任意大的数 ,总可以找到正数m, 当 xm 时,f xn 成立,就称函数当x 时为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载无穷大量 ,记为：limxf x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载无穷小量： 以 0 为极限的变量叫无穷小量；（

30、定义参照无穷大）留意 ：无穷大量与无穷小量都为一个变化不定的量,不为常量,只有0 可作为无穷小量的唯独常量；无穷大量与无穷小量的区分为：前者无界,后者有界,前者发散,后者收敛于0.无穷小的运算性质a. 有限个无穷小的和也为无穷小b. 有限个无穷小的乘积也为无穷小c.有界函数与无穷小的乘积为无穷小精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载d.常数与无穷小的乘积为无穷小精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载极限与无穷小的关系：f xaf xa, 其中为在与f xa 时自变量的同一变化精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载趋势下的无穷小量；无穷小的比较： 通过前面

31、的学习我们已经知道,两个无穷小量的和. 差及乘积仍然为无穷小. 那么两个无穷小量的商会为怎样的呢？好！接下来我们就来解决这个问题,这就为我们要学的两个无穷小量的比较；定义： 设 , 都为时的无穷小量,且在 x 0 的去心邻域内不为零,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a) ：假如lim0 ,就称为的高阶无穷小 或 为 的低阶无穷小,记作o ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b) ：假如limc0 ,就称和为同阶无穷小 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

32、c) ：假如lim1 ,就称和为等价无穷小 ,记作：与等价 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载d) ：假如limkc0、 k0 ,就称为关于的 k 阶无穷小精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx0注： a. 无穷小比较中的和必需为在自变量相同变化趋势下的无穷小量.b. 无穷小的比较只为定性的,即只有阶的高低之别,没有数量上的关系c.不为任何无穷小量都能比较其阶的高低精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin x如：当 x时,2x1,x2都为无穷小量,但limxlimxsinx 不存在,不能比较其阶的精品学习

33、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载高低等价无穷小的性质精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a. 设' ,' 且 lim'存在,就 .'lim'lim'精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注： 这个性质说明：求两个无穷小之比的极限时,分子及分母都可用等价无穷小来代替,因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题,但为做无穷小变换时必需分子或分母整体替换,不能分子或分母分项替换；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b. 与为等价无穷小的充分必要条件为：o精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资

34、料 - - - 欢迎下载c.常用的等价无穷小有：当x0 时112x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1x1 xlog a 1x x1cos x xe1 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ln a2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin x tan x arcsin x x ln1x arctan xx1 x ln0 且1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载无穷大与无穷小的关系精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在自变量的同一变化过程中,假如f x 为无穷大,就1f x为无穷下；假如f x 为无穷小且f x0 、精品学习

35、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1就f x为无穷大；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载10.函数极限的运算法就.函数极限的运算规章精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如已知 xx0 或 x 时,f xa、 g xb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就lim fxg xab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载lim f xg xa b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx0精品学习资料精选学习

36、资料 - - - 欢迎下载limf xa、 b0 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx0g xb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载推论：假如limf x 存在,而 c 为常数 、 就 limcf xc limf x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如 limf x 存在,而 n 为正整数,就limnf xlimnf x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注：数列极限也有同样的运算性质；复合函数的极限的运算法就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

37、载设函数 yf g x 为由函数 ug x 与函数 yf u 复合而成,f g x 在点x0 的某去心领域内有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定义,如limg xu0 、 limf ua ,且存在0 0 ,当 xu x0 、0 时,有g xu0 ,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx0uu 0limf g xlimf ua精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx0uu0极限存在准就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载准就一： 假如数列 xn , yn , zn 满意以下条件精品学习资料精选学习资料

38、- - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a. 从某项起,即存在nn ,当 nn0 时,有 ynxnzn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b. lim ynna、 lim znan精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载那么数列 xn 的极限存在,且lim xnan精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注： 此准就也就为夹逼准就.准就二： 单调有界的函数必有极限.注： 有极限的函数不肯定单调有界两个准就都可以推广到函数的极限,但要留意使用

39、的条件；.两个重要的极限精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limsin x1lim 11x) xe 或 lim 11) xe精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0xx0xx注： 我们要记住这两个重要的极限,在今后的解题中会常常用到它们；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例题： 求 lim 12 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解答： 令 tx ,就 x2t ,由于 xt2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 lim 1x2) xxlim 1t12ttlim 1t1 t 2e 2t1

40、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注： 解此类型的题时,肯定要留意代换后的变量的趋势,像x时,如用 t 代换. 关于极限的几个重要结论,就 t0 ；x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a. lim qnq 1n0q 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b. lim n a1nc. lim n n1na 0n m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载d. limna xn00b xma xn 111b xm 1an a0nm bmb00n m（其中 a00、b00 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11.函数的一重要性质连续性在自然界中有

41、很多现象,如气温的变化,植物的生长等都为连续地变化着的. 这种现象在函数关系上的反映,就为函数的连续性在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念增量精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设变量 x 从它的一个初值x1 变到终值x2 ,终值与初值的差x2x1 就叫做 变量 x 的增量 ,记为：x 即：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx2x1 增量x可正可负 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载我们再来看一个例子：函数yf x 在点x0 的邻域内有定义,当自变量x 在领域内从x0 变到 x0x精品学习

42、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载时,函数y 相应地从f x0 变到f x0x ,其对应的增量为：yf x0xf x0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载这个关系式的几何说明如下图：现在我们可对连续性的概念这样描述：假如当x 趋向于零时,函数y 对应的增量y 也趋向于零,即：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limy0 ,那么就称函数yf x 在点x0 处连续；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0函数连续性的定义：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设函数 yf x 在点x0 的某个邻域内有定义,

43、假如有limf xf x0 称函数 yf x 在点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx 0x0 处连续 ,且称 x0 为函数的的 连续点 .下面我们结合着函数左.右极限的概念再来学习一下函数左.右连续的概念：设函数在区间a、b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载内有定义,假如左极限limf x 存在且等于f b ,即：limf xf b,那么我们就称函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xb 0xb 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x 在点 b 左连续 . 设函数f x 在区间 a、b 内有定义,假如右极限limf x 存在且等于f a ,即：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xa 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limf xf a,那末我们就称函数在点a右连续 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xa 0一个函数在开区间a、b 内每点连续 、 就为在 a、b连续,如又在a 点右连续, b 点左连续,就在闭区间a ,b 连续,假如在整个定义域内连续,就称为连续函数 ；注： 一个函数如在定义域内某一点左.右都连续,就称函数在此点连续,否就在此点不连续.注： 连续函数图形为一条连续而不间断的曲线；通过上面的学习我们已经知道函数