线性代数超强总结

1、A可逆r(A) nAx 0只有零解A的特征值全不为零A的列(行)向量线性无关ATA是正定矩阵A与同阶单位阵等价A P1P2 Ps, Pi是初等阵Rn,Ax总有唯一解若A与B都是方阵(不必同阶)，则AA|A BBB(1)mn A BABA不可逆r(A) nAAx有非零解0是A的特征值A的列(行)向量线性相关A向量组等价相似矩阵具有 反身性、对称性、传递性矩阵合同V 关于 e,e2, ,en: 称为？n的标准基，？n中的自然基，单位坐标向量; e©, ,en线性无关； qp, ,en 1 ； tr(E)= n ； 任意一个n维向量都可以用&(2, ,6线性表示.行列式的计算:上三

2、角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积关于副对角线:ai na2n 1Nan1ai na2n 1Nan1n( n 1)(1)F4na2nK aMV逆矩阵的求法：A1(AME)初等行变换(EMA1)a1b1dbTA BatCTcdadbc caC Dbtdt1111a1a1a1ana21a7a2N21OONan1an1A1A11AA 1A2OA1ONANA 1片A1AA 1V方阵的幕的性质：AmAnAm n(Am)n (A)mnL aix ao，对n阶矩阵A规定：f （A）m设 f(x) amXmm 1am 1Xm 1.am 1 A LamAV设Am n,Bn s, A的列向量为i, 2B的列

3、向量为！，2AB的列向量为为A的一个多项式.则：riA i，i 1,2,L,s，即卩A（ i，2， ，s）（Ai，A2，L , As）用A,B中简若（b,b2,L ,bn）T,则 A 1 b2 2 L bn n单的一个提即：AB的第i个列向量ri是A的列向量的线性组合，组合系数就是i的各分量；高运算速度AB的第i个行向量ri是B的行向量的线性组合，组合系数就是i的各分量.V用对角矩阵 左乘一个矩阵，相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量;用对角矩阵 右乘一个矩阵，相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量V两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘A1与分块对角阵相乘类似

4、，即：A,BB11B22OBkkA11 BnABAk Bkk或(II)XA BV矩阵方程的解法：设法化成（I） AX B当A 0时,(I)的解法：构造(AhB)初等行变换(EMX)(当B为一列时, 即为克莱姆法则)(II)的解法：将等式两边转置化为atxtbt,用(I)的方法求出XT，再转置得XV Ax 和Bx 同解(A, B列向量个数相同),则： 它们的极大无关组相对应，从而秩相等; 它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系V判断1, 2,L , s是Ax 0的基础解系的条件： 1, 2L , s线性无关； 1, 2,L , s是Ax 0的解； s n r(A)每个解向

5、量中自由变量的个数 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关.原向量组无关，接长向量组无关；接长向量组相关，原向量组相关.向量组两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关n中任一向量i (1 < i w n)都是此向量组的线性组合.向量组n线性相关向量组中至少有一个向量可由其余 n1个向量线性表示.向量组n线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余n 1个向量线性表示.m维列向量组线性相关r(A) n ；m维列向量组n线性无关r(A) n.r(A) 0 A线性无关，而线性相关

6、,则可由,n线性表示,且表示法惟?矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数?矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系向量组等价可以相互线性表示.记作:1，2，n1 >2j ，n矩阵等价A经过有限次初等变换化为B. 记作：A %B?矩阵A与B等价r(A) r(B)代B作为向量组等价，即:秩相等的向量组不一定等价矩阵A与B作为向量组等价r(n) r(1,2,)r ( 1, 2,矩阵A与B等价.?向量组s可由向量组2,线性表示r(s)r(i,2,n) r(s) w r(1? 2,n).?向量

7、组s可由向量组2,线性表示,且sn，则s线性相关.向量组s线性无关,且可由线性表示,则s< n.?向量组s可由向量组n线性表示,且r(1,2, s) r (1, 2, n),则两向量组等价;?任一向量组和它的极大无关组等价.?向量组的任意两个极大无关组等价，且这两个组所含向量的个数相等.?若两个线性无关的向量组等价，则它们包含的向量个数相等.?若A是m n矩阵,则r(A) min m,n ,若r(A) m , A的行向量线性无关;若r(A) n , A的列向量线性无关,即:线性方程组的矩阵式Ax向量式X1 1X2 2 LXn na11a12La1nx1b1a21a22La2nx2 ,b2

8、A 21,x1MMMMMam1am2Lamnxnbm1j2jM,j1,2,L ,nmj可由1, 2丄,n线性表示Ax 有解 r(A) r(AM )Axi,Ax有无穷多解|: Ax有非零解当A为方阵时A 02丄，n线性相关有唯一组解: Ax只有零解当A为方阵时A 02,l , n线性无关当A为方阵时克莱姆法则r(A) r(AM )不可由1, 2丄，n线性表示Ax 无解 r(A) r(AM )r(A) 1 r(AM )矩阵转置的性质：(At)t A(AB)t btat(kA)TkATATIA(A B)t At Bt矩阵可逆的性质：(A1)1 A1 1 1(AB) 1 B 1A 11 1 1(kA)

9、 1 k 1A 1A1IA1(a1)t (at)1(A1)k (Ak) 1 Ak伴随矩阵的性质：(A)|An2A(AB) B A(kA) kn 1AAlIAn1(A 1)(A) 1 什(AT) (A )T(A )k (Ak)AA A A | A En若 r( A)nr(A )1若r(A)n10若 r(A)n1AB |A|B|kA kn AAkIAk(1)(2)(3)1, 2是Ax 0的解，12也是它的解是Ax 0的解,对任意k, k也是它的解 齐次方程组1, 2丄，！是Ax 0的解,对任意k个常数1, 2,L , k, 1 12 2 k k也是它的解线性方程组解的性质：(4)(5)(6)(7)

10、是Ax的解，是其导出组Ax 0的解，是Ax的解1, 2是Ax的两个解，r2是其导出组Ax 0的解2是Ax的解,则1也是它的解12是其导出组Ax 0的解1, 2,L , k是Ax的解，贝V1 12 2k k也是Ax的解12k 11 122 k k是 Ax 0的解12 k 0当m n时,一定不是唯一解.方程个数 向量维数未知数的个数向量个数则该向量组线性相关V 设A为m n矩阵,若r(A) m,则r(A) r(AM ),从而Ax一定有解m是r(A)和r(AM )的上限.V矩阵的秩的性质: r(A) r(AT) r(ATA) r(A B)< r(A) r(B) r(AB) w min r(A)

11、,r(B) r(kA)r(A)若k 00若k 0 r A r(A) r(B)B 若A 0,则r(A) > 1 若AmnBns，且r(AB) 0,则r(A) r(B) w n 若 P,Q可逆，则 r(PA) r(AQ) r(A) 若A可逆,则r(AB) r(B)若B可逆，则r(AB) r(A) 若r(A) n,则r(AB) r(B),且A在矩阵乘法中有左消去律标准正交基n个n维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.与正交 （，）0.是单位向量V内积的性质:正定性:对称性:双线性:2)(1)2,C施密特3线性无关,正交化L(3,1(121 1 )2,1 1)(3,2)(2 2)单位化:

12、_1_1_2_3_3_正交矩阵aatV A是正交矩阵的充要条件:A的n个行V正交矩阵的性质:AtA1 ；aatata e ；A的特征矩阵E A.AB 0 BAB AC B C（列）向量构成？n的一组标准正交基.A是正交阵，则A （或A 1 ）也是正交阵;两个正交阵之积仍是正交阵;正交阵的行列式等于1或-1.A的特征多项式E A f().A的特征方程E A 0.Ax xAx与x线性相关上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.tr a若A 0,则 0为A的特征值,且Ax 0的基础解系即为属于0的线性无关的特征向量.A 1 2L n若r(A) 1,则A一定可分解为aa?2Mb1,

13、b2, L , 0、A(ab a2b2 Lanbn)A,从而 Aan的特征值为：1 tr A a1b1a2b2Lanbn,若A的全部特征值2,L , n , f(x)是多项式,则:是A的特征值，则:kAaA bEA 1A2AmA分别有特征值IAx是 A关于 的特征向量，则x也是kAaA bEA 1A2AmA关于ka b丄2的特征向量.IAA与B相似B P 1AP( P为可逆阵)记为：A: Bf(A)的全部特征值为f( 1), f( 2), L , f( n)；当A可逆时,AA的全部特征值为也,¥,L ,上的全部特征值为丄，丄,L ,丄,12nV A相似于对角阵的充要条件：A恰有n个线

14、性无关的特征向量.这时，P为A的特征向量拼成的矩阵，P 1AP为对角阵，主对角线上的元素为A的特征值.1V若n阶矩阵A有n个互异的特征值,则A与对角阵相似.A与B正交相似BP 1APV相似矩阵的性质：A1 :Bat :btAk :BkEA（P为正交矩阵）1若代B均可逆（k为整数）E B ,从而A,B有相同的特征值，但特征向量不一定相同.1100即：x是A关于°的特征向量，P t是B关于°的特征向量.从而代B同时可逆或不可逆r(A) r(B) tr (A) tr (B)数量矩阵只与自己相似.V对称矩阵的性质： 特征值全是实数，特征向量是实向量； 与对角矩阵合同； 不同特征值的

15、特征向量必定正交； k重特征值必定有k个线性无关的特征向量； 必可用正交矩阵相似对角化（一定有 n个线性无关的特征向量，A可能有重的特征值,重数=n r（ E A）.A可以相似对角化A与对角阵 相似.记为：A :（称 是A的相似标准型）V若A为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数（重数重复计算）r（A）.V设i为对应于i的线性无关的特征向量，则有：1 44 2 4 43np1 4 442 4 4 $AV 若 A: B , C : D ,贝BCDV 若 A: B,则 f (A) : f(B),f(A)f(B).二次型f(X1,X2,L ,Xn) XTAXA为对称矩阵X任兀丄几亍A( 1, 2丄，n

16、) (A 1,A 2,L ,A n) ( 1 1, 2 2,L , n n)1 ,2,L , n2OA与B合同 B CTAC . 记作：A; B( A,B为对称阵，。为可逆阵)V两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数V两个矩阵合同的充分条件是：A: BV两个矩阵合同的必要条件是：r(A) r(B):正交变换nV f(X1,X2,L ,Xn) XtAX 经过；合同变换 X CY 化为 f (xx2,L , xJdiyi2 标准型.可逆线性变换1V二次型的标准型不是惟一的，与所作的正交变换有关，但系数不为零的个数是由(A)正惯性指数负惯性指数惟一确定的.V当标准型中的系数di为1, -1或0时，则为规范形.V实对称矩阵的正(负)惯性指数等于它的正(负)特征值的个数.合同.任一实对称矩阵A与惟一对角阵用正交变换法化二次型为标准形： 求出A的特征值、特征向量; 对n个特征向量单位化、正交化； 构造C （正交矩阵），C Fc;n 作变换X CY ,新的二次型为f （x-i,