数列通项公式的求法-课件PPT

1、2021/8/261等差数列与差比数列的通项公式的通项公式：等差数列na)( ) 1(1Nndnaan),( )(Nmndmnaamn推广：的通项公式：等比数列na),(Nmnqaamnmn推广：)(11Nnqaann2021/8/262 ，然后直接套用及出为等差（比）数列，求方法：若na类型一：等差数列与等比数列的通项：ma其中一项）（公比公差qd 公式 为整数，则通项公式且公比，为等比数列，若：已知例nnaqaaaaa 512,12417483，然后套公式。与程组，解出的方与表示，得出与全部用，本题也可以把qaqaqaaaaa 1118743124512838374aaaaaaan，为等比

2、数列，则分析：是整数，又与的两根是方程与故知qxxaa 4128 051212428313353883)2(232 128 4nnnqaaqqaaaa，12n，等比5128374aaaaan2021/8/263的通项公式。，求数列且为等差数列，已知数列卷湖南 9, 3)(1(log ) .(131*2nnaaaNna12) 1(log) 1(log1232ddaa略解：,) 1(1) 1(log2nnan. 12 nna练习：1 (1)21nandn 1112nnnqbb 是各项都为正数的等比是等差数列，设全国nnba).(2，求数列数列，且13,21, 1355311bababa 的通项公式

3、。与nnba2021/8/264类型二：类等差（比）数列,方法：累加(乘) 的通项公式。求数列的值；求的等比数列成公比不为且，是常数，中，例：数列nnnnacaaanccnaaaa)2( ) 1 ( 1 ,)3 , 2 , 1(232111)(1nfaann即)(1ngaann与3122321 1 ,aaaaaa的等比数列得成公比不为分析：由naacccnn2, 2)32(2)2(12故有即）1(2, 32, 22, 21342312naaaaaaaann),1()1(321 21nnnaan上面各式相加得), 3 , 2 , 1(22nnnan故2021/8/265一、若数列有形如an1an

4、f(n)的解析式，而f(1)f(2)f(n)的和是可求的，则可用多式累(迭)加法求得an. (2011年厦门质检)已知数列an中，a120，an1an2n1，nN*，则数列an的通项公式an_.解析：由条件an1an2n1，nN*，即an1an2n1，得a2a11，a3a23，a4a35，an1an22n5，anan12n3，以上n1个式子相加并化简，得ana1(n1)2n22n21.答案：n22n212021/8/266变式探究变式探究1已知数列an中，a11，an1an2n，求an.解析：当n2时， a2a12，a3a222，a4a323，anan12n1.将这n1个式子累加起来可得ana

5、12222n1，ana12222n112222n12n1.当n1时，a1适合上式，故an2n1.2021/8/267二、若数列有形如anf(n)an1的解析关系，而f(1)f(2)f(n)的积是可求的，则可用多式累(迭)乘法求得an. 设an的首项为1的正项数列，且 n an1an0，求它的通项公式解析：由题意a11 , an0，(n1,2,3，)，2021/8/268 的通项公式为列，则数且满足中，已知数列：例nnnnannaaaa21 2 11nnnnnaannnaa11)2(2nnannann) 1()2)(1(1方法二:对应），小系数与（大系数与nnaa1是常数数列则可构造nann)

6、1( 11645342312:13423121nnaaaaaaaannaannnn得分析) 1(21) 1(2111nnaannaann) 1(21221) 1(11nnaaaannnn，故有) 1(2nnan累乘2021/8/269nnaS ，求知类型三： 求解方法：可直接应用公式)2() 1( 11nSSnSannn 的通项公式。的图象上，求数列均在函数，点和为的前，数列为函数的图象经过原点，其导例：已知二次函数nnnnaxfyNnSnSnaxxfxfy)( )(,26)()( nnSxxxfn2323)( 22，故有略解：依题意易得56)1(2) 1(3232221nnnnnSSannn

7、n时，故当合上式时，而当1 1 11San)(56Nnnan故2021/8/2610练习 公式为的通项，则满足项和的前已知数列 1log . 12nnnnanSSna不合上式，时，当由略解4222221log:111112SaSSanSnSnnnnnnnnn)()2( 2) 1( 4Nnnnann故形式表示。不符合，则可用分段的若1 a2021/8/2611nnnanaS的关系式，求通项及与类型四：知 ），再求的关系式，先求出与得消（有时用nnnnnnnnaSSSanSSa11)2(解。两项的关系式再分析求式两式相减，得出相邻原关系，得另一式子，与代替或方法：可考虑用 )2( 11nnnn 的

8、通项公式，求且满足项和的前各项均正数的数列重庆例：nnnnnnaNnaaSSSna*1),2)(1(6 1)( 2362nnnaaS分析：由题意得2366112111aaSan时，当212111111aSaaa故又或解得由整理得2361211nnnaaS且有300)3)(1111nnnnnnnnaaaaaaaa又 13) 1(3232nnaaannn的通项为故的等差数列，公差为是首项为故)()(1比或类等差比的关系？化为等差与找nnaa11nnnaSS的关系与可找出nnaa12021/8/2612 的通项公式求数列，且项和的前例：数列nnnnnnaNnnSSaaSna ), 2( , 1,11

9、 nnnnnnnnnnaSSaaSaaSS，进而求出出相邻两项的关系式，求得出否消去的一次幂的，则考虑能的一次幂的，而是方法；若不是考虑求相邻两项的关系式，再可找出去一次幂的关系式，则消若关系式可化的等差数列，公差为是首项为故知 1 111111aSSn) 1(12111nnSSannSnSnnnnn时，当易得)( 2() 1(1) 1( 1 11Nnnnnnaan）不合上式，故处理可用)2() 1( 11nSSnSannn112nnnnnSSSSan时，分析：当1111nnSS 相邻两项的关系式呢？化为与能否与上例一样消去nnnaSS1 nnnnnnnaSSaSSan相邻两项关系式得消时1,

10、22021/8/2613 的通项公式求数列满足项和的前已知数列例nnnnnaanSSna, 122:1)3(21122111nnnnanSaanS且有易知分析：由nnnnananaS)2() 1(S111n，两式相减整理得因212111211naananananannnnn，故则是常数数列，故可化为121nnaann再用累乘法 也可以2021/8/2614 的通项公式求数列，项和的前数列福建nnnnnaNnaSaSna )(2 , 1,) ( 1.11练习两式相减整理得略解：,2 21nnaS，而3231212aaaann)2(32) 1( 12nnann故2021/8/2615类型五：待定系

11、数法求数列的通项：dqaaaannnn11)(满足与若数列相邻两项一),(为常数dq则可考虑待定系数法设 xaqxann1为待定系数，其中x ()dqxx且构造新的辅助数列 xan是首项为 xa 1公比为q的等比数列，求出 xan ,再进一步求通项 na 的通项公式求数列，满足项和为的前例：数列nnnnnaNnnaSSna )( 12)2(21212111nnnnaaaa两式相减得，且分析：由32,2312111naSanaSnnnn的等比数列，公比为是首项为故数列2121221aannnnnaa212212121故2021/8/2616若数列有形如anpan1q(n2，p，q为常数，pq0，

12、p1)的线性递推关系，则可用待定系数法求得an.具体思路：设递推式可化为an1Ap(anA)， 得an1pan(p1)A，与已知递推式比较，解得A ，故可将递推式化为an p（an-1+ ），构造数列bn，其中bnan ， 则bn1pbn，即 p，所以bn为等比数列故可求出bnf(n)，再将bnan 代入即可得an.2021/8/2617 已知数列an中，a11，an1 an1，求an.解析：解法一：数列bn为等比数列，又a132，2021/8/26182021/8/2619点评：(1)注意数列解题中的换元思想的运用，如bnan3.(2)对数列递推式an1panq，我们通常将其化为 p ，设b

13、nanA，构造数列bn为等比数列2021/8/2620 的通项公式求数列，满足项和为的前数列全国例：nnnnnnaNnaSSna )(3223134) 1(12322313411aaSnnn分析：由 3223134211nnnaS且1124nnnaa两式相减整理得122211nnnnaa可化为的等比数列，公比为是首项为故数列 2 2121212aannnnnnnnaa24222121直接应用。怎么办？不是常数，不能12n构造新数列，同除以12n1221211nnnnaa都是常数与相邻两项，是其、，新数列2 1 22211nnnnnnaaa2021/8/2621 112.(122)2212 ,

14、1,2,3,nnnnaaaana全国 理已知数列中 ，且，求的通项公式。2 ( 21)1nna12 3n ， ， ， ， 练习 111.()1,21() nnnnaaaanNa福建 已知数列满足则数列的通项公式为12 nna2021/8/2622四、递推式如anpan1rqn(n2，pqr0，p，q，r为常数)型的通项的求法具体思路：1.等式两边同除以qn，2021/8/26232021/8/2624 已知数列an满足an4an12n(n2，nN*)，且a12.求an.解析：解法一： an4an12n , 2021/8/2625解法二： an4an12n，令an2n4(an12n1)，(n2)

15、，得an4an12n，与已知递推式比较得1，an2n4 ，又a12214，an2n是首项为4，公比为4的等比数列an2n44n1，an4n2n22n2n.2021/8/2626 1113. ( )5,5, 25()nnnnnaanSaSSnnNa山东 数列的首项，前 项和为且，求数列的通项公式练习 2.()22 () nnnnnnanSSanNa四川 数列的前 项和为满足，求数列的通项公式65521211nSanSanSSnnnnnn分析：)( 12121211212Nnaaaaaannnn故有而易知相减的等比数列，是首项为，故2611) 1(2111qaaaannn12626111nnnna

16、a两式相减得且有由111122222nnnnnnaSaaSnnnaa22111 2nnan212211nnnnaa21) 1(12nannnnaS ，再求思考：能不能先2021/8/2627变式探究变式探究5(2011年盐城模拟)在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN*)，其中0.求数列an的通项公式解析：由an1ann1(2)2n(nN*)，0，得an1ann12n12n，所以数列an的通项公式为an(n1)n2n.2021/8/2628nnnnnnnaznxaznxazxnaqzxnaAAnqaa，构造得等比数列、然后展开对比系数确定设为常数）、若数列相邻两项满足二qBA )

17、,() 1( qB( B)(11 的通项公式。（修改）上，求数列直线在点中，在数列山东例nnnnaxyNnaanaa )(2,(, 2)06.(111, 1zx展开后对比系数可得) 1(21) 1(1则nanann, 21naann分析：易得的等比数列，公比为是首项为故 2 41111anan1224111nanannnn)( 2) 1(1zxnazxnann可设2021/8/2629nnnnaa21222122321, 21naann分析：易得方法二：:2 1可得等式两边同除以n11112222nnnnnnaa111222nnnnnnaa各式相加可得，,2122,22222122113223

18、32122nnnnnnaaaaaann212221S3221nnnn1132212121212121S21nnnnn12211Snnnannnnna2122121nann 11.()2,( ,2)() nnnnaan aanNyxa例 山东 在数列中，点在直线上，求数列的通项公式。（修改）累加由得2021/8/2630 的通项公式求，且满足例：已知数列nnnnannaaaa 121211)(2) 1() 1(221zynxnaznynxann分析：设zyxnyxxnaann)2(221展开整理可得对比系数可得：与1221nnaann1121zyxyxx311zyx)3

19、(23) 1() 1(221nnannann故有的等比数列，公比为是首项为故知 2 6312annannnnnna2326312得由等比数列通项公式可3232nnann2021/8/2631五、递推式如anpan1qnr(n2，pq0，p，q为常数)型数列的通项求法具体思路：等价转化为anxnyp(an1x(n1)y)，再化为anpan1(p1)xn(p1)y，比较对应系数，解出x，y，进而转化为例3的数列 (2011年济宁模拟)已知数列an中，a1 ，点(n,2an1an)在直线yx上，其中n1,2,3，.求数列an的通项12解析：点(n,2an1an)在直线yx上，2an1ann.2021

20、/8/2632令an1x(n1)y (annxy)，可化为2an1anxn2xy0与比较系数得x1，y2. 可化为an1(n1)2 (ann2)，12122021/8/2633变式探究变式探究6(2010年丰台区模拟)在数列an中，a12，an14an3n1，nN*.(1)设bnann，求数列 的通项；(2)求数列an的前n项和Sn.解析：(1)由题设an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN*.bnann，bn1an1(n1)，bn14bn.又b1a111，所以数列 是首项为1，且公比为4的等比数列bn4n1.2021/8/2634(2)由(1)可知ann4n1，于是数列an的通

21、项公式为an4n1n.2021/8/2635七、倒数法求通项(1)对于递推式如an1panqan1an(p，q为常数，pq0)型的数列，求其通项公式具体思路：两端除以an1an得： p q，若p1，则构成以首项为 ，公差为q的等差数列 ；若p1,转化为例3求解2021/8/2636 (2011年保定摸底)已知数列an满足a11，n2时，an1an2an1an，求通项公式an.解析：an1an2an1an，2021/8/2637变式探究变式探究答案：an2021/8/2638(2)若数列an有形如an1 的关系，求其通项的具体思路是：取倒数后得 ，即化为例3的数列，求出 ，再求得an. 设数列a

22、n满足a12，an1 (nN*)，求an.解析：由an1取倒数，2021/8/2639类型六：特征根法求数列通。 na011DCaBaaAannnn)0(A0)(2DxCBAx（条件：若的相邻两项关系式可化为可用这种方法；(其中方程该数列的特征根）的根称为2x21xaxabnnn nbnbna（一）有两特根与，可令构造等比数列，则可进而求出等比数列通项公式求出 , 2 , 1,123,53)( :11naaaaannnn的首项已知数列陕西例 的通项公式求数列na根一元二次方程求出特征的得到都为与可视xxaann 1特征根为0与1略解：依题意可得该数列特征根为0与1nnnaab1可设nnnnnn

23、nnnnbaaaaaaaab3113112311231111则nnnnaab132233nnna1x2021/8/2640 的通项公式求且满足数列重庆nnnnnnanaaaaaa).1(0521681)(111练习nnnaaa8165245211，且条件可化为与分析：易得有两特征21452361512218165245816522145,2145111nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaabaab则可设 的等比数列，公比为是首项为，故即 2 21211bbbbnnn8210221452221121nnnnnnnnaaab故有(改编)45210521682xxxxx或2021/8/26

24、41构造辅助数列 ,分析0 x01xabnn nbnbna（二）有一根时,可令 易得 是等差数列，求进而求出 nb 的通项公式求na 的关系与nnbb1)(2121)(11Nnaaaannn且满足数列佛山一模例：唯一特征根1解：依题意可得该数列有惟一特征根为111nnab可设21b则nnnnnnnbaaaaab11111212111111且 ) 1)(1(2121nbbbnn的差数列，公差为是首项为故1) 1(11nnanabnnn即该题也可以先求出前几项，再猜想归纳出其通项，但要特别注意要用数学归纳法证明。2021/8/2642)(34, 1. 111Nnaaaaannnn且满足数列 的通项

25、公式求na 练习2341xxxxxaann得都为与视121 ,2111ababnn则分析：可设21)2(2323412111nnnnnnnnaaaaaaab112111nnnnbbba 的等差数列，公差为是首项是111bbnnaannbnnn1221) 1)(1(1故有2021/8/2643（三）没有特征根，则可由递推关系式得出若干项可判断 na是周期数列 的通项公式求且满足例：数列nnnnnaNnaaaaa).(12111231).(12211aaNnaaannn分析：由)()2( 23) 12( 1 Nkknknan由递推性可得无实根得都为与视121xxxxaann112223aaa202

26、1/8/2644（题型）若数列相邻三项的关系可化为 012DCaBaannn且方程 02CBtt有解，则可用待定系数法设 公比的辅助等比数列 构造新的以y为 1zxaann，转化相邻两项处理； 若 zyx,有两组值，也可得到两个等比数列，分别求其通项, 再由方程组求出 na)(112zxaayzxaannnn 的通项公式。求数列满足：已知数列例nnnnnaNnaaaaaa)(23, 3, 111221有解0232 tt)(112zxaayzxaannnn设zyzxyaayxannn12)(211223yxyxyxyx或解得对比系数可得nnnnnnnaaaaaaa222311212可得故由122

27、21211aaaaaannnn是常数数列) 1(211211nnnnaaaa122211nnnnaa），（即取12yx呢？，取21yx2021/8/2645 的通项公式。求数列满足：已知数列例nnnnnaNnaaaaaa)(23, 3, 11122121yx，取)(22311212nnnnnnnaaaaaaa可得故由的等比数列，公比为是首项为则22121aaaannnnnaa21则122221)21 (21222)()()(11212312nnnnnnnnaaaaaaaa12,212111nnnnnnnnaaaaaa，可得消去则有由上面过程知都取与,1221yxyx两种情况一起考虑，即累加方程

28、思想2021/8/2646 的通项公式求数列满足已知数列例nnnnnaaaaaaa265, 2, 1:21221zyzxyaayxannn12)()(112zxaayzxaannnn设对比系数可得与26512nnnaaa223132265zyxzyxzyzyxyx或解得为等比数列12) 12(3121112nnnnnnaaaaaa分别得到nnnnnaaaa是等比数列又有23)23(2231112nnnnnnaaaaaa22321231111nnnnnnaaaa由得12311nnna有解0652 tt2021/8/2647 ), 4 , 3(,0, )08(212212

29、nqxpxxqpxpxxqpxxqpnnnn满足数列的两个实根，是方程为实数、设广东理 的通项公式求数列；证明：nxqp)2( ,) 1 ( nnSnxqp项和的前，求，若 411 )3(练习【解析】（1）由求根公式，不妨设 2244,22ppqppq224422ppqppqp224422ppqppqq11,(),()nnnnnxn111111( )2( )( )3(3)( )2222nnnnnn nS(2)(3)2021/8/2648递推式如递推式如的数列通项的求法的数列通项的求法型)0(1ppaarnn【具体思路具体思路】 若p=1，则等式两边取常用对数或自然对数，化为： ，得到首项为 ，

30、公比为r的等比数列 ，所以 = ，得 若p1，则等式两边取以p为底的对数得： 转化为题型三求通项。1lglgnnara1lganalg11lgarnnalg11nrnaa1l gl g1pnpnoar oa2021/8/2649 （11年石家庄市模拟年石家庄市模拟）若数列an中， 且 ，则数列的通项公式为_ 31a)(21为正整数naann【解析】 及 知 两边取常用对数得：21nnaa31a3nannaalg2lg12021/8/2650 是以首项为 ，公比为2的 等比数列。nalg3lglg1a 3lg2lg1nna123nna2021/8/2651 的通项公式。，求数列图象上，其中的在函

31、数，点已知山东nnnanxxxfaaa, 3 , 2 , 1 2)( ,2).(6211,021212121Nnaaaaaaannnnnn又分析：依题意可得的等比数列公比为是首项为而21) 1(log1log11log,1log21loglog1331332313aaaaaannnn1331211log11221 -n3nnnnnaaa 的通项公式，求数列且满足中，已知数列练习nnnnaaaaa2114. 5nnnaaa42414log2loglog124nna2021/8/2652其他方法：有构造常数数列，取对数（注意真数大于零），取倒数，归纳法（注意要用数学归纳法证明） 的通项公式为则数列，的正项数列，且是首项为若nnnnnnaaanaana01 1 . 112210121211nnnnnnaaaana的降幂处理分