附录I平面图形的几何性质

1、1I.1 静矩和形心静矩和形心I.2 惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径I.3 惯性积惯性积I.4 平行移轴公式平行移轴公式附录附录I 平面图形的几何性质平面图形的几何性质附附 录录 I II.5 转轴公式转轴公式 主惯性轴主惯性轴234I.I.1 1 静矩和形心静矩和形心一、简单图形的静矩（面积矩）一、简单图形的静矩（面积矩）(与力矩类与力矩类似似)1、定义：dA对y轴的微静矩:AyAzzdASydASzydAzyo2、量纲：长度3；单位：m3、cm3、mm3。dA对z轴的微静矩:ydAdSzzdAdSy3、静矩的值可以是正值、负值、或零。是面积与它到轴的距离之积是面积与它到轴的距离之积。图形

2、对z , y 轴的静矩为：平面图形面积对某一轴的一次矩平面图形面积对某一轴的一次矩5zydAzyo4、静矩和形心的关系 可知AdAzzAdAyyACAC,CAyAzzdASCAzAyydAS静矩和形心的关系静矩和形心的关系由平面图形的形心公式由平面图形的形心公式结论：结论： 图形对过形心的轴的静矩为零。图形对过形心的轴的静矩为零。 若图形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心。若图形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心。6二、简单图形的形心二、简单图形的形心1、形心坐标公式：AydAASyAzcAzdAASzAyc2、形心确定的规律：（1）图形有对称轴时，形心必在此对称轴上。形心必在此对

3、称轴上。（2）图形有两个对称轴时，形心必在此两对称轴的交点处。7三、组合图形的静矩和形心三、组合图形的静矩和形心 8zASiniiy 1 niiizyAS1),(yzii niiniiiAzAz11 niiniiiAyAy119例例I.1I.1：计算由抛物线、：计算由抛物线、y y轴和轴和z z轴所围成的平面图形对轴所围成的平面图形对y y轴和轴和z z轴轴的静矩，并确定图形的形心坐标。的静矩，并确定图形的形心坐标。zhyb122Oyz解：解：SzAyA2dSy AzAd12102222bhybydyhybyb0221d4152bhb h2410OyzydybhAAAd0221bhybyd23

4、bh形心坐标为:52321548332422hbhbhASzbbhbhASyyCzC111)、建立坐标如图示，分割图形、建立坐标如图示，分割图形AAyAyAAyAyniiniii21221111 AAzAzAz212211 101012012Ozy901y1z2z2y12211200mm12010 A5mm1 y60mm1 z22800mm8010 A50mm280102 ymm25 z38mm23mm212211212211 AAzAzAzAAyAyAy101012012Ozy901y1z2z2y2)2)、求形心、求形心13C2C1yz 212211AAAyAyAAyyii221108090

5、120)11080(514zyAzydASCZhaaybdyhaaby22)2(habhCAybhadyydzzAyzdASbzhdz0bhz0222bbhCAzAzydASc22hhybdy2222hhby0求图形对y、z 轴的静矩15一、简单图形的惯性矩一、简单图形的惯性矩1 1、定义、定义：dAdA对对z z轴的惯性距轴的惯性距: :dAdA对对y y轴的惯性距轴的惯性距: :2 2、量纲：、量纲：m4m4、mm4mm4。zydAyzo,2AzdAyIAydAzI2dAydIz23 3、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。4 4、惯性矩的取值恒为正值。、惯性矩的

6、取值恒为正值。5 5、极惯性矩：、极惯性矩：（对（对o o点而言）点而言）AodAI2pI222yz 图形对图形对z z轴的惯性矩轴的惯性矩: :图形对图形对y y轴的惯性矩轴的惯性矩: :dAzdIy2I.2 惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径166 6、惯性矩与极惯性矩的关系：、惯性矩与极惯性矩的关系： 图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒等于此图形对该两轴交点的极惯性矩。等于此图形对该两轴交点的极惯性矩。ApdAI2AdAzy)(22AAdAzdAy22yzII zydAzzo17bhyzCzdzAzIAyd2 zbAdd12dd32222b

7、hzbzAzIhhAy 123hbIz 7 7、简单图形惯性矩的计算、简单图形惯性矩的计算18 zyd 32PdI4 PIIIzy zyII 64dIIzy4 19bhzccyc7 7、简单图形惯性矩的计算、简单图形惯性矩的计算 圆形截面：圆形截面：实心（直径D）空心（外径D，内径d）4641DIIyz)(64144dDIIyz 矩形截面：矩形截面：32222121bhbdyydAyIhhAz32222121hbhdAzdAzIbbAybdyhdz3121bhIz3121hbIyzcycc20二、惯性半径：二、惯性半径：AIiAiIzzzz2AIiAiIyyyy221I.3 惯性积惯性积22在

8、何种条件下，图形对坐标轴的惯性积为零？在何种条件下，图形对坐标轴的惯性积为零？若坐标轴中有一个为图形的对称轴，若坐标轴中有一个为图形的对称轴，则图形对该对坐标轴惯性积一定等于零则图形对该对坐标轴惯性积一定等于零23对称轴一定是主轴，对称轴一定是主轴，主轴不一定是对称轴主轴不一定是对称轴2425yzOC(a,b)baI.4 平行移轴公式平行移轴公式26yzOC(a,b)bazCyC AaIICyy2 AbIICzz2 abAIICCzyyz 1 两平行轴中，必须有一轴为形心轴两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系,应通过平行的形心轴惯

9、性矩来换算应通过平行的形心轴惯性矩来换算;2 2 图形对所有平行轴的惯性矩中图形对所有平行轴的惯性矩中, ,以以对通过形心轴的惯性矩最小对通过形心轴的惯性矩最小. .27 niyiyII1 nizizII1 niyziyzII1yziziyiIII,28201401002021zCyC140201A801 z201002A0 z27mm.46212211 AAzAzAzCy1z292014010020y21zcyC2z)7 .4680(1402014020121231 CyI)7 .46(2010020100121232 CyI46m1012.12 21CCCyyyIIIAaIICyy2 30

10、Oyzy1z1 31Oyzy1z1 IIIIIIyzzyzyy2sin2cos221 IIIIIIyzzyzyz2sin2cos221 IIIIyzzyzy2cos2sin211 zyzyIIII 1132 IIIIyzzyzy2cos2sin211 3302cos2sin200 yzzyIIIzyzyzIIItg 220 224)(21200yzzyzyzyIIIIIII 00minmax zyIIII 34 iyyII izzII iizyyzII)2(tan2zyyzIII 10 224)(2200yzzyzyzyIIIIIII 1 niiniiiAyAy11 niiniiiAzAz11

11、35101012025C4020yz 20158035AaIICyy2 AbIICzz2 abAIICCzyyz 107010121101201510120121323yI424mm.100)25(70 36mm104 .27844 zI093. 1)2(tan20 IzIyIyz zyII 02 6 .22720 8 .1130 mm103 .971070)35()25(0101202015044 yzI37101012070C4020yzy0 0=113.8z0mm103214)(21244220 yzzyzyyIIIIIImm104 .574)(21244220 yzzyzyzIIIII

12、I38db2dyzOdddddAAzzAAAyyiiii177. 0434200222 CyICzICCzyIyCzCC39422422322685. 0)177. 05 . 0(464)177. 0(312)2(5 . 1)5 . 0(1dddddddddzdAIzAIIIIyyyyyCCC 圆圆圆圆矩矩矩矩圆圆矩矩443513. 064122)5 . 1(ddddIIICCCyyz 圆圆矩矩 0 CCzyIdb2dyzOyCzCCCzyC CCzyII 40二、组合图形的惯性矩和惯性积二、组合图形的惯性矩和惯性积zizIIyiyIIziyizyII注意：注意：ZC、YC 为形心坐标。为形心

13、坐标。 a、b为图形形心在为图形形心在yoz坐标系的坐标值，可正可负坐标系的坐标值，可正可负abAIIAbIIAaIIzcyczyycyzcz22，zyoyczcczcycdAyzab平行移轴公式平行移轴公式 根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积）之和：41例 求图示直径为求图示直径为d d 的半圆对其自身形心轴的半圆对其自身形心轴 x xc c 的惯性矩。的惯性矩。解：解：222)(yRyb12d2d)(d3222020dyyRyyybyAySddAx3281223dddASyxcxyb(y)ycCdxc422、求对形心

14、轴 xc 的惯性矩12826444ddIx181288)(4422dddyIIcxxc由平行移轴公式得：由平行移轴公式得： xyb(y)ycCdxc3281223dddASyxc43例例 试求图a 所示截面对于对称轴 x 的惯性矩。解：解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。1、矩形对 x 轴的惯性矩：44331mm1053331220080122adIx2、一个半圆对其自身形心轴 xc 轴的惯性矩（见上例）181288)(4422dddyIIcxxcxyC(a)d=8040100a=10040 a+2d3443、一个半圆对 x 的惯性矩由平行移轴公式得：44222222mm1034673223

15、24832adaddddaIIcxx4、整个截面对于对称轴 x 的惯性矩：444421mm101227010346721053332xxxIIIxyC(a)d=8040100a=10040 a+2d345一、惯性矩和惯性积的转轴公式一、惯性矩和惯性积的转轴公式 dA 在坐标系在坐标系 ozy 和坐标系和坐标系oz1y1 的的坐标分别为（的的坐标分别为（z，y ）和（）和（z1 ， y1 ）sincossincos11zyyyzz代入代入惯性矩惯性矩的定义式：的定义式：AyIAzd211zyOzyzy11ABCDEdAzy11已知已知：A、Iz、Iy、Izy、。 求求：Iz1、Iy1、Iz1y1

16、。I.5 转轴公式转轴公式 主惯性轴主惯性轴46cossin2sincos dcossin2 dsindcos2222221zyyzAAAzIIIAzyAzAyI 利用二倍角函数代入上式，得利用二倍角函数代入上式，得 转轴公式转轴公式 ：2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIII 的符号为：从的符号为：从 z 轴至轴至 z1 轴轴 逆时针逆时针为正，顺时针为负。为正，顺时针为负。AyIAzd211zyOzyzy11ABCDEdAzy1147yzyzIIII11 上式表明，截面对于通过同一点的任意一对

17、相互垂直上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原的坐标轴的惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩点的极惯性矩将前两式相加得将前两式相加得2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIIIzyOzyzy11ABCDEdAzy11482cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIII1112)2cos2sin2(22cos22sin22yzzyyzzyyz

18、zIIIIIIIddI001ddIz令0A-5 A-5 主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性矩主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性矩492200minmax)2(2zyyzyzyzIIIIIIIyzzyIIItg22001ddIz022cos22sin220000yzzyyzIIII可求得可求得 和和 两个角度，从而确定两根轴两个角度，从而确定两根轴y0,，z0。0900由yzzyIIItg220求出 代入转轴公式可得：002cos,2sin000yzI且502 2、主惯性矩（主矩）：、主惯性矩（主矩）： 图形对主轴的惯性矩图形对主轴的惯性矩Iz0、Iy0 称为称为主惯性矩，主惯性矩，主惯性矩为图形对主惯性矩为图形对过该点的所有轴的惯性矩中的最大和最小值。过该点的所有轴的惯性矩中的最大和最小值。3 3、形心主惯性轴（形心主轴）：、形心主惯性轴（形心主轴）： 如果图形的两个主轴为图形的形心轴，则此两轴为形心主惯轴。如果图形的两个主轴为图形的形心轴，则此两轴为形心主惯轴。（Izcyc= 0= 0。 zc、yc 为形心轴。为形心轴。zc、yc 为形心主轴）。为形心主轴）。4 4、形心主惯性矩：、形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩。（图形