排列组合基础知识

1、排列组合基础知识一、两大原理1.加法原理（ 1）定义：做一件事，完成它有 n 类方法，在第一类方法中有 n1 中不同的方法，第二类方法中有 n2 种不同的方法 .第 n 类方法中 nn 种不同的方法，那么完成这件事共有 Nn1n2.nn 种不同的方法。（ 2）本质： 每一类方法均能独立完成该任务。（ 3）特点： 分成几类，就有几项相加。例 1. 从甲地到乙地，可以乘动车，也可以乘汽车；一天中动车有3 班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法？如上图，从甲地到乙地共有3+2 种方法。2.乘法原理（ 1）定义做一件事，完成它需要 n 个步骤，做第一个步骤有 m1 中不

2、同的方法，做第二个步骤有 m2 种不同的方法 .做第 n 个步骤有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 Nm1m2 .mn 种不同的方法。（ 2）本质：缺少任何一步均无法完成任务，每一步是不可缺少的环节。（ 3）特点： 分成几步，就有几项相乘 。例 2. 从甲地到乙地，要先从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中火车 2 班，汽车 3 班。那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的方法？解：由上图可知共有的可能路线为：火车1汽车火车 1汽车火车 1汽车所以共有 248 种方式。1，火车2，火车3，火车2汽车2汽车2汽车123二、排列组合1.排列（ 1）排列的定义：从 n 个不

3、同的元素中，任取 m 个（ m n ）元素， 按照一定的顺序排成一列 ，叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的一个排列。（ 2）使用排列的三条件 n 个不同元素；任取 m 个；讲究顺序 。2.组合（ 1）组合的定义：从 n 个不同的元素中，任取m 个（ mn ）元素并为一组 ，叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的一个组合。（ 2）使用三条件 n 个不同元素；任取 m 个；并为一组，不讲顺序 。排列与组合的共同点 ：都是“从 n 个不同元素中任取 m 个元素”；排列与组合的不同点 ：排列与元素的顺序有关系，而组合与元素的顺序无关。也就是说：组合是选择的结果，而排列是选择后再排列的结

4、果。3 排列数的定义：从 n 个不同的元素中，任取m 个（ m数，叫做从 n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数，记为n ）元素所有排列的个 Anm 。例 1. 从甲、乙、丙三个中任取 2 个人分别参加明天上午和下午的比赛。问共有多少种方式？解：由上图可知，共有6 种方式。需要注意：此题相当于从3 个不同的元素中任取 2 个元素，并按一定的顺序排列，所有共有的排列数为 A32 ，即 A3263 2 ，其中上标2 是相乘的项数，下标是相乘中的最大那一项 3，而且之后的每项总是比前一项少1。例 2. 从 a, b, c, d四个元素中任取 2个排成一列共有多少种可能？解 所以的可能排列为： ab

5、, ba, ac, ca, ad, da,bc, cb, bd, db, cd,dc. 共有 12 种，即A4212 4 3，其中上标 2 是相乘的项数，下标是相乘中的最大那一项4，而且之后的每项总是比前一项少 1。例 3. 从 a, b, c, d四个元素中任取 3 个排成一列共有多少种可能？解 所以的可能排列为： abc, acb,bac,bca,cab, cba,abd, adb, bad, bda, dab,dba,acd, adc, cad, cda, dac,dca.bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb共有 24 种，即 A4324 4 3 2，其中上标3 是相乘的项数，

6、下标是相乘中的最大那一项 4，而且之后的每项总是比前一项少1由上面的规律可以得出下面排列数的计算公式Anmn( n1)(n2).( nm 1)n!，其中上标 m 表示相乘的项数，( nm)!其中 n!n(n1)21。尤其：01,1, n! 。AnAnn Ann5 组合数的定义 ：从 n 个不同的元素中，任取 m 个（ m n ）元素 所有组合的个数，叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的组合数，记为 Cnm 。例 4. 从甲、乙、丙三个中任取2 个人参加某项比赛。问共有多少种方式？解：可能的组合为：甲乙，甲丙，乙丙。所以共有3 种需要注意：此题相当于从 3 个不同的元素中任取2 个元素并

7、成一组，所有共有的组合数为 C32 ，即 C323。这个结果与例 1 比较发现232A32C 331A22。2例 2.从 a, b, c, d四个元素中任取 2 个并成一组，共有多少种可能？解 所以的可能排列为： ab, ac, ad, bc, bd, cd. 共有 6 种，即 C426 。这个结果与例2 比较发现C42643A42。21A22例 6. 从 a, b, c, d四个元素中任取3 个并成一组，共有多少种可能？解 所以的可能排列为： abc, abd, acd, bcd。共有 4 种，即 C434 。这个结果与例 3 比较发现3432A43。C4421A333由上面的规律可以得出下面组合数的计算公式mAnmn(n1).(nm1)CnAmmm(m 1).21尤其： Cn01,Cn1n, Cnn1, CnmCnn m我们这本书用 mn表示 Cnm 。下面 3 题要求学解题过程1. 甲、乙、丙、丁 4 支足球队举行单循环赛，(1) 列出所有各场比赛的上方；（ 2）列出所有冠军的可能情况。2.由 0,1,2,3,