高中数学第1章数列2.1等差数列第1课时等差数列的概念及其通项公式学案北师大版必修5-

1、第 1 课时等差数列的概念及其通项公式学 习 目 标核 心 素 养1理解等差数列的概念( 难点 ) 2掌握等差数列的判定方法( 重点 ) 3会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定的项( 重点、难点 )1通过等差数列概念的学习培养学生的数学抽象素养2借助于等差数列的通项公式提升学生的数学运算素养1等差数列的概念阅读教材p10 p11例 1 以上部分，完成下列问题文字语言从第 2 项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这样的数列就叫作等差数列这个常数称为等差数列的公差，通常用字母d表示符号语言若anan 1d(n2)，则数列 an 为等差数列思考： (1) 数列 an的各项为：n,2n,3

2、n,4n，数列 an是等差数列吗？ 提示 不是，该数每一项与其前一项的差都是n，不是常数，所以不是等差数列(2) 若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数，这个数列一定是等差数列吗？ 提示 不一定，当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是同一个常数时，这个数列才是等差数列如数列： 1,2,3,5,7,9，就不是等差数列2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式为ana1(n 1)d思考： (1) 若已知等差数列an 的首项a1和第二项a2，可以求其通项公式吗？ 提示 可以，可利用a2a1d求出d，即可求出通项公式(2) 等差数列的通项公式一定是n的

3、一次函数吗？ 提示 不一定，当公差为0 时，等差数列的通项公式不是n的一次函数，而是常数函数3等差数列通项公式的推导如果等差数列an的首项是a1，公差是d，根据等差数列的定义得到a2a1d，a3a2d，a4a3d，所以a2a1d，a3a2da1dda1 2d，a4a3da12dda13d，由此归纳出等差数列的通项公式为ana1(n1)d1等差数列 an 中a12，公差d3，则an( ) a2n1 b3n1 c2n1 d3n1 dana1(n1)d2 3(n 1)3n1 2在等差数列an中，a10，a34，则公差d( ) a4 b2 c 4 d 2 ba3a1402d，故d 2 3等差数列32，

4、12，52，的第10 项为 ( ) a372b332c372d332b 由a132，d1232 2，得an32(n1)( 2) 2n72所以a1021072332 4已知等差数列an 中，d13，a78，则a1_10 由a7a16d8 且d13代入解得a1 86d8210 等差数列的判定【例 1】判断下列数列是否为等差数列：(1)an32n；(2)ann2n 解(1) 因为an1an3 2(n1) (3 2n) 2，是常数，所以数列an 是等差数列(2) 因为an1an (n 1)2(n1) (n2n) 2n，不是常数，所以数列an 不是等差数列等差数列的判断方法定义法等差数列的定义是判断一个

5、数列是否为等差数列的重要依据，要证明一个数列是等差数列，可用an1and常数或anan1dd为常数且n2. 但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可. 跟进训练 1若数列 an 满足an 1an2an1，a11，求证：数列1an是等差数列 证明 由an1an2an1得1an 12an1an21an，即1an 11an2，所以数列1an是首项为1，公差为2 的等差数列等差数列的通项公式及应用【例 2】(1) 求等差数列8,5,2 ，的第20 项；(2) 在等差数列 an中，已知a612，a1836，求通项公式an 解(1) 由a18，a25，得da2a158 3，故an83(n1)

6、 113n，则a2011320 49(2) 由题意可得a15d12，a117d36，解得d2，a12，故an2n等差数列通项公式的四个应用1已知an，a1，n，d中的任意三个量，可以求出第四个量. 2由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项 . 3根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求出待求项. 4若数列 an 的通项公式是关于n的一次函数或常数函数，则可判断数列an 是等差数列 . 跟进训练 2(1) 等差数列 an中，a24，公差d3，an 22，求n；(2) 判断 401 是不是等差数列5

7、， 9， 13，的项，如果是，是第几项？ 解(1) 由条件知a134，a13n122，解得a1 1，n8(2) 由a1 5，d 9( 5) 4，得这个数列的通项公式为an 5(n1)( 4) 4n1由题意，令401 4n1，得n100，即 401 是这个数列的第100 项等差数列的实际应用 探究问题 1一种游戏软件的租金，第一天5 元，以后每一天比前一天多1 元，那么第n(n2)天的租金怎样表示？每天的租金数有什么特点？ 提示 每天的租金构成以5 为首项，以1 为公差的等差数列，an5(n1)1n4(n2)2根据问题1 的条件，试求第6 天的租金 提示 a66410，即第 6 天的租金为10

8、元【例 3】某市出租车的计价标准为12 元/km，起步价为10 元，即最初的4 km( 不含4 km) 计费 10 元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为 0，那么需要支付多少车费？思路探究： 某人需支付的车费构成等差数列，运用等差数列的知识去解决 解根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km 时，每增加1 km，乘客需要支付 12 元所以，可以建立一个等差数列an来计算车费令a1112，表示 4 km 处的车费，公差d12，那么当出租车行至14 km 处时，n11，此时需要支付车费a11112(11 1)1 2232( 元) 即需要支付车费23 2

9、 元1( 变条件 ) 在例 3 中，若某人乘坐该市的出租车去往185 km( 不足 1 km，按 1 km 计费) ，且一路畅通，等候时间为0，那么，需支付多少车费？ 解由题意知，当出租车行至185 km 处时，n16，此时需支付车费a1611 2(16 1)1 2292( 元) 2( 变结论 ) 在例 3 中，若某人乘坐该市的出租车去往n km(nn) 处的目的地，求其需支付的车费an 解当n1,2,3时，an10，当n n，且n4 时，an112(n4)1 212n64所以an10，n1， 2，3 ，1.2n6.4 ，n4且nn.应用等差数列解决实际问题的步骤(1) 审题，读懂题意，把握已

10、知条件与求解问题(2) 将实际问题抽象为等差数列模型(3) 利用等差数列解决问题(4) 验证答案是否符合实际问题的意义1由等差数列的通项公式ana1(n1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，所以，首项a1与公差d是确定一个等差数列的两个基本量2在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，利用通项公式ana1(n 1)d可以构建关于第四个量的方程，从而可以求出第四个量3等差数列判断的关键是看anan1(n2)是否为一个与n无关的常数，但要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可，例如a2a1a3a21判断正误 ( 正确的打“”，错误的打“”)(1) 常数列是等差数列( ) (2) 1， 2， 3， 4， 5 不是等差数列( ) (3) 若数列 an 是等差数列，则其公差da7a8( ) 答案 (1) (2) (3) 提示 (1) 正确， (2) 不正确， 数列 1，2，3，4，5 是公差为 1 的等差数列；(3) 不正确，公差da8a72下列数列是等差数列的是( ) a13，15，17，19b1，3，5，7 c1， 1,1 ， 1 d0,0,0,0 d 由等差数列的定义知：0,0,0,0是等差数列，选d