与球有关的切、接问题(有答案)

1、【meiwei_8i重点借鉴文档】i.球的表面积公式：与球有关的切、接问题32s= 4 n；球的体积公式v=3 tr312与球有关的切、接问题中常见的组合：正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r,/址、外接球的半径为r,取ab的中点为d，连接cd，se为正四面体的高，在 气雾 截面三角形sdc内作一个与边sd和dc相切，圆心在高se上的圆.因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为r20.此时，co=0s=r,oe=r,se=t，解得=t ,r-=r2|ce|2(2)正方体与球： 正方体的内切球：截面图为正方形efhg的内切圆，如图所_6a a1212. .示.设正

2、方体的棱长为a,则0j1=r=a(r为内切球半径). 与正方体各棱相切的球：截面图为正方形则|g0|=r= a. 正方体的外接球：截面图为正方形2efhg的外接圆，acca的外接圆，则|aio|=r(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.即三棱锥ai-abidi的外接球的球心和正方体abcd-aibicidi的外接球的球心重合.如图，设aai=a,贝vr=2 a.如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外2 2 | 2 2接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.

3、角度一：正四面体的内切球 a+b+c ir=4=4（l为长方体的体对角线长）.21.(2015长春模拟)若一个正四面体的表面积为si,其内切球的表面积为s2,则詈=解析：设正四面体棱长为a,则正四面体表面积为si=4j a=v3a，其内切球半径3222ra2na为正四面体高的4,即=if，因此内切球表面积为s2= 4 n =6角度二：直三棱柱的外接球2.（2015唐山统考）如图，直三棱柱abc-aibici的六个顶点都在半径abbiai的面积为（）a.2 b.ic. 2d.解析：选c由题意知，球心在侧面bccibi的中心o上，bc为截面圆的直径，zbac=90kbc的外接圆圆心n是bc的中点，

4、同理aibici的外心m是bici的中心.设正方形bccibi的边长为r,rtomci中，xx,ix ix rom=2，mci=2，oci=r=i（r为球的半径），2+2=i，即卩r=2,则ab=ac=i, s矩形abbiai=：2xi=，j2.角度三：正方体的外接球俯视图3一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示（图中三个四边形都是边长为2的正方形），则该几何体外接球的体积为为1的半球面上，ab=ac,侧面bccibi是半球底面圆的内接正方形，则 侧面3正方体的体对角线；2r=2.3（r为球的半径），.r=3,二球的体积v= 詁 =4 3 n.答案：4 ,3n角度四：四棱锥的外接球

5、4. （20rr大纲卷）正四棱锥的顶点都在同一球面上， 若该棱锥的高为4,底面边长为解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是2,则该球的表面积为（）27 n81 n169a.b. .解析：选a如图所示，设球半径为r,底面中心为0且球心为0,t正四棱锥p-abcd中ab=2,.a0 =2.po =4,.在rtkoo中，ao=ao+oo,ar= ( 2)+(4-r)，解得2222922，.该球的表面积为4 tr= 4 %x卽=字 故选a.2类题通法“切”“接”问题的处理规律1.“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过

6、作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.2.“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题解决这类问题的关键是抓住 外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.牛刀小试1.（2015云南一检）如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于 的圆，那么这个空间几何体的表面积等于（）25 ndp5,则表面积为s=4ur= 100 n.2a . 100 n b.c. 25 n解析：选a易知该几何体为球，其半径为2.（20rr陕西高考）已知底面边长为1,侧棱长为.2的正四棱柱的各顶点均在同一个 球面上，则该球的体积为（）4 nde32

7、na. . 4tc . 2 n3解析：选d因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径 =玮石齐花2=1，所以v球=n 1节故选d.43=3.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为【meiwei 81重点借鉴文档】6时，其高的值为（a.3萌bpc.2竝）d.2眾h2解析：选d设正六棱柱的高为h，则可得（6）+牛=3,解得h=2 3.224.（2015西四校联考）将长、宽分别为4和3的长方形abcd沿对角线ac折起，得到四面体a-bcd，则四面体a-bcd的外接球的体积为 _.解析：设ac与bd相交于o,折起来后仍然有oa=ob=oc=od ,外

8、接球的半径2从而体积4nf5、3_125v=4xno的球面上，则该5一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球圆锥的体积与球o的体积的比值为 _解析：设等边三角形的边长为2a,则v圆锥=寸3na;又r=a+（ 3a-33223r）,所以r= 故v球=3na i=2423爭n3,则其体积比为 备高考全国课标卷真题追踪1. （15课标1理）已知a, b是球0的球面上两点， aob =90,c为该球面上的动点,若o - abc三棱锥体积的最大值为36,则球o的表面积为（c）（a）36：（b）64二（c）144二（d）256 :2.（13课标1理）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器

9、容器高8cm,将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度，则球的体积为（a）(a)叫m3866(b)n3(c)咤cm3n2048cm(d)33cm33.（12课标理）已知三棱锥s-abc的所有顶点都在球0的球面上，abc是边长为1的正三角形，sc为球0的直径，且sc = 2,则此棱锥的体积为（a）（卡歆昨（心4.（12课标文）平面：截球0的球面所得圆的半径为此球的体积为（b）1,球心0到平面的距离为，2,则（a）6 n （b） 4 3n （c） 4 6 n （d） 6 3n5.（10新课标理）设三棱柱的侧棱垂直于底面该球的表面积为（b），所有棱长都

10、为a,顶点都在一个球面上，则(a)二a2(b) 23(ou32(d)56.（10新课标文）设长方体的长、宽、高分别为的表面积为（b）2 2 2 22a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球（a）3二a（b）6二a（c）12二a（d）24二a7.（07新课标文）已知三棱锥s - abc的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心0在ab上,so_底面abc,ac=齐，则球的体积与三棱锥体积之比是（d）a .nb .2 nc .3 nd .4 n8.（13新课标2文）已知正四棱锥o-abcd的体积为2,底面边长为.3,则以o为2球心，oa为半径的球的表面积为24二。9.（13新课标1文）已知h是球o的直径ab上一点，ah :hb =1: 2,ab_平面:,h为垂足，a截球o所得截面的面积为 兀，则球o的表面积为_。芒10.（11新课标理）已知矩形abcd的顶点都在半径为4的球o的球面上，且ab =6, bc =2、3,则棱锥o - abcd的体积为8-、3.11.（11新课标文）已