整式的乘除与因式分解培优练习复习过程

1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除整式的乘除与因式分解培优练习一、逆用幂的运算性质4已知： x m3, xn2 ，求 x3 m 2n 、 x3 m 2n 的值。5已知： 2ma ， 32nb ，则 23 m 10n =_。二、式子变形求值3已知 x 23x 10 ，求 x212 的值。x4已知： x x1x2y2 ，则 x 2y 2xy =.25 (2 1)(221)(241) 的结果为.7已知： a2008x2007 ， b2008x2008 ， c2008x 2009 ，求 a2 b2 c 2 ab bc ac 的值。8若 n2n10, 则 n32n22008_.9已知： x22

2、xy26 y100 ，则 x_， y_。10已知 a2b26a8b250 ，则代数式 ba 的值是 _。ab三、式子变形判断三角形的形状1已知： a 、 b 、 c 是三角形的三边，且满足a2b2c 2abbcac0 ，则该三角形的形状是 _.2若三角形的三边长分别为a 、 b 、 c ，满足 a2 ba2 cb2 cb30 ，则这个三角形是_。3已知 a 、b 、c 是 ABC的三边，且满足关系式 a 2c 22ab2ac2b2 ，试判断 ABC的形状。四、简答题6为促进节约用水和保障城市供水行业健康发展，某市将实施阶梯式计量水价该市在五个区内选取了近 10 万户居民，进行阶梯式计量水价的“

3、模拟操作”，对自来水用户按如下标准收费：第一等级是每月每户用水不超过a 吨，水价是每吨m元；第二等级是月用水量超过 a 吨，但不超过 30 吨的部分，水价每吨 2m元；第三等级是月用水量超过 30 吨，超过 30 吨的部分水价为每吨 3m元现有一居民本月用水 x 吨，则应交水费多少元 ?只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除7利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a 2+b2+c2-ab-bc-ac=1 (a-b) 2+(b-c) 2+(c-a) 2 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称2性，还体现了数学的和谐、简洁美(1) 请你检验这个等式的正确性；(

4、2) 若 a=2006 ，b=2008， c=2010，你能很快求出 a2+b2+c2-ab-bc-ac 的值吗 ?8. （ 4 分）（ 1）阅读下列解答过程（ 1） 问：求 y2+4y+8 的最小值 .（ 2）模仿（ 1）的解答过程，求m2+m+4 的最小值(3) 求 712x4x2 的最大值9、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。如 4=2 2-0，12=4 2-22， 20=62-42 ，因此4， 12， 20 这三个数都是神秘数。（ 1） 28 和 2012 这两个数是神秘数吗？为什么？（ 2）设两个连续偶数为 2k+2 和 2k（其中 k 取非负

5、整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是 4 的倍数吗？为什么？（ 3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？（ 3）由（ 2）知，神秘数可表示成 4（ 2k+1），因为 2k+1 是奇数，因此神秘数是 4 的倍数，但一定不是 8 的倍数。另一方面，设两个连续奇数为2n+1， 2n-1，则即两个连续奇数的平方差是8 的倍数，因此两个连续奇数的平方差不是神秘数。因式分解的方法一、用提公因式法把多项式进行因式分解1. 在多项式恒等变形中的应用只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除2 xy3例：不解方程组，求代数式 (2xy)(2x3y)3x(2xy) 的值。5x3y2

6、2. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n， 3n 22 n 23n2n 一定是 5 的倍数。题型展示：例 1. 计算： 200020012001200120002000精析与解答：设 2000 a ，则 2001 a 12000 20012001 2001 20002000a10000(a 1) (a 1)(a 1)(10000a a)a(a1)10001a( a 1)10001a(a1)(1000110001)0说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001 重复出现，又有200120001 的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化

7、为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。例 3. 设 x 为整数，试判断 10 5xx( x 2) 是质数还是合数，请说明理由。解： 105xx( x2)5( 2x)x( x2)(x2)(5 x)x2， 5x 都是大于1 的自然数( x2)(5x) 是合数说明：在大于1 的正数中，除了1 和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1 和本身整除的数叫质数。只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除【实战模拟】1. 证明： 817279913 能被 45 整除。2. 化简： 1xx(1x)x(1x) 2x(1x) 1995 ，且当 x0 时，求原式的值。

8、二、运用公式法进行因式分解1. 在几何题中的应用。例：已知 abc 是ABC 的三条边， 且满足 a2b2c2abbcac0 ，试判断ABC的形状。2. 在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8 的倍数。题型展示：例 1. 已知： a11 b11mm 2 cm 3，222求 a 22abb22ac c22bc 的值。例 2. 已知 a b c0 a 3b3c30 ，求证： a 5b5c50例 3. 若 x3y 327 x2xyy29 ，求 x 2y2的值。解： x 3y3( x y)( x2xyy2 ) 27只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除且 x 2xyy2

9、9xy3， x22xyy 29 (1)又 x 2xyy 29(2)两式相减得 xy0所以 x2y29说明：按常规需求出x，y 的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。【实战模拟】3. 若 a， b， c 是三角形的三条边，求证： a 2b2c22bc 04. 已知：21 0，求2001 的值。5. 已知 a， b， c 是不全相等的实数，且abc0， a 3b 3c33abc ，试求（1） a bc 的值；（ 2） a( 11)b( 11 )c( 11) 的值。bccaab三、用分组分解法进行因式分解例 1.分解因式 x 5x 4x 3x 2x 1分析：这是一个六项式，很显然要

10、先进行分组，此题可把x 5x 4x3 和x 2x1 分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后， 再进一步分解； 此题也可把 x5x 4 ， x3x 2 和x 1分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。例 2.在几何学中的应用已知三条线段长分别为a、 b、c，且满足a b， a 2c2b2ac2只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除例 3. 在方程中的应用求方程 xyxy 的整数解题型展示：例 1. 已知： a2b 21， c2d 21，且 acbd0 ，求 ab+cd 的值。解： ab+cd= ab1cd1ab(c2d 2 )cd(a 2b 2

11、 )abc2abd 2cda 2cdb 2(abc 2cdb2 )(abd 2cda2 )bc(acbd)ad(bdac)(acbd )(bcad)acbd0原式0说明：首先要充分利用已知条件a2b 21，c 2d 21 中的 1（任何数乘以1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd 因式乘积的形式，由ac+bd=0 可算出结果。例 2. 分解因式： x 3 2x 3分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当x=1 时，它的值为0，这就意味着 x1是 x 32x3 的一个因式，因此变形的目的是凑x 1 这个因式。解一（拆项）：32 x 33x332xx32x3(

12、x1)( x2x1)2 x( x21)(x1)( x 2x3)解二（添项）：x 32 x 3 x 3x2x 22x 3x 2 ( x 1)(x1)( x3)( x1)( x2x3)说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？【实战模拟】1. 已知： x2y 2z20，A是一个关于 x, y, z的一次多项式，且 x3y3z3(x y)(x z)A ，试求 A 的只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除表达式。2. 证明： ( a b 2ab)(a b 2) (1 ab) 2(a 1) 2 (b 1) 2四、用十字相乘法把二次三项式分解因

13、式例 . 证明：若 4xy 是 7 的倍数，其中x， y 都是整数，则8x210xy3y2 是 49 的倍数。中考点拨例 1.把 4x4 y 25x2 y29 y2 分解因式的结果是 _ 。题型展示例 1. 若 x2y 2mx 5y6 能分解为两个一次因式的积，则m 的值为（）A. 1B. -1C.1D. 2解： x 2y2mx 5y 6 x y x y mx 5y 6-6 可分解成23 或32 ，因此，存在两种情况：（ 1） x+y-2（ 2） x+y-3x-y3x-y2由（ 1）可得： m1，由（ 1）可得： m1故选择 C。说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个

14、一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。2例 2. 已知： a、 b、 c 为互不相等的数，且满足ac4 ba cb 。求证： abbc只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除证明：ac 24 bac bac24 ba cb0a22acc24bc4ac4ab 4b20ac 24b ac4b20ac2b 20ac2b0abbc说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。例 3. 若 x35x27 xa 有一因式 x1。求 a，并将原式因式分解。解：x 35x27 xa 有一因式 x1当 x 1 0 ，即 x1 时， x3 5x27 x a 0a3x35x27

15、x3x 3x 24 x24 x 3x 3x 2x14x x13 x 1x1x24x3x1x1x3x1 2 x3说明：由条件知， x1时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是x 1 ，分解时尽量出现x1 ，从而分解彻底。【实战模拟】1. 分解因式：2b2ab（ 2）2nnn 12 n 2（ 1）a163915x7 xy4y（ 3）x 23x 222 x 23x72只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除2. 在 多 项 式 x1， x2， x3， x 22x 3， x 22x 1， x 22x 3 ， 哪 些 是 多 项 式x 2422 x22 x10 x9 的因式

16、？3. 已知多项式2x3x213xk 有一个因式，求k 的值，并把原式分解因式。4. 分解因式： 3x 25xy 2 y 2x 9 y 45. 已知： xy05. ， x3y12. ，求 3x212 xy9 y 2 的值。分式提高测试一 判断下列各分式中x 取什么值时，分式的值为0？ x 取什么值时，分式无意义（本题15 分，每小题5 分）：x2；2x21x；3( x 3)(1 x)x225322二化简 ( 本题 40 分，每小题8 分)：x1 2x 6x2(x 3)x2x 6 ；44x3x2 (a2 )2 (b2 )3 ( 1 )4 (2a3 )；baab只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除3 23y1xyx23 ；23y1 xyx23；4 3x(x25)