2022届高三数学一轮复习（原卷版）第十一章 11.1随机事件的概率-教师版

1、 第1课时进门测判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)事件发生频率与概率是相同的(×)(2)随机事件和随机试验是一回事(×)(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值()(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生(×)(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件()(6)两互斥事件的概率和为1.(×)作业检查无第2课时阶段训练题型一事件关系的判断例1(1)从1,2,3，7这7个数中任取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一

2、个是偶数上述事件中，是对立事件的是()a b c d(2)设条件甲：“事件a与事件b是对立事件”，结论乙：“概率满足p(a)p(b)1”，则甲是乙的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件(3)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是()a至多有一张移动卡 b恰有一张移动卡c都不是移动卡 d至少有一张移动卡答案(1)c(2)a(3)a解析(1)中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从17中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”

3、，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件(2)若事件a与事件b是对立事件，则ab为必然事件，再由概率的加法公式得p(a)p(b)1.设掷一枚硬币3次，事件a：“至少出现一次正面”，事件b：“3次出现正面”，则p(a)，p(b)，满足p(a)p(b)1，但a，b不是对立事件(3)至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件思维升华(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生(2

4、)判别互斥、对立事件的方法判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：至少有1个白球与至少有1个黄球；至少有1个黄球与都是黄球；恰有1个白球与恰有1个黄球；恰有1个白球与都是黄球其中互斥而不对立的事件共有()a0组 b1组 c2组 d3组答案b解析中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生，如恰好1个白球和1个黄球，中的两个事件不是互斥事件中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球，则两个事件不互斥中“

5、恰有1个白球”与“恰有1个黄球”，都是指有1个白球和1个黄球，因此两个事件是同一事件中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件，但不是对立事件，故选b.题型二随机事件的频率与概率例2某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数012345频数605030302010(1)记a为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求p(a)的估计值；(2)记b为事件：

6、“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求p(b)的估计值；(3)求续保人本年度的平均保费的估计值解(1)事件a发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为0.55，故p(a)的估计值为0.55.(2)事件b发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为0.3，故p(b)的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30a×0.251.2

7、5a×0.151.5a×0.151.75a×0.102a×0.051.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.思维升华(1)概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值(2)随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示

8、购买，“×”表示未购买.商品顾客人数甲乙丙丁100×217××200×300××85×××98×××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙

9、、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大题型三互斥事件、对立事件的概率命题点1互斥事件的概率例3袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？解方法一从袋中选取一个球，记事件

10、“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为a，b，c，d，则有p(a)，p(bc)p(b)p(c)，p(cd)p(c)p(d)，p(bcd)p(b)p(c)p(d)1p(a)1，解得p(b)，p(c)，p(d)，因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，.方法二设红球有n个，则，所以n4，即红球有4个又得到黑球或黄球的概率是，所以黑球和黄球共5个又总球数是12，所以绿球有12453(个)又得到黄球或绿球的概率也是，所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有532(个)所以黑球有124323(个)因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，.命题点2对立事件的概率例4某商场有奖销售中，购满

11、100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖，一等奖，二等奖的事件分别为a，b，c，求：(1)p(a)，p(b)，p(c)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率解(1)p(a)，p(b)，p(c).故事件a，b，c的概率分别为，.(2)1张奖券中奖包含中特等奖，一等奖，二等奖设“1张奖券中奖”这个事件为m，则mabc.a，b，c两两互斥，p(m)p(abc)p(a)p(b)p(c).故1张奖券的中奖概率为.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件n，则事件n与“1张奖券中特等

12、奖或中一等奖”为对立事件，p(n)1p(ab)1.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.思维升华求复杂事件的概率的两种方法求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法：(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队

13、等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率解记“无人排队等候”为事件a，“1人排队等候”为事件b，“2人排队等候”为事件c，“3人排队等候”为事件d，“4人排队等候”为事件e，“5人及5人以上排队等候”为事件f，则事件a、b、c、d、e、f彼此互斥(1)记“至多2人排队等候”为事件g，则gabc，所以p(g)p(abc)p(a)p(b)p(c)0.10.160.30.56.(2)方法一记“至少3人排队等候”为事件h，则hdef，所以p(h)p(def)p(d)p(e)p(f)0.30.10.040.44.方法二记“至少3人排队等候”为事件h，则其对立事件为事件g，所以p(h)1p(g)0.44.

14、第3课时阶段重难点梳理1概率和频率(1)在相同的条件s下重复n次试验，观察某一事件a是否出现，称n次试验中事件a出现的次数na为事件a出现的频数，称事件a出现的比例fn(a)为事件a出现的频率(2)对于给定的随机事件a，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件a发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件a发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件a的概率，记作p(a)2事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件a发生，则事件b一定发生，这时称事件b包含事件a(或称事件a包含于事件b)ba(或ab)相等关系若ba且abab并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件a

15、发生或事件b发生，称此事件为事件a与事件b的并事件(或和事件)ab(或ab)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件a发生且事件b发生，则称此事件为事件a与事件b的交事件(或积事件)ab(或ab)互斥事件若ab为不可能事件(ab)，那么称事件a与事件b互斥ab对立事件若ab为不可能事件，ab为必然事件，那么称事件a与事件b互为对立事件p(a)p(b)13.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0p(a)1.(2)必然事件的概率p(e)1.(3)不可能事件的概率p(f)0.(4)概率的加法公式如果事件a与事件b互斥，则p(ab)p(a)p(b)(5)对立事件的概率若事件a与事件b互为对立事件，

16、则p(a)1p(b)【知识拓展】互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件重点题型训练典例某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，

17、并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)思想方法指导若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解规范解答解(1)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20.2分该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1.9(分钟)7分(2)记a为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，a1，a2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2

18、.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得p(a1)，p(a2).10分p(a)1p(a1)p(a2)1.12分故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.15分1从1,2,3,4,5中随机选取一个数a，从1,2,3中随机选取一个数b，则b>a的概率是()a. b. c. d.答案d解析基本事件的个数有5×315，其中满足b>a的有3种，所以b>a的概率为.2将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是()a必然事件 b随机事件c不可能事件 d无法确定答案b解析抛掷10次硬币正面向上的次数可能为010，都有可能发生，正面向上5次

19、是随机事件3某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2,0.3,0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为()a0.5 b0.3 c0.6 d0.9答案a解析依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1(0.20.3)0.5.4袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则恰有1个红球和全是白球；至少有1个红球和全是白球；至少有1个红球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个红球在上述事件中，是对立事件的为_答案解析是互斥不对立的事件，是对立事件，不是互斥事件.作业布置1甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为()a. b.c. d.

20、答案a解析事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为.2袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则恰有1个白球和全是白球；至少有1个白球和全是黑球；至少有1个白球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个黑球在上述事件中，是对立事件的为()a b c d答案b解析至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生中两事件是对立事件3从一箱产品中随机地抽取一件，设事件a抽到一等品，事件b抽到二等品，事件c抽到三等品，且已知p(a)0.65，p(b)0.2，p(c)0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为()a0.7 b0.65 c0.35 d0.5答案

21、c解析“抽到的产品不是一等品”与事件a是对立事件，所求概率p1p(a)0.35.4有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向事件“甲向南”与事件“乙向南”是()a互斥但非对立事件 b对立事件c相互独立事件 d以上都不对答案a解析由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件，故选a.5从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在30,40克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为()a0.8 b0.5 c0.7 d0.3答案c解析由互斥事件概率公式知重量大于40克的概率为1

22、0.30.50.2，又0.50.20.7，重量不小于30克的概率为0.7.6从存放的号码分别为1,2,3，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码12345678910取到次数138576131810119则取到号码为奇数的卡片的频率是()a0.53 b0.5 c0.47 d0.37答案a解析取到号码为奇数的卡片的次数为1356181153，则所求的频率为0.53.故选a.7在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；在这200件产品中任意

23、选出9件，不全是二级品其中_是必然事件；_是不可能事件；_是随机事件答案8若随机事件a，b互斥，a，b发生的概率均不等于0，且p(a)2a，p(b)4a5，则实数a的取值范围是_答案(，解析由题意可知，<a.9在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，然后将它们混合，再任意排列成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是_答案解析个位数字共有5种情况，只有当个位数字取2,4,5时，得到的数才能被2或5整除，所以概率为.10一个口袋内装有大小相同的红球，白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为_答案0.2解析记事件a，b

24、，c分别是摸出红球，白球和黑球，则a，b，c互为互斥事件且p(ab)0.58，p(ac)0.62，所以p(c)1p(ab)0.42，p(b)1p(ac)0.38，p(a)1p(c)p(b)10.380.420.2.11某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01 0002 0003 0004 000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆

25、中，新司机获赔金额为4 000元的概率解(1)设a表示事件“赔付金额为3 000元”，b表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得p(a)0.15，p(b)0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为p(a)p(b)0.150.120.27.(2)设c表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×12024(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为0.24，由频率估计概率得p