三角函数复习教案

1、学习必备欢迎下载【讲练平台】例 1 已知角的终边上一点p（3 ，m），且sin= 2 4m，求 cos与 tan 的值分析已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由 p 的坐标可知，需求出m 的值，从而应寻求m 的方程解由题意知r= 3m2，则 sin= mr= m3m2又 sin= 2 4m，m3m2= 2 4mm=0，m=5 当 m=0 时， cos= 1 ，tan=0 ；当 m= 5 时， cos= 6 4， tan = 15 3；当 m= 5 时， cos= 6 4，tan=15 3点评已知一个角的终边上一点的坐标，求其三角函数值，往往运用定义法(三角

2、函数的定义 )解决例 2 已知集合e=cossin，02，f=tansin，求集合 e f分析对于三角不等式，可运用三角函数线解之解e= 4 54， f = 2，或32 2，ef=2例 3 设是第二象限角，且满足sin2|= sin2，2是哪个象限的角? 解是第二象限角，2k+ 22k +32， kzk+ 42k+ 34，kz 2是第一象限或第三象限角又 sin2|= sin2， sin 20. 2是第三、第四象限的角由、知，2是第三象限角点评已知 所在的象限，求2或 2等所在的象限，要运用终边相同的角的表示法来表示，否则易出错学习必备欢迎下载第 2 课同角三角函数的关系及诱导公式【考点指津】

3、掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2+cos2=1，sincos=tan，tancot=1，掌握正弦、 余弦的诱导公式能运用化归思想 （即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题【讲练平台】例 1 化简sin(2- )tan(+)cot(-)cos( -)tan(3- )分析式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化解原式 = （ -sin） tan-cot( +) (-cos)tan(- )= (-sin )tan(-cot)(-cos)(-tan)= sincossincos=1 点评将不同角化同角， 不同名的三角函数化成同名的三角函数是三

4、角变换中常用的方法例 2 若 sincos= 18， (4，2)，求 cossin的值分析已知式为 sin、cos 的二次式，欲求式为sin 、cos的一次式，为了运用条件，须将cossin进行平方解(cossin )2=cos2+sin22sincos=114= 34(4，2)，cossincossin= 3 2变式 1 条件同例，求 cos+sin的值变式 2 已知 cossin= 3 2， 求 sincos，sin+cos的值点评sin cos，cos+sin， cossin三者关系紧密，由其中之一，可求其余之二例 3 已知 tan=3求 cos2+sincos 的值分析因为 cos2+

5、sincos 是关于sin、cos的二次齐次式，所以可转化成tan的式子解原式 =cos2+sincos= cos2+sincoscos2+sin2= 1+tan1+tan2= 25点评1关于 cos、sin 的齐次式可转化成tan 的式子2注意 1 的作用 :1=sin 2+cos2等学习必备欢迎下载第 3 课两角和与两角差的三角函数（一）【考点指津】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题【讲练平台】例 1 已知 sin sin=13，coscos=12，求 cos()的值分析由于 cos( )=coscos+si

6、nsin 的右边是关于sin、cos、sin、cos的二次式，而已知条件是关于sin、sin、cos、cos的一次式，所以将已知式两边平方解 sinsin=13，coscos= 12，22，得 22cos()= 1336cos( )= 7259点评审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异例 2 求2cos10-sin20cos20的值分析式中含有两个角，故需先化简注意到10=30 20，由于30的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角解10=30 20，原式 =2cos(30-20)-sin20 cos20= 2(cos30cos20+sin30sin20)-sin20cos20= 3

7、cos30cos20=3 点评化异角为同角，是三角变换中常用的方法例 3 已知： sin( +)=2sin求证： tan=3tan(+)分析已知式中含有角2+和，而欲求式中含有角和 + ，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角解2 +=(+)+，=(+)，sin(+)+=2sin(+ )sin(+)cos+cos(+)sin=2sin(+)cos+2cos(+ )sin若 cos(+ )0 ，cos0，则 3tan(+ )=tan点评审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将+看成一个整体学习必备欢迎下载第 4 课两角和与两角差的三角函数（二）【考点指津】掌握两角和与

8、两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能灵活运用和角、差角、倍角公式解题【讲练平台】例 1 求下列各式的值（1）tan10 tan50+3 tan10tan50；(2) （3 tan12-3） csc124cos 212-2(1)解原式 =tan(10+50)（1tan10tan50） +3 tan10tan50 =3 （ 2）分析式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦解原式 = （3 sin12cos123）1sin122 cos24=24cos212sin312cos3=48sin21)12cos2312sin21(3224cos12cos12

9、sin212cos312sin3=.3448sin)6012sin(34点评（1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tana+tanb=tan(a+b) （1tanatanb ）， asinx+bsinx=22basin(x+)的运用；（ 2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法例 2 求证1+sin4-cos42 tan= 1+sin4+cos41-tan2分析三角恒等式的证明可从一边开始，证得它等于另一边；也可以分别从两边开始，证得都等于同一个式子；还可以先证得另一等式，从而推出需要证明的等式由欲证的等式可知，可先证等式1+sin4-cos41+sin4+cos4=2tan1-ta

10、n2，此式的右边等于tan2，而此式的左边出现了“1cos4”和“ 1+cos4”，分别运用升幂公式可出现角2，sin4用倍角公式可出现角2，从而等式可望得证证略点评注意倍角公式cos2=2cos21，cos2=1 2sin2的变形公式：升幂公式1+cos2=2cos 2，1cos2=2sin2，降幂公式sin2= 1-cos22，cos2= 1cos22的运用；三角恒等式证明的方法：从一边推得另一边；左右归一，先证其等价等于等式；分析法等学习必备欢迎下载例 3 已知 cos(4+x)= 35，1712 x74，求sin2x sin2xtanx1-tanx的值解 原式 = sin2x（1tan

11、x）1-tanx=sin2x tan4tanx1-tan4tanx=sin2xtan （4+x）= cos2(x+4)tan(x+4)= 2cos2(x+ ) 1tan（4+x）1712x74， 53x+42sin(4+x) = 45， tan（4+x ）=43原式= 2875点评（1） 注意两角和公式的逆用； （2） 注意特殊角与其三角函数值的关系，如 1=tan4等；（ 3）注意化同角，将所求式中的角x 转化成已知条件中的角x+ 4学习必备欢迎下载第 5 课三角函数的图象与性质（一）【考点指津】了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能运用数形结合的思想解决问题，能讨论较复杂的三角函

12、数的性质【讲练平台】例 1 （1）函数 y=xxsin21)tan1lg(的定义域为(2)若 、为锐角， sincos，则 、满足（c）a b c+2d +2分析（1）函数的定义域为0.2sinx-10,tanx-1(*) 的解集，由于y=tanx 的最小正周期为 ， y=sinx 的最小正周期为2，所以原函数的周期为2， 应结合三角函数y=tanx和 y=sinx 的图象先求出(2，32)上满足（ * ）的 x 的范围，再据周期性易得所求定义域为x 2k2x2k+6，或 2k+ 56 x2k+54，kz 分析（ 2）sin、cos不同名，故将不同名函数转化成同名函数，cos转化成 sin(2

13、 )，运用 y=sinx 在 0，2的单调性，便知答案为c点评（1）讨论周期函数的问题，可先讨论一个周期内的情况，然后将其推广；（2）解三角不等式，要注意三角函数图象的运用；（3）注意运用三角函数的单调性比较三角函数值的大小例 2 判断下列函数的奇偶性：(1)y= xxxcos1cossin；(2)y=.cossin1cossin1xxxx分析讨论函数的奇偶性，需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后考f(x)否等于 f(x) 或 f(x) 解 （1）定义域关于原点对称，分子上为奇函数的差，又因为1+cosx=2cos2x2，所以分母为偶函数，所以原函数是奇函数（2）定义域不关于原点对称（

14、如x=2，但 x2），故不是奇函数，也不是偶函数点评将函数式化简变形，有利于判断函数的奇偶性学习必备欢迎下载例 3 求下列函数的最小正周期：（1）y=sin(2x 6)sin(2x+ 3) ；(2)y= .)32cos(2cos)32sin(2sinxxxx分析对形如y=asin( x+)、y=acos( x+)和 y=atan( x+)的函数，易求出其周期，所以需将原函数式进行化简解（1）y=sin(2x 6)sin(2x+ 26)= 12sin(4x3)，所以最小正周期为24= 2（2）y=23)2(sin21)2(cos2cos23)2(cos21)2(sin2sinxxxxxx=xxx

15、x2sin232cos232cos232sin23=).62tan(2tan331332tan2tan312tan3xxxxx是小正周期为2点评求复杂函数的周期，往往需先化简，其化简的目标是转化成y=asin( x+)k 或 y=acos( x+) k 或 y=atan( x+) k 的形式（其中a、 、k 为常数， 0）例 4 已知函数f(x)=5sinxcosx 53cos2x+235(xr) (1)求 f(x) 的单调增区间；（2）求 f(x) 图象的对称轴、对称中心分析函数表达式较复杂，需先化简解f(x)= 52sin2x 531+cos2x2235=5sin(2x3)（1）由 2k2

16、2x32k +2，得 k 12，k+512（ kz）为 f(x) 的单调增区间（2）令 2x3=k+2，得 x= k2+512（kz），则 x= k2+512（kz）为函数y=f(x) 图象的对称轴所在直线的方程，令2x3=k，得 x=k2+6（kz），y=f(x)图象的对称中心为点（k2+6，0）（kz）点评研究三角函数的性质，往往需先化简，以化成一个三角函数为目标；讨论y=asin( x+)(0)的单调区间，应将x+ 看成一个整体，设为t，从而归结为讨论y=asint 的单调性学习必备欢迎下载第 6 课三角函数的图象与性质（二）【考点指津】了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点

17、法”画正弦函数、余弦函数和函数 y=asin( x+)的图象，理解参数a、的物理意义掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换会根据图象提供的信息，求出函数解析式【讲练平台】例 1 函数 y=asin （ x+)(a 0， 0， 2)的最小值为 2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差3，又图象过点（0，1），求这个函数的解析式分析求函数的解析式，即求a、的值 a 与最大、最小值有关，易知a=2，与周期有关，由图象可知，相邻最高点与最低点横坐标差3，即t2=3得t=6，所以=13所以 y=2sin(x3+），又图象过点（0，1），所以可得关于的等式，从而可将 求出，易得解析式为y=2sin(

18、x36）解略点评y=asin( x+)中的 a 可由图象的最高点、最低点的纵坐标的确定，由周期的大小确定， 的确定一般采用待定系数法，即找图像上特殊点坐标代入方程求解，也可由 的几何意义（图象的左右平移的情况）等确定（请看下例）例 2 右图为某三角函数图像的一段（1）试用 y=asin （x+)型函数表示其解析式；（2）求这个函数关于直线x=2对称的函数解析式解：（ 1）t= 1333=4 =2t= 12又 a=3 ，由图象可知所给曲线是由y=3sin x2沿 x 轴向右平移3而得到的解析式为y=3sin12(x3)(2)设（ x，y)为 y=3sin(12x6）关于直线x=2对称的图像上的任

19、意一点，则该点关于直线 x=2的对称点应为（4x，y)，故与 y=3sin(12x6）关于直线x=2对称的函数解析式是y=3sin12（4x)6=3sin(12x6）点评y=sin(x+)(0)的图象由y=sinx 的图象向左平移（0）或向右平移（ 0）|个单位 特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用x y 13333 3o 学习必备欢迎下载例 3 已知函数y=12cos2x+ 3 2sinxcosx+1 (x r)(1)当 y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（ 2）该函数图象可由y=sinx(x r)的图象经过

20、怎样的平移和伸缩变换得到？解 (1)y= 121+cos2x2+ 3 212sin2x +1= 12sin(2x+6)+ 54当 2x+6=2k+2，即 x=k +6，k z 时， ymax= 74(2）由 y=sinx 图象左移6个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），其次将图象上各点纵坐标缩短到原来的12（横坐标不变），最后把图象向上平移54个单位即可思考还有其他变换途径吗？若有，请叙述点评（1）回答图像的变换时，不能省略 “纵坐标不变” 、 “横坐标不变” 等术语（ 2）周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化学习必备欢迎下载第 7 课三角函数的最值【考点指津】掌握基

21、本三角函数y=sinx 和 y=cosx 的最值，及取得最值的条件；掌握给定区间上三角函数的最值的求法；能运用三角恒等变形，将较复杂的三角函数的最值问题转化成一个角的一个三角函数的最值问题【讲练平台】例 1 求函数 f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos2x 的最大值，并求出此时x 的值分析由于 f（x）的表达式较复杂，需进行化简解y=sin2x+cos2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= 2 sin(2x+4)+2 当 2x+4=2k+2，即 x=k+8(kz)时， ymax= 2 +2 点 评要 熟 练掌握y=asinx+bcosx类型 的三 角 函

22、数 最 值的 求法 ， asinx+bcosx= a2+b2sin（ x+）例 2 若12, 12，求函数y=cos(4+）+sin2的最小值分析在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化解y=cos(4+ )cos2(+4)=cos(4+) 2cos2(+4)1=2cos2(+4)+cos(4+ )+1 =2cos2(+4)12cos(+4)+1 =2 cos( +4)142+98 12, 12， 46，312cos(+4)3 2， y最小值= 3 12点评 （1）三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式（即 f(sinx

23、) 或 g(cosx)，是常见的转化目标；（2）形如 y=f(sinx) 或 y=g(cosx)的最值，常运用sinx，cosx 的有界性，通过换元转化成y=at2+bt+c 在某区间上的最值问题；（3） 对于 y= asin( x+)或 y=acos( x+ )的最值的求法，应先求出t=x+的值域，然后再由y=asint 和 y=acost 的单调性求出最值例 3 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值分析由于 sinx+cosx 与 sinxcosx 可以相互表示，所以令sinx+cosx=t ，则原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c 在某区间上的

24、最值问题解 令 t=sinx+cosx ，则 y=t+t2+1=(t+12)2+34，且 t2 ，2 ，ymin=34，ymax=3+ 2 点评 注意 sinx+cosx 与 sinxcosx 的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c 在某个区间上的最值问题学习必备欢迎下载第 8 课解斜三角形【考点指津】掌握正弦定理、余弦定理，能根据条件，灵活选用正弦定理、余弦定理解斜三角形能根据确定三角形的条件，三角形中边、角间的大小关系，确定解的个数能运用解斜三角形的有关知识，解决简单的实际问题【讲练平台】例 1 在 abc 中，已知a=3，c=33 ， a=30，求 c 及 b

25、 分析已知两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理注意已知两边和一边的对角所对应的三角形是不确定的，所以要讨论解 a=30 ， ac，csina=33 2 a，此题有两解sinc=csinaa= 33123= 3 2， c=60，或 c=120当 c=60时， b=90， b=a2+b2=6当 c=120时， b=30， b=a=3点评 已知两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论例 2 在 abc 中，已知acosa=bcosb，判断 abc 的形状分析欲判断 abc的形状，需将已知式变形式中既含有边也含有角，直接变形难以进行，若将三角函数换成边，则可进行代数变形，或将边换成

26、三角函数，则可进行三角变换解 方法一：由余弦定理，得a（b2+c2a22bc）=b（a2+c2b22ac），a 2c 2 a 4b 2c 2+b 4=0 (a2b2)(c 2a2 b2)=0 a2b2=0，或 c2a2b2=0a=b，或 c2=a2+b2 abc 是等腰三角形或直角三角形方法二：由acosa=bcosb，得2rsinacosa=2rsinbcosb sin2a=sin2b 2a=2b ，或 2a=2ba=b ，或 a+b=2 abc 为等腰三角形或直角三角形点评若已知式中既含有边又含有角，往往运用余弦定理或正弦定理，将角换成边或将边换成角，然后进行代数或三角恒等变换例 3 已知

27、圆内接四边形abcd 的边长分别为ab=2 ，bc=6，cd=da=4 ，求四边形abcd 的面积分析四边形 abcd 的面积等于abd 和 bcd 的面积之和，由三角形面积公式及a+c=可知，只需求出 a 即可所以，只需寻找a 的方程解连结 bd ，则有四边形abcd 的面积a b c d o 学习必备欢迎下载s=sabd+scdb=12abad sina+12bccdsinca+c=180 ，sina=sinc 故 s=12（24+64）sina=16sina 在 abd 中，由余弦定理，得bd2=ab2+ad22ab adcosa=20 16cosa 在 cdb 中，由余弦定理，得bd2

28、=cb2+cd22cbcdcosc=5248cosc2016cosa=5248cosccosc=cosa， 64cosa=32， cosa=12又 0 a180， a=120 故 s=16sin120=8 3 点评 注意两个三角形的公用边在解题中的运用例 4 墙壁上一幅图画，上端距观察者水平视线b 米，下端距水平视线a米，问观察者距墙壁多少米时，才能使观察者上、下视角最大分析如图，使观察者上下视角最大，即使apb 最大，所以需寻找apb 的目标函数由于已知有关边长，所以考虑运用三角函数解之解设观察者距墙壁x 米的 p 处观察， pcab，ac=b ，bc=a(0ab)，则 apb= 为视角y=

29、tan=tan(apc bpc)=tanapctan bpc1+ tan apctan bpc=xaxbxaxb1= bax+abxb a2 ab ，当且仅当 x= abx, 即 x=ab 时， y 最大由（ 0，2）且 y=tan在（ 0，2）上为增函数，故当且仅当x=ab 时视角最大点评注意运用直角三角形中三角函数的定义解决解三角形的有关问题大面积a p c b b a 学习必备欢迎下载【单元检测】单元练习（三角函数）（总分 100 分，测试时间100 分钟）一、选择题：本大题共12 小时，每小题3 分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若角 满足 sin20

30、，cos sin0，则 在（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限2若 f(x)sinx 是周期为 的偶函数，则f(x) 可以是（）asin2x bcosx csinx dcox2x 3若 sinx=m3m+5，cosx=42 mm+5，且 x2， ，则 m 的取值范围为（）a3m9 bm=8 cm=0 dm=0 或 m=8 4函数 f(x)=log13(sin2x+cos2x) 的单调递减区间是（）a （k4，k+8）(kz) b （ k8，k+8）(kz) c （k +8， k+38）(kz) d （ k+8，k+ 58）(kz) 5在 abc 中，若 2cosbsina=sinc ，

31、则 abc 的形状一定是（）a等腰直角三角形b直角三角形c等腰三角形d等边三角形6 abc 中， a=60 ， b=1，其面积为3 ，则a+b+csina+sinb+sinc等于（）a33 b239 3c263 3d39 27已知函数y=2 cos(x+)(02）在一个周期内的函数图象如图，则（）at=65，= 4bt=32，=4ct=3， =4dt=3，= 48将函数y=f(x)sinx 的图象向右平移4个单位后，再作关于 x 轴的对称变换，得到函数y=12sin2x 的图象，则f(x) 可以是（）acosx b2cosx csinx d2sinx 9函数 f(x)=msin( x+)(0)

32、在区间 a，b上是增函数，且f(a)= m，f(b)=m ，则函数 g(x)=mcos( x+)在区间 a，b上（）a是增函数b是减函数c可以取得最大值m d可以取得最小值m 10在 abc 中， c90，则 tanatanb 与 1 的关系适合（）atanatanb1 b anatanb1 ctanatanb=1 d不确定11设 是第二象限角，则必有（a ）acot2tan2btan2cot 22 343202 y x o 学习必备欢迎下载csin2cos 2dsin2cos212若 sin tancot(22 ，则 （）a （2，4）b （4，0）c （0，4）d （4，2）二、填空题：本大题共4 小题，每小题3 分，共 12 分，把答案填在题中横线上13 sin390+cos120+sin2