2022届高三数学一轮复习（原卷版）第六节 抛物线 教案

1、1第六节第六节抛物线抛物线核心素养立意下的命题导向核心素养立意下的命题导向1.结合抛物线的定义，考查求抛物线方程、最值等问题，凸显直观想象的核心素养结合抛物线的定义，考查求抛物线方程、最值等问题，凸显直观想象的核心素养2结合抛物线的几何性质及几何图形，求其相关性质及性质的应用能力，凸显数学运算结合抛物线的几何性质及几何图形，求其相关性质及性质的应用能力，凸显数学运算、直观想象的核心素养直观想象的核心素养理清主干知识理清主干知识1抛物线的概念抛物线的概念平面内与一个定点平面内与一个定点 f 和一条定直线和一条定直线 l(l 不经过点不经过点 f)的距离的距离相等相等的点的轨迹叫做抛物线的点的轨迹

2、叫做抛物线 点点 f叫做抛物线的叫做抛物线的焦点焦点，直线，直线 l 叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线2抛物线的标准方程和几何性质抛物线的标准方程和几何性质标准方程标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p 的几何意义：焦点的几何意义：焦点 f 到准线到准线 l 的距离的距离图形图形顶点顶点o(0,0)对称轴对称轴x 轴轴y 轴轴焦点焦点fp2，0fp2，0f0，p2f0，p2离心率离心率e1准线方程准线方程xp2xp2yp2yp2范围范围x0，yr rx0，yr ry0，xr ry0，xr r开口方向开口方向向右向右向左向左向上向上向下向下焦半径焦半径

3、(其中其中p(x0，y0)|pf|x0p2|pf|x0p2|pf|y0p2|pf|y0p23抛物线焦点弦的几个常用结论抛物线焦点弦的几个常用结论设设 ab 是过抛物线是过抛物线 y22px(p0)焦点焦点 f 的弦，若的弦，若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则，则(1)x1x2p24，y1y2p2；2(2)|af|p1cos ，|bf|p1cos ，弦长，弦长|ab|x1x2p2psin2(为弦为弦 ab 的倾斜角的倾斜角)；(3)1|fa|1|fb|2p；(4)以弦以弦 ab 为直径的圆与准线相切；为直径的圆与准线相切；(5)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：焦点弦端点与顶点构成的三角

4、形面积：saobp22sin 12|ab|d|12|of|y1y2|；(6)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于 2p，通径是过焦点最短的弦；，通径是过焦点最短的弦；(7)以以 af 或或 bf 为直径的圆与为直径的圆与 y 轴相切；轴相切；(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上澄清盲点误点澄清盲点误点一、关键点练明一、关键点练明1(抛物线的标准方程抛物线的标准方程)已知抛物线已知抛物线 c 与双曲线与双曲线 x2y21 有相同的焦点，且顶点在原点，有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线则抛物线 c 的方程是

5、的方程是()ay22 2xby22xcy24xdy24 2x解析解析：选选 d由已知知双曲线的焦点为由已知知双曲线的焦点为( 2，0)，( 2，0)设抛物线方程为设抛物线方程为 y22px(p0)，则则p2 2，所以，所以 p2 2，所以抛物线方程为，所以抛物线方程为 y24 2x.故选故选 d.2 (抛物线的定义抛物线的定义)若抛物若抛物线线 y4x2上的一上的一点点 m 到焦点的距离到焦点的距离为为 1， 则则点点 m 的纵坐标是的纵坐标是()a.1716b1516c.78d0解析：解析：选选 bm 到准线的距离等于到准线的距离等于 m 到焦点的距离，又准线方程为到焦点的距离，又准线方程为

6、 y116，设，设 m(x，y)，则则 y1161，y1516.3 (抛物线的性质抛物线的性质)若抛物线若抛物线 y22px(p0)的焦点是椭圆的焦点是椭圆x23py2p1 的一个焦点的一个焦点， 则则 p()a2b3c4d8解析解析： 选选 d抛物线抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为的焦点坐标为p2，0， 椭圆椭圆x23py2p1 的焦点坐标为的焦点坐标为( 2p，0)由题意得由题意得p2 2p，解得，解得 p0(舍去舍去)或或 p8.3二、易错点练清二、易错点练清1(忽视抛物线的标准形式忽视抛物线的标准形式)抛物线抛物线 y2x2的准线方程是的准线方程是()ax12bx18cy12dy

7、18解析：解析：选选 d抛物线方程为抛物线方程为 x212y，所以，所以 p14，准线方程为，准线方程为 y18.2(忽视抛物线的开口方向忽视抛物线的开口方向)过点过点 p(2,3)的抛物线的标准方程是的抛物线的标准方程是()ay292x 或或 x243yby292x 或或 x243ycy292x 或或 x243ydy292x 或或 x243y解析：解析：选选 a设抛物线的标准方程为设抛物线的标准方程为 y2kx 或或 x2my，代入点，代入点 p(2,3)，解得，解得 k92，m43，所以，所以 y292x 或或 x243y.故选故选 a.3(忽视焦点的位置忽视焦点的位置)若抛物线的焦点在直

8、线若抛物线的焦点在直线 x2y40 上，则此抛物线的标准方程为上，则此抛物线的标准方程为_解析解析：令令 x0，得得 y2；令令 y0，得得 x4.所以抛物线的焦点是所以抛物线的焦点是(4,0)或或(0，2)，故所求故所求抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为 y216x 或或 x28y.答案答案：y216x 或或 x28y4考点一考点一抛物线的定义及应用抛物线的定义及应用典例典例(1)(2020全国卷全国卷)已知已知 a 为抛物线为抛物线 c：y22px(p0)上一点，点上一点，点 a 到到 c 的焦点的的焦点的距离为距离为 12，到，到 y 轴的距离为轴的距离为 9，则，则 p()a2b3c

9、6d9(2)已知抛物线已知抛物线 y22x 的焦点是的焦点是 f，点点 p 是抛物线上的动点是抛物线上的动点，若若 a(3,2)，则则|pa|pf|的最小的最小值为值为_，此时点，此时点 p 的坐标为的坐标为_解析解析(1)根据抛物线的定义及题意得，点根据抛物线的定义及题意得，点 a 到到 c 的准线的准线 xp2的距离为的距离为 12，因为点，因为点 a到到 y 轴的距离为轴的距离为 9，所以，所以p2129，解得，解得 p6.故选故选 c.(2)将将 x3 代入抛物线方程代入抛物线方程y22x，得，得 y 6.因为因为 62，所以点，所以点 a 在抛物线内部，如图所示过点在抛物线内部，如图

10、所示过点 p 作作 pql 于于点点q，则则|pa|pf|pa|pq|(运用定义进行转化运用定义进行转化)，当当 pal，即，即 a，p，q 三点共线时，三点共线时，|pa|pq|最小最小(两点之间，线段最短两点之间，线段最短)，最小值为最小值为72，即即|pa|pf|的最小值为的最小值为72，此时点此时点 p 的纵坐标为的纵坐标为 2，代入代入 y22x，得得 x2，所所以所求点以所求点 p 的坐标为的坐标为(2,2)答案答案(1)c(2)72(2,2)方法技巧方法技巧1利用抛物线的定义可解决的常见问题利用抛物线的定义可解决的常见问题轨迹轨迹问题问题用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距

11、离有关的轨迹是否为抛物线用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线距离距离问题问题涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时，注意在解题中利涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的相互转化用两者之间的相互转化2抛物线定义的应用规律抛物线定义的应用规律5提醒提醒建立函数关系后建立函数关系后， 一定要根据题目的条件探求自变量的取值范围一定要根据题目的条件探求自变量的取值范围， 即函数的定义域即函数的定义域针对训练针对训练1若点若点 a 为抛物线为抛物线 y24x 上一点上一点，f 是抛物线的焦点是抛物线的焦点，|af|5，点点

12、p 为直线为直线 x1 上的上的动点，则动点，则|pa|pf|的最小值为的最小值为()a8b2 13c2 41d 65解析解析：选选 d由题意可知由题意可知，p2，f(1,0)，由抛物线的定义可知由抛物线的定义可知，|af|xap2xa15，xa4，代入抛物线方程代入抛物线方程，得得 y2a16，不妨取不妨取点点a 为为(4,4) 如图如图， 设点设点 f 关于关于 x1 的对称点为的对称点为 e， 则则 e(3,0)， |pa|pf|pa|pe|ae| 43 242 65.2如图如图，圆锥底面半径为圆锥底面半径为 2，体积为体积为2 23，ab，cd 是底面圆是底面圆 o 的两条互相垂直的直

13、径的两条互相垂直的直径，e 是母线是母线 pb 的中点的中点， 已知过已知过 cd 与与 e 的平面与圆锥侧面的交线是以的平面与圆锥侧面的交线是以 e 为顶点的抛物线的一为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离等于部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离等于_解析：解析：由由 v13r2h13( 2)2po2 23，得，得 po 2，则，则 pb2，oe1，ocod 2.以以 e 为坐标原点，为坐标原点，oe 为为 x 轴，过轴，过 e 点与点与 cd 平行的直线为平行的直线为 y 轴建立如图所示轴建立如图所示的平面直角坐标系，则的平面直角坐标系，则 c(1， 2)设抛物线的方程为设

14、抛物线的方程为 y22px(p0)，( 2)22p(1)，解得，解得 p1，故焦点到其准线的距离等于故焦点到其准线的距离等于 1.答案：答案：1考点二考点二抛物线的标准方程抛物线的标准方程6典例典例(1)已知抛物线已知抛物线 y2ax 上的点上的点 m(1，m)到其焦点的距离为到其焦点的距离为 2，则该抛物线的标准方，则该抛物线的标准方程为程为()ay22xby24xcy23xdy25x(2)设抛物线设抛物线 c：y22px(p0)的焦点为的焦点为 f，点点 m 在在 c 上上，|mf|5.若以若以 mf 为直径的圆过为直径的圆过点点a(0,2)，则，则 c 的方程为的方程为()ay24x 或

15、或 y28xby22x 或或 y28xcy24x 或或 y216xdy22x 或或 y216x解析解析(1)由题得点由题得点 m(1，m)到准线的距离为到准线的距离为 2，所以所以 1a42，解得，解得 a4.所以该抛物线的标准方程为所以该抛物线的标准方程为 y24x.(2)由已知得抛物线的焦点由已知得抛物线的焦点 fp2，0设点设点 m(x0，y0)，则则 afp2，2，amy202p，y02.由已知得，由已知得，afam0，即，即 y208y0160，因而因而 y04，m8p，4.由由|mf|5，得，得8pp22165.又又 p0，解得，解得 p2 或或 p8.故故 c 的方程为的方程为

16、y24x 或或 y216x.答案答案(1)b(2)c方法技巧方法技巧抛物线的标准方程的求法抛物线的标准方程的求法(1)定义法定义法根据抛物线的定义根据抛物线的定义，确定确定 p 的值的值(系数系数 p 是指焦点到准线的距离是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置再结合焦点位置，求出抛求出抛物线方程标准方程有四种形式，要注意选择物线方程标准方程有四种形式，要注意选择(2)待定系数法待定系数法根据抛物线焦点是在根据抛物线焦点是在 x 轴上还是在轴上还是在 y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于定关于 p 的方程，解出的方程，解出 p，从而写

17、出抛物线的标准方程；，从而写出抛物线的标准方程；当焦点位置不确定时，有两种方法解决一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准当焦点位置不确定时，有两种方法解决一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在方程进行讨论，对于焦点在 x 轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为 y22px(p0)和和y22px(p0)两种情况求解两种情况求解另一种是设成另一种是设成 y2mx(m0)，若若 m0，开口向右开口向右；若若 m0)的焦点的焦点 f 的直线的直线 l 交抛物线于点交抛物线于点 a，b，交其准线于点交其准线于点 c， 若若|bc|2|bf|，

18、 且且|af|3， 则此抛物线的方程为则此抛物线的方程为()ay29xby26xcy23xdy2 3x解析解析：选：选 c如图，过点如图，过点 a，b 分别作准线的垂线，交准线于点分别作准线的垂线，交准线于点 e，d，设设|bf|a，则由已知得，则由已知得|bc|2a，由抛物线定义得，由抛物线定义得|bd|a，故，故bcd30，在直角三角形在直角三角形 ace 中中，因为因为|ae|af|3，|ac|33a，2|ae|ac|，所以，所以 33a6，从而得，从而得 a1，|fc|3a3，所以所以 p|fg|12|fc|32，因此抛物线的方程为，因此抛物线的方程为 y23x，故选，故选 c.2 已

19、知抛物线已知抛物线 x22py(p0)的焦点为的焦点为 f， 点点 p 为抛物线上的动点为抛物线上的动点， 点点 m 为其准线上的动点为其准线上的动点，若若fpm 为边长是为边长是 4 的等边三角形，则此抛物线的方程为的等边三角形，则此抛物线的方程为_解析解析：fpm 为等边三角形为等边三角形，则则|pm|pf|，由抛物线的定义得由抛物线的定义得 pm 垂直于抛物线的准线垂直于抛物线的准线，设设 pm，m22p ，则点，则点 mm，p2 .因为焦点因为焦点 f0，p2 ，fpm 是等边三角形，所以是等边三角形，所以m22pp24，p2p22m24，解得解得m212，p2，因此抛物线方程为因此抛

20、物线方程为 x24y.答案：答案：x24y考点三考点三抛物线的几何性质抛物线的几何性质典例典例(1)(2020全国卷全国卷)设设 o 为坐标原点为坐标原点，直线直线 x2 与抛物线与抛物线 c：y22px(p0)交于交于 d，e 两点，若两点，若 odoe，则，则 c 的焦点坐标为的焦点坐标为()a.14，0b.12，0c(1,0)d(2,0)(2)已知已知 f 是抛物线是抛物线 c：y28x 的焦点的焦点，m 是是 c 上一点上一点，fm 的延长线交的延长线交 y 轴于点轴于点 n.若若 m 为为fn 的中点，则的中点，则|fn|_.解析解析(1)将直线方程与抛物线方程联立将直线方程与抛物线

21、方程联立，可得可得 y2 p，不妨设不妨设 d(2,2 p)，e(2，2 p)由由 odoe，可得，可得 odoe44p0，解得，解得 p1，所以抛物线所以抛物线 c 的方程为的方程为 y22x，其焦点坐标为，其焦点坐标为12，0.(2)依题意，抛物线依题意，抛物线 c：y28x 的焦点的焦点 f(2,0)，因为，因为 m 是是 c 上一点，上一点，fm 的延长线交的延长线交 y 轴于轴于8点点 n， m 为为 fn 的中点的中点， 设设 m(a， b)(b0)， 所以所以 a1， b2 2， 所以所以 n(0,4 2)， |fn| 4326.答案答案(1)b(2)6方法技巧方法技巧抛物线几何

22、性质的应用技巧抛物线几何性质的应用技巧(1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性(2)与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解解题时，需依据抛物线的标准与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解解题时，需依据抛物线的标准方程方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是是 p 与交点横与交点横(纵纵)

23、坐标的和还是坐标的和还是与交点横与交点横(纵纵)坐标的差，这是正确解题的关键坐标的差，这是正确解题的关键针对训练针对训练1过抛物线过抛物线 y24x 的焦点的焦点 f 的直线交该抛物线于的直线交该抛物线于 a，b 两点两点，o 为坐标原点为坐标原点若若|af|3，则则aob 的面积为的面积为()a.22b 2c.3 22d2 2解析：解析：选选 c由题意设由题意设 a(x1，y1)，b(x2，y2)(y10，y20)，如图所示，如图所示，|af|x113，所以，所以 x12，y12 2.设设 ab 的方程为的方程为 x1ty，由由y24x，x1ty，消去消去 x 得得 y24ty40.所以所以

24、 y1y24，所以，所以 y2 2，x212，所以所以 saob121|y1y2|3 22，故选故选 c.2已知抛物线已知抛物线 c：y24x 的焦点为的焦点为 f，q 为抛物线上一点，连接为抛物线上一点，连接 qf 并延长交抛物线的准并延长交抛物线的准线于点线于点 p，且点，且点 p 的纵坐标为负数若的纵坐标为负数若 3|pq|2|qf|，则直线，则直线 pf 的方程为的方程为()a. 3xy 30b. 3xy 30c. 3xy 30 或或3xy 30dx 3y109解析：解析：选选 d由于点由于点 p 的纵坐标为负数，所以直线的纵坐标为负数，所以直线 pf 斜率大于零，设斜率大于零，设直线

25、直线 pf 的倾斜角为的倾斜角为00)的焦点为的焦点为 f.若对于抛物线上的任意点若对于抛物线上的任意点 p， |pm|pf|的最小值为的最小值为 41，则，则 p 的值等于的值等于_解析解析过点过点 p 作抛物线准线的垂线作抛物线准线的垂线，垂足为垂足为 d，则则|pf|pd|.当点当点 m(20,40)位于抛物线内位于抛物线内时，根据点时，根据点 m 与抛物线的位置分类讨论与抛物线的位置分类讨论如图如图(1)，|pm|pf|pm|pd|.当点当点 m，p，d 共线时，共线时，|pm|pf|的值最小的值最小由最小值为由最小值为 41，得，得 20p241，解得，解得 p42.当点当点 m(2

26、0,40)位于抛物线外时，如图位于抛物线外时，如图(2)，当点，当点 p，m，f 共线时，共线时，|pm|pf|的值最小的值最小由最小值由最小值为为41， 得得40220p2241， 解解得得p22或或58.当当p58时时， y2116x， 点点m(20,40)在抛物线内，故舍去综上，在抛物线内，故舍去综上，p42 或或 22.11答案答案42 或或 22名师微点名师微点定义是解决问题的基础和灵魂定义是解决问题的基础和灵魂，运用定义转化运用定义转化，将点到焦点的距离转化为点到准线的距离将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，借助平面几何知识求解借助平面几何知识求解方法方法(二二)平移直线法平移直

27、线法例例 2抛物线抛物线 yx2上的点到直线上的点到直线 4x3y80 的距离的最小值是的距离的最小值是_解析解析法一法一：设与直线设与直线 4x3y80 平行且与抛物线平行且与抛物线 yx2相切的直线为相切的直线为 4x3yb0，切线方程与抛物线方程联立，切线方程与抛物线方程联立yx2，4x3yb0，消去消去 y 整理得整理得 3x24xb0，则，则1612b0，解得，解得 b43，所以切线方程为，所以切线方程为 4x3y430，抛物线，抛物线 yx2上的点到直线上的点到直线 4x3y80 的距离的最小值是这两条平行线间的距离的距离的最小值是这两条平行线间的距离 d|843|543.法二法二

28、：由由 yx2，得得 y2x.如图如图，设与直线设与直线 4x3y80 平行平行且与抛物线且与抛物线 yx2相切的直线与抛物线的切点是相切的直线与抛物线的切点是 t(m，m2)，则切则切线斜率线斜率 ky|xm2m43，所以，所以 m23，即切点，即切点 t23，49 ，点点t 到直线到直线 4x3y80 的距离的距离 d|83438|16943， 由图知抛物线由图知抛物线 yx2上的点到直线上的点到直线 4x3y80 距离的最小值是距离的最小值是43.答案答案43名师微点名师微点通过转化，利用平行线之间距离最短平移直线与抛物线相切，再求两直线的距离通过转化，利用平行线之间距离最短平移直线与抛

29、物线相切，再求两直线的距离方法方法(三三)函数法函数法例例 3若点若点 p 在抛物线在抛物线 y2x 上上， 点点 q 在圆在圆(x3)2y21 上上， 则则|pq|的最小值为的最小值为_解析解析由题意得抛物线与圆不相交由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为且圆的圆心为 a(3,0)，则则|pq|pa|aq|pa|1，当且仅当当且仅当 p，q，a 三点共线时取等号三点共线时取等号，所以当所以当|pa|取得最小值时取得最小值时，|pq|最小最小设设 p(x0，y0)，12则则 y20 x0，|pa| x03 2y20 x206x09x0 x0522114，当且仅当，当且仅当 x052时，时，|p

30、a|取得最小值取得最小值112，此时，此时|pq|取取得最小值得最小值1121.答案答案1121名师微点名师微点本题可通过巧设点的坐标，将距离表示为关于本题可通过巧设点的坐标，将距离表示为关于 y0(参数参数)的二次函数形式，配方后求最值的二次函数形式，配方后求最值方法方法(四四)数形结合法数形结合法例例 4已知定长为已知定长为 3 的线段的线段 ab 的两个端点在抛物线的两个端点在抛物线 y22x 上移动上移动，m 为为 ab 的中点的中点，则则点点 m 到到 y 轴的最短距离为轴的最短距离为_解析解析如图，抛物线如图，抛物线 y22x 的准线方程为的准线方程为 l：x12，过过 a，b，m

31、 分别作分别作 aa，bb，mm垂直于垂直于 l，垂足分别为，垂足分别为 a，b，m.由抛物线的定义知由抛物线的定义知|aa|fa|，|bb|fb|，又，又 m 是是 ab 的中点，的中点，所以由梯形的中位线定理，所以由梯形的中位线定理，得得|mm|12(|aa|bb|)12(|fa|fb|)12|ab|12332(当且仅当且仅当当 ab 过抛物线的焦过抛物线的焦点时取点时取“”)所以点所以点 m 到到 y 轴的最短距离为轴的最短距离为 1.答案答案1名师微点名师微点本题通过抛物线定义、平面几何知识、数形结合将问题化难为易本题通过抛物线定义、平面几何知识、数形结合将问题化难为易课时跟踪检测课时

32、跟踪检测一、基础练一、基础练练手感熟练度练手感熟练度1(2021武汉模拟武汉模拟)已知抛物线已知抛物线 y22px(p0)上的点上的点 m 到其焦点到其焦点 f 的距离比点的距离比点 m 到到 y 轴的轴的距离大距离大12，则抛物线的标准方程为，则抛物线的标准方程为()ay2xby22xcy24xdy28x解析解析： 选选 b由抛物由抛物线线 y22px(p0)上的上的点点 m 到其焦到其焦点点 f 的距离比的距离比点点 m 到到 y 轴的距离大轴的距离大12，根据抛物线的定义可得根据抛物线的定义可得p212，所以，所以 p1，所以抛物线的标准方程为，所以抛物线的标准方程为 y22x.故选故选

33、 b.2已知抛物线已知抛物线 y22px(p0)上的点到准线的最小距离为上的点到准线的最小距离为 3，则抛物线的焦点坐标为则抛物线的焦点坐标为()13a( 3，0)b(0， 3)c(2 3，0)d(0,2 3)解析：解析：选选 a抛物线抛物线 y22px(p0)上的点到准线的最小距离为上的点到准线的最小距离为 3，就是顶点到焦点的距离，就是顶点到焦点的距离是是 3，即，即p2 3，则抛物线的焦点坐标为，则抛物线的焦点坐标为( 3，0)故选故选 a.3在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线中，抛物线 c：y22px(p0)的焦点为的焦点为 f，m 是抛物线是抛物线 c 上的一上的一

34、点，若点，若ofm 的外接圆与抛物线的外接圆与抛物线 c 的准线相切，且该圆的面积为的准线相切，且该圆的面积为 36，则，则 p()a2b4c6d8解析解析：选选 d依题意依题意，ofm 的外接圆半径为的外接圆半径为 6，ofm 的外接圆圆心应位于的外接圆圆心应位于 of 的垂直的垂直平分线平分线 xp4上，圆心到准线上，圆心到准线 xp2的距离为的距离为 6，即，即p4p26，解得，解得 p8，故选，故选 d.4若直线若直线 ab 与抛物线与抛物线 y24x 交于交于 a，b 两点，且两点，且 abx 轴，轴，|ab|4 2，则抛物线的焦，则抛物线的焦点到直线点到直线 ab 的距离为的距离为

35、()a1b2c3d5解析：解析：选选 a由由|ab|42及及 abx 轴，不妨设点轴，不妨设点 a 的纵坐标为的纵坐标为 2 2，代入，代入 y24x 得点得点 a的横坐标为的横坐标为 2，从而直线，从而直线 ab 的方程为的方程为 x2.又又 y24x 的焦点为的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到，所以抛物线的焦点到直线直线 ab 的距离为的距离为 211，故选，故选 a.5 已知抛物线已知抛物线 y28x 的焦点为的焦点为 f， 点点 p 在该抛物线上在该抛物线上， 且且 p 在在 y 轴上的投影为点轴上的投影为点 e， 则则|pf|pe|的值为的值为()a1b2c3d4解析：解析：选选

36、 b因为抛物线因为抛物线 y28x，所以抛物线的准线方程为，所以抛物线的准线方程为 x2，因为，因为 p 在在 y 轴上的投轴上的投影为点影为点 e，所以，所以|pe|即为点即为点 p 到到 x2 的距离减去的距离减去 2，因为点，因为点 p 在该抛物线上，在该抛物线上，故点故点 p 到到 x2 的距离等于的距离等于|pf|，所以所以|pe|pf|2，故，故|pf|pe|2，故选，故选 b.6已知直线已知直线 l 过点过点(1,0)且垂直于且垂直于 x 轴轴，若若 l 被抛物线被抛物线 y24ax 截得的线段长为截得的线段长为 4，则抛物线则抛物线的焦点坐标为的焦点坐标为_解析：解析：由题知直

37、线由题知直线 l 的方程为的方程为 x1，则直线与抛物线的交点为，则直线与抛物线的交点为(1，2 a)(a0)又直线被抛物线截得的线段长为又直线被抛物线截得的线段长为 4，所以所以 4 a4，即，即 a1.所以抛物线的焦点坐标为所以抛物线的焦点坐标为(1,0)答案：答案：(1,0)二、综合练二、综合练练思维敏锐度练思维敏锐度141若抛物线若抛物线 y22px 上一点上一点 p(2，y0)到其准线的距离为到其准线的距离为 4，则抛物线的标准方程为，则抛物线的标准方程为()ay24xby26xcy28xdy210 x解析：解析：选选 c抛物线抛物线 y22px，准线为准线为 xp2.点点 p(2，

38、y0)到其准线的距离为到其准线的距离为 4，|p22|4.p4，抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为 y28x.2已知抛物线已知抛物线 c：y2x 的焦点为的焦点为 f，a(x0，y0)是是 c 上一点，上一点，|af|54x0，则，则 x0()a1b2c4d8解析：解析：选选 a由题意知抛物线的准线为由题意知抛物线的准线为 x14.因为因为|af|54x0，根据抛物线的定义可得，根据抛物线的定义可得 x014|af|54x0，解得，解得 x01.故选故选 a.3双曲线双曲线x2my2n1(mn0)的离心率为的离心率为 2，有一个焦点与抛物线有一个焦点与抛物线 y24x 的焦点重合的焦点重合，

39、则则 mn的值为的值为()a.316b38c.163d83解析：解析：选选 a抛物线抛物线 y24x 的焦点为的焦点为(1,0)，双曲线中双曲线中 c1，又，又 e2，1m2，m14，n34，mn316.4已知点已知点 a(0,2)，抛物线抛物线 c1：y2ax(a0)的焦点为的焦点为 f，射线射线 fa 与抛物线与抛物线 c 相交于点相交于点 m，与其准线相交于点与其准线相交于点 n.若若|fm|mn|15，则，则 a 的值为的值为()a.14b12c1d4解析解析：选选 d依题意，点依题意，点 f 的坐标为的坐标为a4，0，如图，设点，如图，设点 m 在准线上在准线上的射影为的射影为 k，

40、 由抛物线的定义知由抛物线的定义知|mf|mk|， |km| |mn|15， 则则|kn|km|21.kfn02a408a，kfn|kn|km|2，8a2，解得，解得 a4.155(2020北京高考北京高考)设抛物线的顶点为设抛物线的顶点为 o，焦点为，焦点为 f，准线为，准线为 l，p 是抛物线上异于是抛物线上异于 o 的一的一点，过点，过 p 作作 pql 于于 q.则线段则线段 fq 的垂直平分线的垂直平分线()a经过点经过点 ob经过点经过点 pc平行于直线平行于直线 opd垂直于直线垂直于直线 op解析：解析：选选 b连接连接 pf，由题意及抛物线的定义可知，由题意及抛物线的定义可知

41、|pq|fp|，则，则qpf 为等腰三角形，为等腰三角形，故线段故线段 fq 的垂直平分线经过点的垂直平分线经过点 p.故选故选 b.6 已知抛物线已知抛物线 y24x 的焦点为的焦点为 f， 过焦点过焦点 f 的直线交抛物线于的直线交抛物线于 a， b 两点两点， o 为坐标原点为坐标原点 若若aob 的面积为的面积为 4，则，则|ab|()a6b8c12d16解析解析：选选 d设设 ay214，y1，by224，y2，f(1,0)当当 abx 轴时轴时，|ab|4，saob12|of|ab|2，不成立不成立，所以所以y2y2241y1y2141y1y24.由由aob 的面积为的面积为 4，

42、得得12|y1y2|14，所所以以y21y2256，因此，因此|ab|x1x2py21y224216.7(2021 年年 1 月新高考八省联考卷月新高考八省联考卷)已知抛物线已知抛物线 y22px 上三点上三点 a(2,2)，b，c，直线，直线 ab，ac 是圆是圆(x2)2y21 的两条切线，则直线的两条切线，则直线 bc 的方程为的方程为()ax2y10b3x6y40c2x6y30dx3y20解析：解析：选选 b把把 a(2,2)代入代入 y22px 得得 p1，又直线又直线 ab，ac 是圆是圆(x2)2y21 的两条切线，的两条切线，易得易得 ab 方程为方程为 y2 3(x2)，ac

43、 方程为方程为 y2 3(x2)，联立联立 ab 方程和抛物线方程得方程和抛物线方程得 b8343，232，同理同理：c8343，232，由由 b，c 两点坐标可得直线两点坐标可得直线 bc 的方程为的方程为 3x6y40，所以选，所以选 b.8(多选多选)设抛物线设抛物线 c：y22px(p0)的焦点为的焦点为 f，准线为，准线为 l，a 为为 c 上一点，以上一点，以 f 为圆心，为圆心，|fa|为半径的圆交为半径的圆交 l 于于 b，d 两点两点若若abd90，且且abf 的面积为的面积为 9 3，则下列说法正则下列说法正确的是确的是()aabf 是等边三角形是等边三角形b|bf|3c点

44、点 f 到准线的距离为到准线的距离为 316d抛物线抛物线 c 的方程为的方程为 y26x解析：解析：选选 acd以以 f 为圆心，为圆心，|fa|为半径的圆交为半径的圆交 l 于于 b，d 两点，两点，abd90，由抛物，由抛物线的定义可得线的定义可得|ab|af|bf|，abf 是等边三角形，是等边三角形，fbd30.abf 的面积为的面积为34|bf|29 3，|bf|6.又点又点 f 到准线的距离为到准线的距离为|bf|sin 303p，则，则该抛物线的方程为该抛物线的方程为 y26x.9(2021海口调研海口调研)若抛物线若抛物线 y28x 上一点上一点 p(m，n)到其焦点的距离为

45、到其焦点的距离为 8m，则，则 m_.解析解析：由题意得，抛物线的准线方程为：由题意得，抛物线的准线方程为 x2，又点又点 p(m，n) 到焦点的距离为到焦点的距离为 8m，所以所以|pf|m28m，解得，解得 m27.答案答案：2710抛物线抛物线 c：y22px(p0)的焦点为的焦点为 a，其准线与，其准线与 x 轴的交点为轴的交点为 b，如果在直线，如果在直线 3x4y250 上存在点上存在点 m，使得，使得amb90，则实数，则实数 p 的取值范围是的取值范围是_解析解析：由题得：由题得 ap2，0，bp2，0，m 在直线在直线 3x4y250 上，设点上，设点 mx，3x254， a

46、mxp2，3x254，bmxp2，3x254.又又amb90，ambmxp2 xp2 3x25420，即即 25x2150 x6254p20，0，即即 1502425(6254p2)0，解得解得 p10，或，或 p10，又又 p0，p 的取值范围是的取值范围是10，)答案答案：10，)11已知过抛物线已知过抛物线 y22px(p0)的焦点，斜率为的焦点，斜率为 22的直线交抛物线于的直线交抛物线于 a(x1，y1)，b(x2，y2)(x10)的焦点的焦点，过点过点 f 的动直线的动直线 l 与抛物线与抛物线 c 交于交于 m，n两点，且当直线两点，且当直线 l 的倾斜角为的倾斜角为 45时，时

47、，|mn|16.(1)求抛物线求抛物线 c 的方程；的方程；(2)试确定在试确定在 x 轴上是否存在点轴上是否存在点 p，使得直线使得直线 pm，pn 关于关于 x 轴对称？若存在轴对称？若存在，求出点求出点 p 的的坐标；若不存在，请说明理由坐标；若不存在，请说明理由解：解：(1)当直线当直线 l 的倾斜角为的倾斜角为 45时，时，l 的斜率为的斜率为 1，fp2，0，l 的方程为的方程为 yxp2.由由yxp2，y22px，得得 x23pxp240.设设 m(x1，y1)，n(x2，y2)，则，则 x1x23p，|mn|x1x2p4p16，p4，抛物线抛物线 c 的方程为的方程为 y28x

48、.(2)假设满足题意的点假设满足题意的点 p 存在存在设设 p(a,0)，由，由(1)知知 f(2,0)，当直线当直线 l 不与不与 x 轴垂直时，设轴垂直时，设 l 的方程为的方程为 yk(x2)(k0)，由由yk x2 ，y28x得得 k2x2(4k28)x4k20，则则 x1x24k28k2，x1x24.(4k28)24k24k264k2640，直线直线 pm，pn 关于关于 x 轴对称，轴对称，kpmkpn0，18又又 kpmk x12 x1a，kpnk x22 x2a，k(x12)(x2a)k(x22)(x1a)k2x1x2(a2)(x1x2)4a8 a2 k0，a2，此时，此时 p(2,0)当直线当直线 l 与与 x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知轴垂直时，由抛物线的对称性，易知 pm，pn 关于关于 x 轴对称，此时只需轴对称，此时只需 p与焦点与焦点 f 不重合即可不重合即可综上，存在唯一的点综上，存在唯一的点 p(2,0)，使直线，使直线 pm，pn 关于关于 x 轴对称轴对称三、自选练三、自选练练高考区分度练高考区分度1抛物线有如下光学性质抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平