专题08 解三角形 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）

1、专题八 解三角形讲义知识梳理.解三角形1正弦定理2r(r为abc外接圆的半径)2余弦定理a2b2c22bccos a；b2c2a22cacos b；c2a2b22abcos c.3三角形的面积公式 (1)sabcaha(ha为边a上的高)；(2)sabcabsin cbcsin aacsin b；(3)sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)题型一. 正弦定理考点1.基本量运算1在abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，若a=1，c=3，c=3，则a6【解答】解：由正弦定理得asina=csincsina=asincc=323=12a=6或56ac故答案为：62在abc中，cosa=5

2、13，sinb=35，a20，则b的值为13【解答】解：在abc中，cosa=513，sina=1cos2b=1213由正弦定理可得：asina=bsinb，b=asinbsina=20×351213=13故答案为：133在abc中，b=32，cosa=63，b=a+2（1）求a的值；（2）求cos2c的值【解答】解：（1）cosa=63，0a，sina=33，sinbsin（a+2）cosa=63，由正弦定理得：asina=bsinb=3263=33，a3；（2）ba+2，2b，又sinb=63，cosb=33，cosccos（a+b）（cosacosbsinasinb）sinas

3、inbcosacosb=223，cos2c2cos2c1=79考点2.边角互化1abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知3(acoscccosa)=b，b=60°，则a的大小为75°【解答】解：3(acoscccosa)=b，b=60°，由正弦定理可得：3（sinacoscsinccosa）sinb，可得：3sin（ac）sinb=32，sin（ac）=12，a+c120°，又0°a120°，0°c120°，可得：120°ac120°，ac30°，解得：a75°故答

4、案为：75°2已知abc的三个内角a，b，c的对边边长分别为a，b，c，若2a3b，a2b，则cosb（）a23b34c45d0【解答】解：2a3b，根据正弦定理得2sina3sinb，且a2b，2sin2b4sinbcosb3sinb，且sinb0，cosb=34故选：b3在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知bsina3acosb2b3c，则a（）a3b4c6d23【解答】解：bsina3acosb2b3c，由正弦定理可得：sinbsina3sinacosb2sinb3sinc，sinbsina3sinacosb2sinb3sinc2sinb3（sinacosb

5、+cosasinb），sinbsina2sinb3cosasinb，又sinb0，sina+3cosa2，2sin（a+3）2，可得a+3=2+2k，kz，又a（0，），a=6故选：c考点3.内角和应用1abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知sinb+sina（sinccosc）0，a2，c=2，则c（）a12b6c4d3【解答】解：sinbsin（a+c）sinacosc+cosasinc，sinb+sina（sinccosc）0，sinacosc+cosasinc+sinasincsinacosc0，cosasinc+sinasinc0，sinc0，cosasina，tana1

6、，2a，a=34，由正弦定理可得csinc=asina，sinc=csinaa，a2，c=2，sinc=csinaa=2×222=12，ac，c=6，故选：b2已知a、b、c分别为abc的三内角a、b、c的对边，acosc+3asincbc=0，则a（）a2b3c4d6【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：sinacosc+3sinasincsinbsinc0，sinacosc+3sinasincsin（a+c）sinc0，即sinacosc+3sinasincsinacosccosasincsinc0，3sinasinccosasincsinc0，sinc0，3sinacosa+

7、1，即sina1+cosa=33，tana2=sina1+cosa=33，a2=6，即a=3故选：b3abc的内角a，b，c的对边分别为a，bc，已知cos（ac）+cosb1，（2cosb1）a+2bcosa0，则c6【解答】解：由b（a+c），可得cosbcos（a+c），cos（ac）+cosbcos（ac）cos（a+c）2sinasinc1，sinasinc=12，又（2cosb1）a+2bcosa0，可得：2acosb+2bcosaa，由正弦定理可得：2sinacosb+2sinbcosasina，可得：sina2sinc，联解可得，sin2c=14，0c，sinc=12，a2c，

8、即ac，得c为锐角，c=6故答案为：6题型二. 余弦定理1abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2（1sina），则a（）a34b3c4d6【解答】解：bc，a2b2+c22bccosa2b22b2cosa2b2（1cosa），a22b2（1sina），1cosa1sina，则sinacosa，即tana1，即a=4，故选：c2在abc中，内角a、b、c的对边长分别为a、b、c，已知3cosacosc=ac，且a2c22b，则b（）a4b3c2d1【解答】解：3cosacosc=ac，即为3ccosaacosc，即有3cb2+c2a22bc=aa2+b2c22ab，即

9、有a2c2=12b2，又a2c22b，则2b=12b2，解得b4故选：a3在abc中，角a，b，c所对的边长分别为a，b，c，若c120°，sinc=2sina，则（）aabbabcabda与b的大小关系不能确定【解答】解：因为c120°，sinc=2sina，所以由正弦定理可得：c=2a，由余弦定理cosc=a2+b2c22ab，可得：12=a2+b22a22ab，整理可得：a2b2ab0，可得a2b2，可得ab故选：c4在abc中，内角a、b、c的对边长分别为a、b、c，已知sinacosc3cosasinc且a2c22b，则b4【解答】解：sinacosc3cosas

10、inc，a×a2+b2c22ab=3c×b2+c2a22bc，2c22a2b2，a2c22b，b24b，b0，b4故答案为：45在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，且cos2a2=b+c2c，则abc是（）a直角三角形b等腰三角形或直角三角形c正三角形d等腰直角三角形【解答】解：cos2a2=b+c2c，2cos2a21cosa，cosa=bc，abc是直角三角形故选：a题型三.高、中点、角平分线问题1在abc中，b=4，bc边上的高等于13bc，则cosa等于（）a31010b1010c1010d31010【解答】解：设abc中角a、b、c、对应的边分别为a、

11、b、c，adbc于d，令dac，在abc中，b=4，bc边上的高adh=13bc=13a，bdad=13a，cd=23a，在rtadc中，cos=adac=a3(13a)2+(2a3)2=55，故sin=255，cosacos（4+）cos4cossin4sin=22×5522×255=1010故选：c2已知在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c若abc=3，b=7，c2，d为bc的中点（）求cosbac的值；（）求ad的值【解答】（本题满分为12分）解：（i）法1：由正弦定理得sinc=cbsinb=27×32=37（1分）又在abc中，bc，cb，0

12、c2（2分）cosc=1sin2c=137=27（3分）cosbaccos（bc）cos（b+c）（4分）（cosbcoscsinbsinc）（5分）=32×3712×27=714（6分）法2：在abc中，由余弦定理得ac2ab2+bc22abbccosabc（1分）7=4+a22×2×a×12，（2分）（a3）（a+1）0解得a3（a1已舍去），（4分）cosbac=ab2+ac2bc22abac（5分）=4+792×2×7=714（6分）（ii）法1：ad=12(ab+ac)（8分）ad2=14(ab+ac)2=14(a

13、b2+ac2+2abac)（10分）=14(4+7+2×2×7×714)=134（11分）ad=132（12分）法2：在abc中，由余弦定理得bc2ab2+ac22abaccosbac（7分）=4+72×2×7×714=9，（8分）bc3，bd=32（9分）在abd中，由余弦定理得 ad2ab2+bd22abbdcosabd，（10分）=4+942×2×32×12=134，（11分）ad=132，（12分）法3：设e为ac的中点，连结de，则 de=12ab=1，（7分）ae=12ac=127（8分）在a

14、de中，由余弦定理得ad2ae2+de22aedecosaed，（9分）=74+1+2×72×1×714=134，（11分）ad=132（12分）3已知ad是abc的内角a的平分线，ab3，ac5，bac120°，则ad长为158【解答】解：ad是abc的内角a的平分线，且bac120°，badcad60°，sabd+scadsabc，12abadsinabd+12acadsincad=12abacsinbac，即12×3ad×32+12×5ad×32=12×3×5×

15、;32，解得：ad=158，故答案为：158题型四. 周长、面积问题1abc内角a、b、c的对边分别为a、b、c，若abc面积为334，b3，b=23则abc是（）a等边三角形b直角三角形c等腰三角形d等腰三角形或直角三角形【解答】解：abc面积为334，b3，b=23，12acsinb=334，即12ac×32=334，整理得：ac3，由余弦定理得：b2a2+c22accosb，即9a2+c2+ac（a+c）2ac（a+c）23，整理得：a+c23，联立，解得：ac=3，则abc为等腰三角形，故选：c2（2014新课标）钝角三角形abc的面积是12，ab1，bc=2，则ac（）a5

16、b5c2d1【解答】解：钝角三角形abc的面积是12，abc1，bca=2，s=12acsinb=12，即sinb=22，当b为钝角时，cosb=1sin2b=22，利用余弦定理得：ac2ab2+bc22abbccosb1+2+25，即ac=5，当b为锐角时，cosb=1sin2b=22，利用余弦定理得：ac2ab2+bc22abbccosb1+221，即ac1，此时ab2+ac2bc2，即abc为直角三角形，不合题意，舍去，则ac=5故选：b3（2018新课标）abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c已知bsinc+csinb4asinbsinc，b2+c2a28，则abc的面积为233

17、【解答】解：abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，cbsinc+csinb4asinbsinc，利用正弦定理可得sinbsinc+sincsinb4sinasinbsinc，由于0b，0c，所以sinbsinc0，所以sina=12，则a=6或56由于b2+c2a28，则：cosa=b2+c2a22bc，当a=6时，32=82bc，解得bc=833，所以sabc=12bcsina=233当a=56时，32=82bc，解得bc=833（不合题意），舍去故：sabc=233故答案为：2334（2016新课标）abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知2cosc（acosb+bcosa）

18、c（）求c；（）若c=7，abc的面积为332，求abc的周长【解答】解：（）在abc中，0c，sinc0已知等式利用正弦定理化简得：2cosc（sinacosb+sinbcosa）sinc，整理得：2coscsin（a+b）sinc，即2coscsin（a+b）sinc2coscsincsinccosc=12，c=3；（）由余弦定理得7a2+b22ab12，（a+b）23ab7，s=12absinc=34ab=332，ab6，（a+b）2187，a+b5，abc的周长为5+75（2017新课标）abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知sin（a+c）8sin2b2（1）求cosb；

19、（2）若a+c6，abc的面积为2，求b【解答】解：（1）sin（a+c）8sin2b2，sinb4（1cosb），sin2b+cos2b1，16（1cosb）2+cos2b1，16（1cosb）2+cos2b10，16（cosb1）2+（cosb1）（cosb+1）0，（17cosb15）（cosb1）0，cosb=1517；（2）由（1）可知sinb=817，sabc=12acsinb2，ac=172，b2a2+c22accosba2+c22×172×1517a2+c215（a+c）22ac153617154，b2题型五. 最值、取值范围问题考点1.最值问题1（2014

20、新课标）已知a，b，c分别为abc的三个内角a，b，c的对边，a2且（2+b）（sinasinb）（cb）sinc，则abc面积的最大值为3【解答】解：因为：（2+b）（sinasinb）（cb）sinc（2+b）（ab）（cb）c2a2b+abb2c2bc，又因为：a2，所以：a2b2=c2bcb2+c2a2=bccosa=b2+c2a22bc=12a=3，abc面积s=12bcsina=34bc，而b2+c2a2bcb2+c2bca2b2+c2bc4bc4所以：s=12bcsina=34bc3，即abc面积的最大值为3故答案为：32在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且2cco

21、sb2a+b，若abc的面积为s=3c，则ab的最小值为（）a56b48c36d28【解答】解：由正弦定理，有asina=bsinb=csinc=2r，又2ccosb2a+b，可得：2sinccosb2sina+sinb，由a+b+c，得sin asin（b+c），则2sinccosb2sin（b+c）+sinb，即2sinbcosc+sinb0，又0b，sinb0，得cosc=12，因为0c，得c=23，则abc的面积为s=12absinc=34ab=3c，即c=14ab，由余弦定理，得c2a2+b22ab cosc，化简，得a2+b2+ab=116a2b2，由于：a2+b22ab，当仅当a

22、b时取等号，可得：2ab+ab116a2b2，即ab48，故ab的最小值是48故选：b3在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，若a+2b=2c，则cosc的最小值为624【解答】解：在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，a+2b=2c，c2=a2+2b2+22ab4，cosc=a2+b2c22ab=a2+b2a2+2b2+22ab42ab=34a2+b222ab24 234a212b22ab24=624当且仅当34a2=12b2时，取等号，cosc的最小值为624故答案为：6244（2011新课标）在abc中，b60°，ac=3，则ab+2bc的最大值为27【解答

23、】解：设abcacbbca由余弦定理cosb=a2+c2b22ac所以a2+c2acb23设c+2am代入上式得7a25am+m230843m20 故m27当m27时，此时a=577，c=477符合题意因此最大值为27另解：因为b60°，a+b+c180°，所以a+c120°，由正弦定理，有absinc=bcsina=acsinb=3sin60°=2，所以ab2sinc，bc2sina所以ab+2bc2sinc+4sina2sin（120°a）+4sina2（sin120°cosacos120°sina）+4sina=3co

24、sa+5sina27sin（a+），（其中sin=327，cos=527）所以ab+2bc的最大值为27故答案为：275设abc的内角a，b，c所对的边长分别为a，b，c，且acosbbcosa=35c，则tan（ab）的最大值为（）a35b13c38d34【解答】解：acosbbcosa=35c，结合正弦定理，得sinacosbsinbcosa=35sinc，c（a+b），得sincsin（a+b），sinacosbsinbcosa=35（sinacosb+cosasinb），整理，得sinacosb4sinbcosa，同除以cosacosb，得tana4tanb，由此可得tan（ab）=t

25、anatanb1+tanatanb=3tanb1+4tan2b=31tanb+4tanb，a、b是三角形内角，且tana与tanb同号，a、b都是锐角，即tana0，tanb0，1tanb+4tanb2 1tanb4tanb=4，tan（ab）=31tanb+4tanb34，当且仅当1tanb=4tanb，即tanb=12时，tan（ab）的最大值为34故选：d考点2.取值范围问题1已知a，b，c是abc中角a，b，c的对边，a4，b（4，6），sin2asinc，则c的取值范围为（42，210）【解答】解：由正弦定理得，4sina=csinc=csin2a，故c8cosa，因为16b2+c2

26、2bccosa，所以16b264cos2a16bcos2a，因为b4，所以cos2a=16b216(4b)=4+b16，所以c264cos2a64×4+b16=4（4+b）（32，40），故42c210故答案为：（42，210）2在锐角三角形abc中，角a，b，c分别对应边a，b，c，若a2b，则ab的取值范围是(2，3)【解答】解：锐角三角形abc中，a2b，c3b，所以0b202b203b2，解得6b4，由正弦定理得ab=sinasinb=2cosb（2，3）故答案为：（2，3）3已知a，b，c分别为锐角abc的三个内角a，b，c的对边，若a2，且sin2bsina（sina+s

27、inc），则abc的周长的取值范围为（4+22，6+23）【解答】解：因为a2，且sin2bsina（sina+sinc），所以由正弦定理可得b2a2+ac，由余弦定理可得cosa=c2+b2a22bc=c2+ac2bc=c+a2b，同理可得：cosb=ca2b，即c+a=2bcosaca=2acosb，消去c，可得2a2bcosa2acosb，由正弦定理可得2sina2sinbcosa2sinacosb，即2sina2sin（ba），可得b2a，由正弦定理asina=bsinb，可得2sina=bsin2a，可得b4cosa，因为abc为锐角三角形，且a+b+c，所以02a2，即6a4，所以

28、22cosa32，即22b23又因为a2，即b24+2c，所以abc的周长为a+b+c2+b+b242=12b2+b，由二次函数性质可得，abc的周长的取值范围为：（4+22，6+23）故答案为：（4+22，6+23）4在锐角三角形abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且满足b2a2ac，则1tana1tanb的取值范围为（1，233）【解答】解：b2a2ac，b2a2+c22accosba2+ac，c2acosb+a，sinc2sinacosb+sina，sincsin（a+b）sinacosb+cosasinb，sinacosasinbsinacosbsin（ba），三角形abc为

29、锐角三角形，aba，b2a，c3a，02a203a2a（6，4），b（3，2）1tana1tanb=sin(ba)sinbsina=1sinb，b（3，2）sinb（32，1），1sinb，233），1tana1tanb的范围为（1，233），故答案为：（1，233）5已知abc的周长为6，且cos2b+2sinasinc1，则babc的取值范围是2，27952）【解答】解：由cos2b+2sinasinc1，得2sinasinc1cos2b2sin2b，利用正弦定理可得b2ac，又a+b+c6，b=aca+c2=6b2，从而0b2再由|ac|b，得（ac）2b2，（a+c）24acb2，（6

30、b）24b2b2，得b2+3b90，又b0，解得b3532，3532b2，cosb=a2+c2b22ac，babc=accosb=a2+c2b22=(a+c)22acb22=(6b)23b22=（b+3）2+27则2babc27952babc的取值范围是2，27952）故答案为：2，27952）题型六. 解三角形解答题1已知abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，a=3，_且b=2，请从b2+2aca2+c2，acosbbsina，sinb+cosb=2这三个条件中任选一个补充在横线上，求出此时abc的面积【解答】解：情形一：若选择b2+2ac=a2+c2，由余弦定理cosb=a2+c

31、2b22ac=2ac2ac=22，因为b（0，），所以b=4；情形二：若选择acosbbsina，则sinacosbsinbsina，因为sina0，所以sinbcosb，因为b（0，），所以b=4；情形三：若选择sinb+cosb=2，则2sin(b+4)=2，所以sin(b+4)=1，因为b（0，），所以b+4(4，54)，所以b+4=2，所以b=4；由正弦定理asina=bsinb，得a=bsinasinb=2sin322=3，因为a=3，b=4，所以c=34=512，所以sinc=sin512=sin(4+6)=sin4cos6+cos4sin6=6+24，所以sabc=12absin

32、c=12×3×2×6+24=3+34故答案为：s=3+342已知abc的外接圆半径为r，a，b，c分别是角a，b，c的对边，b2且bsinbasina2r（sinbsinc）sinc（1）求角a；（2）若ad是bc边上的中线ad=72，求abc的面积【解答】解：（1）由正弦定理bsinb=csinc=2r，可得b2rsinb，c2rsinc，由已知可得：bsinbasina（bc）sinc，b2a2c（bc）bcc2，即b2+c2a2bc，由余弦定理可得cosa=b2+c2a22bc=bc2bc=12，a（0，），a=3（2）bc边上的中线ad=72，b2，又ad

33、=12(ab+ac)，两边平方，可得：ad2=14（ab2+ac2+2abac），74=14（c2+22+2×c×2×cos3），整理可得：c2+2c30，解得c1，或3（舍去），sabc=12bcsina=12×2×1×32=323在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，（3bc）cosaacosc（1）求cosa；（2）若a=3，求abc的面积s的最大值【解答】解：（1）由余弦定理可得（3bc）b2+c2a22bc=aa2+b2c22ab，整理得b2+c2a2=23bc，则cosa=b2+c2a22bc=23bc2bc

34、=13；（2）由余弦定理cosa=b2+c2a22bc=b2+c232bc=13，即b2+c23+23bc，因为3+23bcb2+c22bc，所以bc94，当且仅当bc时取“”因为cosa=13，则sina=223则s=12bcsina12×94×223=3424已知abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，满足sin2a+sin2bsin2c=3sinasinb（1）求角c的大小；（2）若c2，求3a+b的取值范围【解答】解：（1）由题可得a2+b2c2=3ab，所以cosc=a2+b2c22ab=3ab2ab=32，c（0，），c=56，（2）由正弦定理得2r=cs

35、inc=4，a+b=2r(3sina+sinb)，=2r3sina+sin(6a)=4sin(a+6)，a(0，6)，a+6(6，3)，sin(a+6)(12，32)，a+b(2，23)课后作业. 解三角形1下列命题中，正确的是（）a在abc中，ab，则sinasinbb在锐角abc中，不等式sinacosb恒成立c在abc中，若acosabcosb，则abc必是等腰直角三角形d在abc中，若b60°，b2ac，则abc必是等边三角形【解答】解：对于a，由ab，可得：ab，利用正弦定理可得：sinasinb，正确；对于b，在锐角abc中，a，b（0，2），a+b2，2a2b0，sin

36、asin（2b）cosb，因此不等式sinacosb恒成立，正确对于c，在abc中，由acosabcosb，利用正弦定理可得：sinacosasinbcosb，sin2asin2b，a，b（0，），2a2b或2a22b，ab或a+b=2，abc是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，c错误对于d，由于b600，b2ac，由余弦定理可得：b2aca2+c2ac，可得（ac）20，解得ac，可得acb60°，故正确故选：abd2abc中，a，b，c分别为内角a，b，c的对边，2asina（2b+c）sinb+（2c+b）sin c且sinb+sinc1，则abc是（）a等腰钝角三角形b等

37、腰直角三角形c钝角三角形d直角三角形【解答】解：由已知，根据正弦定理得2a2（2b+c）b+（2c+b）c，即a2b2+c2+bc由余弦定理得a2b2+c22bccos a，故cos a=12，0a，a120°方法一由（1）得sin2asin2b+sin2c+sin bsin c，又a120°，sin2b+sin2c+sin bsin c=34，sin b+sin c1，sin c1sin bsin2b+（1sin b）2+sin b（1sin b）=34，即sin2bsin b+14=0解得sin b=12故sin c=12bc30°所以，abc是等腰的钝角三角

38、形方法二a120°，b+c60°，则c60°b，sin b+sin csin b+sin（60°b）sin b+32cos b12sin b=12sin b+32cos bsin（b+60°）1，b30°，c30°abc是等腰的钝角三角形故选：a3abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c已知asinabsinb4csinc，cosa=14，则bc=（）a6b5c4d3【解答】解：abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，asinabsinb4csinc，cosa=14，由正弦定理得：a2b2=4c2cosa=b2+c

39、2a22bc=14，解得3c2=12bc，bc=6故选：a4abc的三个内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，m在边ab上，且am=13ab，b2，cm=273，2sinasinbsin2b=cb，则sabc（）a334b3c23d833【解答】解：abc中，2sinasinbsin2b=cb，2sinasinbsin2b=sincsinb，2sinccosb2sinasinb，2sinccosb2（sinbcosc+cosbsinc）sinb，cosc=12，又c（0°，180°），c60°；又 am=13ab，cm=ca+am=ca+13ab=ca+13（cbca）=23ca+13cb，3cm=2ca+cb，9cm24ca2+cb2+4cacb；2816+a2+4a，解得a2或a6（不合题意，舍去），abc的面积为sabc=12×2×2sin60°=3故选：b5在abc中，b120°，ab=2，a的角平分线ad=3，则ac（）a2b5c6d7【解答】解：由题意以及正弦定理可知：absinadb=adsinb，adb45°，12a180°120°45°，可得a30°，则c3