专题10 数列 10.2等比数列 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）

1、专题十 数列讲义10.2 等比数列知识梳理.等比数列1等比数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(q0，nn*)(2)等比中项如果a、g、b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项即：g是a与b的等比中项g2ab“a，g，b成等比数列”是“g是a与b的等比中项”的充分不必要条件2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1(2)前n项和公式：sn3等比数列的性质已知数列an是等比数列，sn是其前n项和(m，n，p，q，r，kn*)(1)若mnpq2r

2、，则am·anap·aqa(2)数列am，amk，am2k，am3k，仍是等比数列(3)数列sm，s2msm，s3ms2m，仍是等比数列(此时an的公比q1)常用结论4记住等比数列的几个常用结论(1)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，an·bn，仍是等比数列(2)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.(3)sn，s2nsn，s3ns2n，也成等比数列。题型一. 等比数列的基本量1（2013北京）若等比数列an满足a2+a420，a3+a540，则公比q2；前n项和sn2

3、n+12【解答】解：设等比数列an的公比为q，a2+a4a2（1+q2）20a3+a5a3（1+q2）40两个式子相除，可得到a3a2=4020=2即等比数列的公比q2，将q2带入中可求出a24则a1=a2q=42=2数列an时首项为2，公比为2的等比数列数列an的前n项和为：sn=a1(qn1)q1=2×(2n1)21=2n+12故答案为：2，2n+122（2010辽宁）设sn为等比数列an的前n项和，已知3s3a42，3s2a32，则公比q（）a3b4c5d6【解答】解：sn为等比数列an的前n项和，3s3a42，3s2a32，两式相减得3a3a4a3，a44a3，公比q4故选：

4、b3（2017江苏）等比数列an的各项均为实数，其前n项和为sn，已知s3=74，s6=634，则a832【解答】解：设等比数列an的公比为q1，s3=74，s6=634，a1(1q3)1q=74，a1(1q6)1q=634，解得a1=14，q2则a8=14×27=32故答案为：32题型二. 等比数列的性质1已知正项等比数列an中，a3=a4a2，若a1+a2+a37，则a8（）a32b48c64d128【解答】解：由a3=a4a2，得a1q2=q2，所以a11，又因为a1+a2+a37，得1+q+q27，所以q2，故a8=27=128，故选：d2已知各项均为正数的等比数列an的前n

5、项和为sn，anan+1，nn*，a4a149，a8+a1010，则数列an的公比为（）a12b13c2d3【解答】解：各项均为正数的等比数列an的前n项和为sn，anan+1，nn*，a4a149，a8+a1010，a1q3a1q13=9a1q7+a1q9=10q1，解得数列an的公比为q3故选：d3（2014广东）若等比数列an的各项均为正数，且a10a11+a9a122e5，则lna1+lna2+lna2050【解答】解：数列an为等比数列，且a10a11+a9a122e5，a10a11+a9a122a10a112e5，a10a11e5，lna1+lna2+lna20ln（a1a2a20

6、）ln（a10a11）10ln（e5）10lne5050故答案为：50题型三.等比数列的前n项经典结论1各项均为正数的等比数列an的前n项和为sn，若s102，s3014，则s40等于（）a80b30c26d16【解答】解：由题意知等比数列an的公比q0，且q1，则有a1(1q10)1q=2a1(1q30)1q=14，得1+q10+q207，即q20+q1060，解得q102，则q4016，且代入得a11q=2，所以s40=a1(1q40)1q=2×（116）30故选：b2设等比数列an的前n项和为sn，若s6s3=12，则s9s3=（）a12b23c34d13【解答】解：由题意，设

7、s32m，那么s6m，（m0），那么：s3，s6s3，s9s6，成等比数列即2m×（s9m）（m2m）2，解得：s9=32m，则s9s3=32m×12m=34，故选：c3在等比数列an中，已知nn+，且a1+a2+an2n1，那么a12+a22+an2为（）a23(4n+1)b23(4n1)c13(4n1)d13(4n+1)【解答】解：a1+a2+an2n1，n2时，a1+a2+an12n11，可得an2n1n1时，a1211对于上式也成立an2n1an2=（2n1）24n1那么a12+a22+an2=4n141=13(4n1)故选：c题型四. 证明等比数列1已知数列an，

8、sn是其前n项和，并且sn+14an+2（n1，2，），a11（1）设数列bnan+12an（n1，2，）求证：数列bn是等比数列；（2）设数列cn=an2n（n1，2，）求证：数列cn是等差数列；（3）求数列an的通项公式及前n项和【解答】解：（1）由题意得，sn+14an+2 ， 当n2时 sn4an1+2 ，得，an+14an4an1，当n2时，bnbn1=an+12anan2an1=4an4an12anan2an1=2an4an1an2an1=2，且b1a22a13，bn是以2为公比，3为首项的等比数列，（2）由（1）得bnb1qn132n1，则an+12an32n1，an2an132

9、n2，当n2时，cncn1=an2nan12n1=an2an12n=32n22n=34，且c1=a12=12，n为34为公差，以12为首项的等差数列，（3）由（2）得nc1+（n1）d=3n14，即an2n=3n14，an（3n1）2n2（nn*）sn+14an+2，sn+14（3n1）2n2+2（3n1）2n+2即sn（3n4）2n1+2（nn*）2数列an的前n项和为sn，已知a1=1，an+1=n+2nsn(n=1，2，3，)（1）试写出a2，s2，a3；（2）设bn=snn，求证：数列bn是等比数列；（3）求出数列an的前n项和为sn及数列an的通项公式【解答】解：（1）数列an的前n

10、项和为sn，a1=1，an+1=n+2nsn(n=1，2，3，)，则：a23，s24，a38；（2）由an+1=n+2nsn(n=1，2，3，)，可得：sn+1sn=n+2nsn，整理sn+1=n+2nsn+sn=2n+2nsnsn+1n+1=2snn，所以bn+12bn，又有b1=s11=a11=10，所以数列bn是首项是1，公比为2的等比数列（3）由（2）可知bn=2n1，且bn=snn，进而snn=2n1，所以数列an的前n项和sn=n2n1(nn+)，当n2，an=snsn1=n2n1(n1)2n2=2n2n2(n1)2n2=(n+1)2n2，当n1时，a11也满足上式an=(n+1)

11、2n1所以：an=(n+1)2n1题型五. 等差、等比综合1等差数列an的首项为1，公差不为0若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为（）a24b3c3d8【解答】解：等差数列an的首项为1，公差不为0a2，a3，a6成等比数列，a32=a2a6，（a1+2d）2（a1+d）（a1+5d），且a11，d0，解得d2，an前6项的和为s6=6a1+6×52d=6×1+6×52×(2)=24故选：a2设等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项和为sn，且s5s615，则d的取值范围是(，2222，+)，若a17，则d的值为3或3310【解答】解：s

12、5s615，(5a1+5×42d)(6a1+6×52d)=15，化为：2a12+9da1+10d2+10，则81d28（10d2+1）0，化为：d28，解得d22或d22则d的取值范围是(，2222，+)若a17，则10d263d+990，解得d3或3310故答案为：(，2222，+)，3或33103设sn为等差数列an的前n项和，若a75，s555，则nsn的最小值为343【解答】解：设等差数列an的公差为d，a75，s555，a1+6d5，5a1+5×42=55，联立解得：a119，d4sn19n+n(n1)2×4=2n221n则nsn2n321n2

13、，令f（x）2x321x2，（x1），f（x）6x242x6x（x7），可得x7时，函数f（x）取得极小值即最小值，n7时，nsn取得最小值，2×7321×72343故答案为：3434已知数列an是各项均为正数的等比数列，若a3a25，则a4+8a2的最小值为（）a40b20c10d5【解答】解：根据题意，设等比数列an的公比为q，若a3a25，则a2qa25，即a2（q1）5，变形可得a2=5q1，a4+8a2a2（q2+8）=5q1×（q2+8）=5q1×（q1）2+2（q1）+95×（q1）+9q1+25（2×(q1)×

14、;9q1+2）5×840，当且仅当q13时等号成立，即a4+8a2的最小值为40；故选：a5已知正项等比数列an的前n项和sn，满足s42s23，则s6s4的最小值为（）a14b3c4d12【解答】解：根据题意，设该等比数列的首项为a1，公比为q，若s42s23，则有s42s2a1+a2+a3+a42（a1+a2）（a3+a4）（a1+a2）（q21）（a1+a2）3，又由数列an为正项的等比数列，则q1，则（a1+a2）=3q21，则s6s4（a5+a6）q4×（a1+a2）=3q21×q43（q21）+1q21+26+3×2×(q21)&#

15、215;1q21=12，当且仅当q22时等号成立；即s6s4的最小值为12；故选：d6数列an满足a1=12，an+1=11an，那么a2018（）a1b12c1d2【解答】解：a1=12，an+1=11an，a2121，a31+12，a4112=12，故数列an是周期数列，周期是3，则a2018a3×672+2a21，故选：a7已知数列an的首项为1，第2项为3，前n项和为sn，当整数n1时，sn+1+sn12（sn+s1）恒成立，则s15等于（）a210b211c224d225【解答】解：结合sn+1+sn12（sn+s1）可知，sn+1+sn12sn2a1，得到an+1an2a

16、12，所以an1+2（n1）2n1，所以a1529，所以s15=(a1+a15)152=(29+1)152=225，故选：d8已知数列an和bn首项均为1，且an1an（n2），an+1an，数列bn的前n项和为sn，且满足2snsn+1+anbn+10，则s2019（）a2019b12019c4037d14037【解答】解：an1an（n2），an+1an，anan+1an，anan+1，另外：a1a2a1，可得a2a11，an12snsn+1+anbn+10，2snsn+1+bn+10，2snsn+1+sn+1sn0，1sn+11sn=2数列1sn是等差数列，首项为1，公差为21sn=1+

17、2（n1）2n1，sn=12n1s2019=14037故选：d9已知数列an的通项公式为an3n，记数列an的前n项和为sn，若nn*使得（sn+32）k3n6成立，则实数 k的取值范围是23，+)【解答】解：数列an的通项公式为an3n，数列an是等比数列，公比为3，首项为3sn=3(3n1)31=3n+1232，（sn+32）k3n6化为：k2n43n，nn*使得（sn+32）k3n6成立，k(2n43n)min令bn=2n43n，则bn+1bn=2n23n+12n43n=104n3n+1，n2时，bn+1bn；n3时，bn+1bnb1b20，b3b4b50(2n43n)min=b1=23

18、k23故答案为：23，+)10已知数列an满足a1=12，an+1=12an(nn)设bn=n2an，nn*，且数列bn是递增数列，则实数的取值范围是（，32）【解答】解：由题设可知数列an是首项、公比均为 12的等比数列，an=12n，bn=n2an=（n2）2n，又数列bn是单调递增数列，bn+1bn（n+12）2n+1（n2）2n（n+22）2n0恒成立，即n+220恒成立，2（n+2）min3，32，故答案为：（，32）11已知an是首项为32的等比数列，sn是其前n项和，且s6s3=6564，则数列|log2an|前10项和为58【解答】解：an是首项为32的等比数列，sn是其前n项

19、和，且 s6s3=6564，32(1q6)1q32(1q3)1q=6564，1+q3=6564，q=14，an32（14）n1272n，|log2an|72n|，数列|log2an|前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+1358，故答案是：5812已知数列an满足2a1+22a2+23a3+2nann（nn*），若bn=1log2anlog2an+1，则数列bn的前n项和snnn+1【解答】解：因为2a1+22a2+23a3+2nann（nn*），所以2a1+22a2+23a3+2n1an1n1（n2），两式相减得2nan1（n2），当n1时也满足，故an=12n，bn=1log2

20、anlog2an+1=1n(n+1)=1n1n+1，故sn112+1213+1n1n+1=11n+1=nn+1故答案为：nn+1课后作业. 等比数列1记sn为等比数列an的前n项和若a5a312，a6a424，则snan=（）a2n1b221nc22n1d21n1【解答】解：设等比数列的公比为q，a5a312，a6a4q（a5a3），q2，a1q4a1q212，12a112，a11，sn=12n12=2n1，an2n1，snan=2n12n1=221n，故选：b2已知an是首项为1的等比数列，sn是an的前n项的和，且9s3s6，则数列1an的前5项的和为（）a158或5b3116c3116或5d158【解答】解：设等比数列an的公比是q，且首项为1，若q1时，9s327、s66，则不满足9s3s6，所以q1不成立；若q1，由9s3s6得，9×1q31q=1q61q，化简得，q69q3+80，解得q38或q31，所以q2或q1（舍去），则an2n1，所以1an=12n1，则数列1an的前5项的和s1+12+14+18+116=1125112=2（1125）=3116，故选：b3已知等比数列an的前n