人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：坐标系与参数方程

1、坐标系与参数方程知识讲解一、极坐标1.极坐标系：定义：在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系2.极坐标：定义：设是平面内一点，的长叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的角叫做点的极角，记为，有序数对叫做点的极坐标3.极坐标与直角坐标的互化：方法：把直角坐标的原点作为极点，轴正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位设是平面内任意一点，它的直角坐标为，极坐标为，有也有这就是极坐标与直角坐标的互化公式若时，则，我们规定点与点关于极点对称二、参数方程1.概念：在平面

2、直角坐标系中，若曲线上的点满足，该方程叫曲线的参数方程，变量是参变数，简称参数2.参数方程与普通方程的互化1）参数方程化为普通方程：代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围！3）普通方程化为参数方程：普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样3.常用参数方程1）直线的常用参数方程为：，为参数，其中为直线的倾斜角，为直线上一点2）圆的常用参数方程为：为参数；3）椭圆的常用参数方程为：为参数经典例题一选择题（共3小题）1椭圆的参数方程为 &x=5cos&y=3sin（为参数），则它的两个焦点坐标是（）a（±4，0）b（0，&

3、#177;4）c（±5，0）d（0，±3）【解答】解：根据题意，椭圆的参数方程为 &x=5cos&y=3sin（为参数），则其普通方程为x225+y29=1，其中a=5，b=3，则c=25-9=4，其它的两个焦点坐标是（±4，0）；故选：a2参数方程&x=|cos2+sin2|&y=12(1+sin)（为参数，02）表示（）a双曲线的一支，这支过点（1，12）b抛物线的一部分，这部分过点（1，12）c双曲线的一支，这支过点（1，12）d抛物线的一部分，这部分过点（1，12）【解答】解：由参数方程可得：x2=1+sin=2y，普通方程

4、为：x2=2y，x=|cos2+sin2|=|2sin(2+4)|0，2，因此参数方程表示的是抛物线的一部分，这部分过点（1，12），故选：b3已知圆c的参数方程为：&x=-1+2cos&y=1+2sin.（为参数），则圆心c到直线y=x的距离为（）a2b-2c1d2【解答】解：根据题意，圆c的参数方程为：&x=-1+2cos&y=1+2sin.，则圆的普通方程为（x+1）2+（y1）2=4，其圆心c为（1，1），则圆心c到直线y=x的距离d=|(-1)-1|1+1=2；故选：a二填空题（共6小题）4已知直线 l 的参数方程为&x=4-3t&y=

5、3t（t 为参数 ），曲线c的参数方程为&x=2+cos&y=sin（为参数 ） 则它们公共点的坐标为（52，32）【解答】解：由直线的参数方程&x=4-3t&y=3t（t 为参数 ），把t=4-x3代入y=3t，化为直线的普通方程为：3y+3x=43，由曲线c的参数方程为&x=2+cos&y=sin，（为参数）利用sin2+cos2=1，可得曲线c的普通方程为：（x2）2+y2=1联立可得：x=52，y=32，可得它们公共点的坐标为（52，32）故答案为：（52，32）5已知圆o：x2+y2=1，o为坐标原点，若正方形abcd的一边ab为圆o的

6、一条弦，则线段oc长度的最大值是2+1【解答】解：如图，设正方形边长为a，oba=，则cos=a2，0，2）在obc中，a2+12acos（2+）=oc2，oc2=（2cos）2+1+22cossin=4cos2+1+2sin2=2cos2+2sin2+3=22sin（2+4）+3，0，2），2+44，54），2+4=2时，oc2的最大值为22+3 线段oc长度的最大值是2+1故答案为：2+16设点a是曲线&x=3+cos&y=1+sin(是参数）上的点，则点a到坐标原点的最大距离是3【解答】解：点a是曲线&x=3+cos&y=1+sin(是参数）上的点，设a（

7、3+cos，1+sin），原点o（0，0），|ao|=(3+cos)2+(1+sin)2=3+23cos+cos2+1+2sin+sin2=5+4sin(+3)，当sin（+3）=1时，点a到坐标原点取最大距离3故答案为：37在极坐标系中，经过点（4，3）且与极轴垂直的直线的极坐标方程为cos=2【解答】解：根据题意，在极坐标系中，经过点（4，3），该点在直角坐标系的坐标为（2，23），直角坐标系下，过该点与极轴垂直的直线方程是x=2，其极坐标方程为cos=2，故答案为：cos=28在同一平面直角坐标系中，曲线c经过伸缩变换&x=2x&y=2y后，变为曲线c：（x5）2+（y+

8、6）2=1则曲线c的周长为【解答】解：根据题意，曲线c经过伸缩变换&x=2x&y=2y后，变为曲线c：（x5）2+（y+6）2=1，则有（2x5）2+（2y+6）2=1，即曲线c的方程为：（x52）2+（y+3）2=14，为半径为12的圆，其周长l=2（12）=，故答案为：9在极坐标系中，已知a(2，6)，b(4，56)，则a，b两点之间的距离|ab|=27【解答】解：根据x=cos，y=sin，点a（2，6），b（4，56）的直角坐标为：a（3，1），b（23，2），|ab|=(-33)2+12=27，故答案为：27三解答题（共1小题）10在极坐标系中，已知曲线c：=2cos，将曲线c上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线c1，又已知直线l：&x=tcos3&y=3+tsin3（t是参数），且直线l与曲线c1交于a，b两点（1）求曲线c1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）设定点p（0，3），求1|pa|+1|pb|【解答】解：（1）曲线c的直角坐标方程为：x2+y22x=0即（x1）2+y2=1曲线c1的直角坐标方程为x24+y2=1，曲线c