2022届高三数学一轮复习（原卷版）第6节 n次独立重复试验与二项分布 教案

1、1第六节第六节n 次独立重复试验与二项分布次独立重复试验与二项分布最新考纲1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题1条件概率条件概率的定义条件概率的性质设 a，b 为两个事件，且 p(a)0，称 p(b|a)p（ab）p（a）为在事件 a 发生的条件下，事件b 发生的条件概率(1)0p(b|a)1；(2)如果 b 和 c 是两个互斥事件，则 p(bc|a)p(b|a)p(c|a)2.事件的相互独立性(1)定义：设 a，b 为两个事件，如果 p(ab)p(a)p(b)，则称事件 a 与事件b 相互独立(2)性质：若事件

2、a 与 b 相互独立，则 p(b|a)p(b)，p(a|b)p(a)如果事件 a 与 b 相互独立，那么 a 与b，a与 b，a与b也相互独立3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验， 其中 ai(i1， 2， ，n)是第 i 次试验结果，则p(a1a2a3an)p(a1)p(a2)p(a3)p(an)(2)二项分布在 n 次独立重复试验中， 用 x 表示事件 a 发生的次数， 设每次试验中事件 a发生的概率为 p，则 p(xk)cknpk(1p)nk(k0，1，2，n)，此时称随机变量 x 服从二项分布，记作 xb(n，p)，并称 p

3、 为成功概率常用结论牢记且理解事件中常见词语的含义2(1)a，b 中至少有一个发生的事件为 ab；(2)a，b 都发生的事件为 ab；(3)a，b 都不发生的事件为a b；(4)a，b 恰有一个发生的事件为 abab；(5)a，b 至多一个发生的事件为 ababa b.一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)相互独立事件就是互斥事件()(2)若事件 a，b 相互独立，则 p(b|a)p(b)()(3)公式 p(ab)p(a)p(b)对任意两个事件都成立()(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式 p(xk)cknpk(1p)nk，k0，1，2，n 表示的概率分布列，它表示了 n 次

4、独立重复试验中事件 a 发生的次数的概率分布()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为23，那么播下 5 粒这样的种子，恰有 2 粒不发芽的概率是()a.80243b.8081c.163243d.163729a用 x 表示发芽的粒数，则 xb(5，23)，则 p(x3)c35(23)3(123)280243，故播下 5 粒这样的种子，恰有 2 粒不发芽的概率为80243.2两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为23和34，两个零件中能否被加工成一等品相互独立， 则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为()a.12b.512c.14d.16

5、b因为两人加工成一等品的概率分别为23和34，且相互独立，所以两个零件3中恰好有一个一等品的概率 p23141334512.3在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题如果不放回地依次抽取 2 道题，则在第 1 次抽到文科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率为()a.12b.25c.35d.34d根据题意，在第 1 次抽到文科题后，还剩 4 道题，其中有 3 道理科题；则第 2 次抽到理科题的概率 p34，故选 d.4一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机抽取一件，有放回地抽取 100 次， x 表示抽到的二等品的件数， 则 x 服从二项分布， 记作_xb(100，0.02

6、)根据题意，xb(100，0.02)考点 1条件概率求条件概率的 2 种方法(1)利用定义，分别求 p(a)和 p(ab)，得 p(b|a)p（ab）p（a），这是求条件概率的通法(2)借助古典概型概率公式， 先求事件 a 包含的基本事件数 n(a)， 再求事件 a与事件 b 的交事件中包含的基本事件数 n(ab)，得 p(b|a)n（ab）n（a）.1.从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数，事件 a“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 b“取到的 2 个数均为偶数”，则 p(b|a)()a.18b.14c.25d.12b法一(直接法)：p(a)c23c22c2541025，p(ab

7、)c22c25110.由条件概率计算公式，得 p(b|a)p（ab）p（a）1102514.法二(缩小样本空间法)：事件 a 包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，4(2，4)共 4 个事件 ab 发生的结果只有(2，4)一种情形，即 n(ab)1.故由古典概型概率 p(b|a)n（ab）n（a）14.2(2019运城模拟)有一批种子的发芽率为 0.9，出芽后的幼苗成活率为 0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为_0.72设“种子发芽”为事件 a， “种子成长为幼苗”为事件 ab(发芽，又成活为幼苗)出芽后的幼苗成活率为 p(b|a)0.8，p(a)0

8、.9，根据条件概率公式得 p(ab)p(b|a)p(a)0.80.90.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的“已知”“在前提下(条件下)”等字眼第 2 题中没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题运用 p(ab)p(b|a)p(a)，求条件概率的关键是求出 p(a)和 p(ab)，要注意结合题目的具体情况进行分析考点 2相互独立事件的概率求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解正面计算较繁

9、或难以入手时，可从其对立事件入手计算(1)天气预报， 在元旦假期甲地的降雨概率是 0.2， 乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为()a0.2b0.3c0.38d0.56(2)某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况规定一名运动员出线记 1 分，未出线记 0 分假设甲、乙、丙出线的概率分别为23，34，35，他们出线与未出线是相互独立的求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；5记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量，求随机变量的分布列(1

10、)c(1)设甲地降雨为事件 a， 乙地降雨为事件 b， 则两地恰有一地降雨为abab，p(abab)p(ab)p(ab)p(a)p(b)p(a)p(b)0.20.70.80.30.38.(2)解记“甲出线”为事件 a， “乙出线”为事件 b， “丙出线”为事件c， “甲、乙、丙至少有一名出线”为事件 d，则 p(d)1p(a b c)11314252930.由题意可得，的所有可能取值为 0，1，2，3，则 p(0)p(a b c)131425130；p(1)p(a b c)p(a b c)p(a b c)2314251334251314351360；p(2)p(abc)p(abc)p(abc)

11、233425231435133435920；p(3)p(abc)233435310.所以的分布列为0123p1301360920310含有“恰好、至多、至少”等关键词的问题，求解的关键在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算教师备选例题从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.6(1)设 x 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数， 求随机变量 x 的分布列；(2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率解(1)随机变量 x 的所有可能取

12、值为 0，1，2，3，则 p(x0)112 113 114 14，p(x1)12113 114 112 13114 112 113 141124，p(x2)112 131412113 141213114 14，p(x3)121314124.所以随机变量 x 的分布列为x01232)设 y 表示第一辆车遇到红灯的个数， z 表示第二辆车遇到红灯的个数， 则所求事件的概率为p(yz1)p(y0，z1)p(y1，z0)p(y0)p(z1)p(y1)p(z0)1411241124141148.所以这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为1148.(2019全国卷)11 分制乒乓

13、球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成1010 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立在某局双方 1010 平后，甲先发球，两人又打了 x 个球该局比赛结束7(1)求 p(x2)；(2)求事件“x4 且甲获胜”的概率解(1)x2 就是 1010 平后，两人又打了 2 个球该局比赛结束，则这 2个球均由甲得分，或者均由乙得分因此 p(x2)0.50.4(10.5)(10.4)0.5.(2)x4 且甲获胜，就是 1010 平后，两人又打了 4 个球该局比赛结束，且

14、这 4 个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得 1 分，后两球均为甲得分因此所求概率为0.5(10.4)(10.5)0.40.50.40.1.考点 3独立重复试验与二项分布独立重复试验的概率独立重复试验概率求解的策略(1)首先判断问题中涉及的试验是否为 n 次独立重复试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种，在任何一次试验中，某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求解(2)解此类题时常用互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式(1)位于坐标原点的一个质点 p 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的

15、概率都是12.质点 p 移动五次后位于点(2，3)的概率是_(2)(2019苏州模拟)某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响假设这名射手射击 5 次，求恰有 2 次击中目标的概率；假设这名射手射击 5 次，求有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中目标的概率；假设这名射手射击 3 次，每次射击，击中目标得 1 分，未击中目标得 0分在 3 次射击中，若有 2 次连续击中，而另外 1 次未击中，则额外加 1 分；若3 次全击中，则额外加 3 分记为射手射击 3 次后的总分数，求的分布列8(1)516由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2，3

16、)，所以质点 p 必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为c35123122c35125516.(2)解设 x 为射手在 5 次射击中击中目标的次数，则 xb5，23 .在 5次射击中，恰有 2 次击中目标的概率为 p(x2)c25232123340243.设“第 i 次射击击中目标”为事件 ai(i1，2，3，4，5)， “射手在 5 次射击中，有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中目标”为事件 a，则p(a)p(a1a2a3a4a5)p(a1a2a3a4a5)p(a1a2a3a4a5)2331321323313132233881.设“第 i 次射击击中目标”为事件 ai(i1，2，3

17、)由题意可知，的所有可能取值为 0，1，2，3，6.p(0)p(a1a2a3)133127；p(1)p(a1a2a3)p(a1a2a3)p(a1a2a3)231321323131322329；p(2)p(a1a2a3)231323427；p(3)p(a1a2a3)p(a1a2a3)2321313232827；p(6)p(a1a2a3)233827.所以的分布列是012369p12729427827827在求解过程中， 本例(2)中常因注意不到题设条件 “有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中目标”，盲目套用公式致误；本例(2)中常因对的取值不明，导致事件概率计算错误一款击鼓小游戏的规则如下

18、：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分(即获得200 分)设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立(1)设每盘游戏获得的分数为 x，求 x 的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？解(1)x 可能的取值为 10，20，100，200.根据题意，有p(x10)p(x20)c23122112138，p(x100)c33123112018，p(x200)c03120112318

19、.所以 x 的分布列为x1020100200p38381818(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 ai(i1，2，3)，则 p(a1)p(a2)p(a3)p(x200)18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为101p(a1a2a3)118311512511512.因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是511512.二项分布(2019秦皇岛模拟)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495，(495，500，(510，515由此得到样本的频率分布直方图(如下图)(1)

20、根据频率分布直方图，求质量超过 505 克的产品数量；(2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件， 设 x 为质量超过 505 克的产品数量，求 x 的分布列；(3)从该流水线上任取 2 件产品，设 y 为质量超过 505 克的产品数量，求 y的分布列解(1)质量超过 505 克的产品的频率为 50.0550.010.3，所以质量超过 505 克的产品数量为 400.312(件)(2)重量超过 505 的产品数量为 12 件， 则重量未超过 505 克的产品数量为 28件，x 的取值为 0，1，2，x 服从超几何分布p(x0)c228c24063130，p(x1)c112c128c2402

21、865，p(x2)c212c24011130，x 的分布列为11x012p63130286511130(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过 505 克的概率为1240310.从流水线上任取 2 件产品互不影响，该问题可看成 2 次独立重复试验，质量超过 505 克的件数 y 的可能取值为 0，1，2，且 yb2，310 ，p(yk)ck213102k310k，所以 p(y0)c02710249100，p(y1)c123107102150，p(y2)c2231029100.y 的分布列为y012p4910021509100(1)注意随机变量满足二项分布的关键词：视频率为概率；人数很多、数量很大等(2)求概率的过程，就是求排列数与组合数的过程，而在解决具体问题时要做到：分清超几何概率；条件概率；相互独立事件的概率；独立重复试验.判断事件的运算和事件，积事件，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件教师备选例题12某气象站天气预报的准确率为 80%，计算(结果保留到小数点后第 2 位)：(1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率；(2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率；(3)5 次预报中恰有 2 次准确，且其