人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：平面向量

1、平面向量知识讲解一、向量的基本概念1.向量的概念：在高中阶段，我们把具有大小和方向的量称为向量2.向量的表示：几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度字母表示法：，注意起点在前，终点在后3.相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量4.向量共线或平行：通过有向线段的直线，叫做向量的基线如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行向量平行于向量，记作5零向量：长度等于零的向量，叫做零向量记作：零向量的方向不确定，零向量与任意向量平行二、平面向量的线性运算1.向量的加法：1）向量加法的三角形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，再作

2、向量，则向量叫做和 的和（或和向量），记作，即2）向量求和的平行四边形法则：已知两个不共线的向量，作，则，三点不共线，以， 为邻边作平行四边形，则对角线上的向量，这个法则叫做向量求和的平行四边形法则向量的运算性质：向量加法的交换律：向量加法的结合律：关于：2.向量的减法：1）相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量，记作2）零向量的相反向量仍是零向量3）差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量4）一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量3.数乘向量：实数和向量的乘积是一个向量，记作，且的长4.向量共线的条件：

3、如果，则；反之，如果，且，则一定存在唯一的一个实数，使三、平面向量的基本定理1.平面向量基本定理：如果和是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量，存在唯一的一对实数，使2.基底：我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记叫做向量关于基底的分解式注意：定理中，是两个不共线向量；是平面内的任一向量，且实数对，是惟一的；平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底四、向量的直角坐标运算：1.向量的直角坐标运算：设，则；2.坐标表示：若，则向量；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标3.用平面向量坐标表示向量共线条件：设，则就是两个向量平行的条件若向量不平行于坐标

4、轴，即，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：已知两个非零向量，作，则称作向量和向量的夹角，记作，并规定，在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有当时，我们说向量和向量互相垂直，记作2.向量的数量积（内积）定义：叫做向量和的数量积（或内积），记作，即3.向量内积的性质1）是单位向量，则；2），且；3），即；4）；5）4.向量数量积的运算律1）交换律：；2）分配律：5.向量数量积的坐标运算与度量公式1）向量内积的坐标运算：建立正交基：，已知，2）用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：3）向量的长度公式：已知，则，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平

5、方根4）两点间的距离公式：如果，则5）两个向量夹角余弦的坐标表达式：经典例题一选择题（共12小题）1在如图的平面图形中，已知om=1，on=2，mon=120°，bm=2ma，cn=2na，则bcom的值为（）a15b9c6d0【解答】解：解法，由题意，bm=2ma，cn=2na，bmma=cnna=2，bcmn，且bc=3mn，又mn2=om2+on22omoncos120°=1+42×1×2×（12）=7，mn=7；bc=37，cosomn=om2+mn2-on22ommn=1+7-42×1×7=27，bcom=|bc|

6、×|om|cos（omn）=37×1×（27）=6解题：不妨设四边形oman是平行四边形，由om=1，on=2，mon=120°，bm=2ma，cn=2na，知bc=acab=3an3am=3om+3on，bcom=（3om+3on）om=3om2+3onom=3×12+3×2×1×cos120°=6故选：c2已知a，b，e是平面向量，e是单位向量若非零向量a与e的夹角为3，向量b满足b24eb+3=0，则|ab|的最小值是（）a31b3+1c2d23【解答】解：由b24eb+3=0，得(b-e)(b-3

7、e)=0，（b-e）（b-3e），如图，不妨设e=(1，0)，则b的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量a与e的夹角为3，则a的终点在不含端点o的两条射线y=±3x（x0）上不妨以y=3x为例，则|ab|的最小值是（2，0）到直线3x-y=0的距离减1即|23|3+1-1=3-1故选：a3若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则向量a=e1+e2，b=-e1+2e2的夹角为（）a30°b60°c90°d120°【解答】解：根据题意，设a、b的夹角为，又由e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，且a=e

8、1+e2，b=-e1+2e2，则ab=（e1+e2）（e1+2e2）=e12+2e22+e1e2=32，又由a=（e1+e2），则|a|=1+1+1=3，b=（e1+2e2），则|b|=1+4-2=3，则有cos=ab|a|b|=12，则=60°；故选：b4如图，在平面四边形abcd中，abbc，adcd，bad=120°，ab=ad=1若点e为边cd上的动点，则aebe的最小值为（）a2116b32c2516d3【解答】解：如图所示，以d为原点，以da所在的直线为x轴，以dc所在的直线为y轴，过点b做bnx轴，过点b做bmy轴，abbc，adcd，bad=120°

9、;，ab=ad=1，an=abcos60°=12，bn=absin60°=32，dn=1+12=32，bm=32，cm=mbtan30°=32，dc=dm+mc=3，a（1，0），b（32，32），c（0，3），设e（0，m），ae=（1，m），be=（32，m32），0m3，aebe=32+m232m=（m34）2+32316=（m34）2+2116，当m=34时，取得最小值为2116故选：a5已知点g是abc内一点，满足ga+gb+gc=0，若bac=3，abac=1，则|ag|的最小值是（）a33b22c63d62【解答】解：点g是abc内一点，满足ga+g

10、b+gc=0，g是abc的重心，ag=13（ ab+ac），ac2=19（ab2+ac2+2abac）=19（|ab|2+|ac|2）+29，abac=12|ab|ac|=1，|ab|ac|=2，ab2+ac22|ab|ac|=4，ag249+29=23|ag|63故选：c6已知o1，o2，o3的半径依次为1，2，3，o1，o2外切于点m，o2，o3外切于点n，o1，o3外切于点p，则o1n（o1m+o1p）=（）a85b175c145d195【解答】解：如图，o1o2=3，o2o3=5，o3o1=4；o1o2o1o3；o1n=o1o2+o2n=o1o2+25o2o3=o1o2+25(o1o3

11、-o1o2)=35o1o2+25o1o3；o1n(o1m+o1p)=(35o1o2+25o1o3)(o1m+o1p)=35×3×1+0+0+25×4×1=175故选：b7在abc中，a=60°，ab=ac=3，d是abc所在平面上的一点若bc=3dc，则dbad=（）a1b2c5d92【解答】解：由题意建立如图所示平面直角坐标系，则a（0，0），b（3，0），c（32，332），设d（x，y），则bc=(-32，332)，dc=(32-x，332-y)，由bc=3dc，得(-32，332)=(92-3x，932-3y)，解得x=2，y=3d（2

12、，3），则db=(1，-3)，ad=(2，3)，dbad=1×2-3×3=-1故选：a8如图，在abc中，点d，e是线段bc上两个动点，且ad+ae=xab+yac，则1x+4y的最小值为（）a32b2c52d92【解答】解：设ad=mab+nac，ae=ab+ac，b，d，e，c共线，m+n=1，+=1ad+ae=xab+yac，则x+y=2，1x+4y=12（1x+4y）（x+y）=12（5+yx+4xy）12(5+2yx4xy)=92则1x+4y的最小值为92故选：d9如图，在平行四边形abcd中，bad=3，ab=2，ad=1，若m、n分别是边bc、cd上的点，且满

13、足bmbc=ncdc=，其中0，1，则aman的取值范围是（）a0，3b1，4c2，5d1，7【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则b（2，0），a（0，0），d（12，32）bmbc=ncdc=，0，1，am=ab+bc=ab+ad=m（2+2，32），即m（2+2，32）；an=ad+dn=ad+（dcdc）=（12，32）+（1）（2，0）=（522，32），即 n（522，32）所以am=（2+2，32）（522，32）=22+5=（+1）2+6因为0，1，二次函数的对称轴为：=1，故当0，1时，22+52，5故选：c10已知向量ab与ac的夹角为120°，|ab|=5，|

14、ac|=2，若ap=ab+ac，且apbc=6，则实数的值为（）a12b12c-110d110【解答】解：ab，ac=120°，|ab|=5，|ac|=2，ap=ab+ac；apbc=(ab+ac)(ac-ab)=-ab2+(-1)|ab|ac|cos120°+ac2=255（1）+4=6；解得=12故选：b11设abc的面积为s，若abac=1，tana=2，则s=（）a1b2c55d15【解答】解：tana=2，可得cosa=11+tan2a=15=55，sina=255，abac=1，可得bccosa=1，可得bc=5，abc的面积为s=12bcsina=12

15、5;5×255=1故选：a12已知向量a，b满足|a+b|=|a-b|=5，则|a|+|b|的取值范围是（）a0，5b5，52c52，7d5，10【解答】解：向量a，b满足|a+b|=|a-b|=5，|a|+|b|a±b|=5，当且仅当a、b同向时取“=”；又(a+b)2=(a-b)2，a2+2ab+b2=a22ab+b2，ab=0，ab；|a|+|b|2×|a±b|2=52，当且仅当|a|=|b|=52时“=”成立；|a|+|b|的取值范围是5，52故选：b二填空题（共8小题）13在平面直角坐标系中，已知点a（1，0）、b（2，0），e、f是y轴上的两

16、个动点，且|ef|=2，则aebf的最小值为3【解答】解：根据题意，设e（0，a），f（0，b）；|ef|=|a-b|=2；a=b+2，或b=a+2；且ae=(1，a)，bf=(-2，b)；aebf=-2+ab；当a=b+2时，aebf=-2+(b+2)b=b2+2b-2；b2+2b2的最小值为-8-44=-3；aebf的最小值为3，同理求出b=a+2时，aebf的最小值为3故答案为：314在平面直角坐标系xoy中，a为直线l：y=2x上在第一象限内的点，b（5，0），以ab为直径的圆c与直线l交于另一点d若abcd=0，则点a的横坐标为3【解答】解：设a（a，2a），a0，b（5，0），c（

17、a+52，a），则圆c的方程为（x5）（xa）+y（y2a）=0联立&y=2x&(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0，解得d（1，2）abcd=(5-a，-2a)(-a-32，2-a)=a2-2a-152+2a2-4a=0解得：a=3或a=1又a0，a=3即a的横坐标为3故答案为：315已知向量a，b满足|a|=3，|b|=1，|a-b|=7，则|a+b|=13【解答】解：向量a，b满足|a|=3，|b|=1，|a-b|=7，可得|a-b|2=a22ab+b2=92ab+1=7，即有ab=32，|a+b|2=a2+2ab+b2=9+3+1=13，则|a+b|=13故答案为：

18、1316已知平面向量a，b满足|a|=1，|b|=2，|ab|=3，则a在b方向上的投影是12【解答】解：|a|=1，|b|=2，|ab|=3，|a|2+|b|22ab=3，解得ab=1，a在b方向上的投影是ab|b|=12，故答案为：1217已知向量a=（1，2），b=（2，4），|c|=5，若（a+b）c=52，则a与c的夹角为23【解答】解：设c=（x，y），由向量a=（1，2），b=（2，4），|c|=5，且（a+b）c=52，可得x2y=52，即有x+2y=52，即ac=52，设a与c的夹角为等于，则cos=ac|a|c|=-525×5=12再由0，可得 =23，故答案为：

19、2318如图，在梯形abcd中，abdc，且ab=4，ad=2，bad=3，e为bc的中点，若aedb=9，则对角线ac的长为23【解答】解：在梯形abcd中，abdc，且ab=4，ad=2，bad=3，可知a（0，0），b（4，0），d（1，3），设c（m，3）e为bc的中点，可得e（m+42，32），aedb=9，db=(3，-3)可得（m+42，32）(3，-3)=9，解得m=3，ac=（3，3）所以对角线ac的长为：9+3=23故答案为：2319已知g为abc的重心，点m，n分别在边ab，ac上，满足ag=xam+yan，其中x+y=1，若am=34ab，则abc和amn的面积之比为2

20、09【解答】解：设bc的中点为d，则ag=23ad=13ab+13ac，又am=34ab，即ab=43am，ag=49am+13ac，x=49，又x+y=1，y=59，59an=13ac，即an=35ac，sabcsamn=12abacsinbac12amansinbac=abamacan=4353=209故答案为：20920已知腰长为2的等腰直角abc中，m为斜边ab的中点，点p为该平面内一动点，若|pc|=2，则（papb+4）（pcpm）的最小值为48322【解答】解：根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示；则c（0，0），b（2，0），a（0，2），m（1，1），由|pc|=2知，点p

21、的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，设点p（2cos，2sin），0，2）；则pa=（2cos，22sin），pb=（22cos，2sin），pc=（2cos，2sin），pm=（12cos，12sin），（papb+4）（pcpm）=（2cos）（22cos）+（2sin）（22sin）+4（2cos）（12cos）+（2sin）（12sin）=（84cos4sin）（42cos2sin）=8（44cos4sin+2sincos+1）=8（54cos4sin+2sincos）设t=sin+cos，t=2sin（+4）2，2，t2=1+2sincos，2sincos=t21，y=8（54t+t2

22、1）=8（t2）2，t=2时，y取得最小值为48322故答案为：48322三解答题（共6小题）21已知向量a=（cosx，1），b=（3sinx，12），函数f(x)=(a+b)a-2（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在abc中，三内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知函数的图象经过点(a，12)，b、a、c成等差数列，且abac=9，求a的值【解答】解：f(x)=(a+b)a-2=|a|2+ab-2=12cos2x+32sin2x=sin(2x+6)，（1）最小正周期：t=22=由2k-22x+62k+2(kz)得：k-3xk+6(kz)，所以f（x）的单调递增区间为

23、：k-3，k+6(kz)；（6分）（2）由f(a)=sin(2a+6)=12可得：2a+6=6+2k或56+2k(kz)所以a=3，又因为b，a，c成等差数列，所以2a=b+c，（8分）而，abac=bccosa=12bc=9，bc=18，cosa=12=(b+c)2-a22bc-1=4a2-a236-1=a212-1，a=32（12分）22已知向量a=(2sin，1)，b=(1，sin(+4)（1）若角的终边过点（3，4），求ab的值；（2）若ab，求锐角的大小【解答】解：（1）角的终边过点（3，4），r=32+42=5，sin=yr=45，cos=xr=35；ab=2sin+sin（+4）

24、=2sin+sincos4+cossin4=2×45+45×22+35×22=322；（2）若ab，则2sinsin(a+4)=1，即2sin(sincos4+cossin4)=1，sin2+sincos=1，sincos=1sin2=cos2，对锐角有cos0，tan=1，锐角=423在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c 已知c=52b（1）若c=2b，求cosb的值；（2）若abac=cacb，求cos（b+4）的值【解答】解：（1）因为c=52b，则由正弦定理，得sinc=52sinb （2分）又c=2b，所以sin2b=52sinb，即2sinbcosb=52sinb （4分）又b是abc的内角，所以sinb0，故cosb=54 （6分）（2）因为abac=cacb，所以cbcosa=bacosc，则由余弦定理，得b2+c2a2=b2+a2c2，得a=c （10分）从而cosb=a2+c2-b22ac=c2+c2-45c22c2=35，（12分）又0b，所以sinb=1-cos2b=45从而cos（b+4）=cosbcos4sinbsin4=35×22-45×22=-210 （14分）24在abc中，