普通高考数学科一轮复习精品学案第9讲空间几何体的表面积和体积

1、201x 年普通高考数学科一轮复习精品学案第 9 讲空间几何体的表面积和体积一课标要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。二命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托 .因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“ 割补法 ” 等求解。由于本讲公式多反映在考题上，预测201x 年高

2、考有以下特色：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；三要点精讲1多面体的面积和体积公式名称侧面积 (s侧) 全面积 (s全) 体 积(v) 棱柱棱柱直截面周长 l s侧+2s底s底 h=s直截面 h 直棱柱ch s底 h 棱锥棱锥各侧面积之和s侧+s底31s底 h 正棱锥21ch棱台棱台各侧面面积之和s侧+s上底+s下底31h(s上底+s下底+下底下底ss) 正棱台21(c+c )h 表中 s 表示面积， c、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高， h 表示斜高， l 表示侧棱

3、长。2旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球s侧2 rl rl (r1+r2)l s全2 r(l+r) r(l+r) (r1+r2)l+ (r21+r22) 4r2v r2h(即 r2l) 31r2h 31 h(r21+r1r2+r22) 34r3表中 l、 h 分别表示母线、 高，r 表示圆柱、 圆锥与球冠的底半径，r1、 r2分别表示圆台上、下底面半径， r 表示半径。四典例解析题型 1：柱体的体积和表面积例 1一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm 依题意得：24)(420)(2

4、zyxzxyzxy)2()1 (由（ 2）2得： x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36 （3）由（ 3）（ 1）得 x2+y2+z2=16 即 l2=16 所以 l=4(cm) 。点评： 涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。例 2如图 1 所示，在平行六面体abcd a1b1c1d1中，已知ab=5 ，ad=4 ，aa1=3，abad ， a1ab= a1ad=3。（1）求证：顶点a1在底面 abcd 上的射影o 在 bad 的平分线上；（2）求这个平行六

5、面体的体积。图 1 图 2 解析： （1） 如图 2， 连结 a1o， 则 a1o底面 abcd 。 作 om ab 交 ab 于 m， 作 onad交 ad 于 n， 连结 a1m， a1n。 由三垂线定得得a1mab ， a1n ad 。 a1am= a1an ，rta1na rta1ma, a1m=a1n，从而 om=on 。点 o 在 bad 的平分线上。（2） am=aa1cos3=321=23ao=4cosam=223。又在 rtaoa1中， a1o2=aa12 ao2=929=29，a1o=223，平行六面体的体积为22345v230。题型 2：柱体的表面积、体积综合问题p a

6、b c d o e 例 3一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（）a23b 32c 6 d6解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1， b2， c3，则对角线l 的长为l=6222cba；答案 d。点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素棱长。例 4如图，三棱柱abc a1b1c1中，若 e、f 分别为 ab、ac 的中点，平面eb1c1将三棱柱分成体积为v1、v2的两部分，那么v1v2= _ _。解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为s，体积为v，则 v=v1+v2sh。e、 f 分别为 ab 、ac 的中点，saef=41s, v1

7、=31h(s+41s+41s)=127sh v2=sh-v1=125sh，v1v2=75。点评： 解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。题型 3：锥体的体积和表面积例 5在四棱锥pabcd 中，底面是边长为2的菱形， dab 60 ，对角线 ac 与 bd 相交于点o，po平面 abcd ，pb 与平面 abcd 所成的角为60，求四棱锥pabcd 的体积？解： （1）在四棱锥p-abcd中，由po平面abcd, 得 pbo 是 pb 与平面abcd所成的角，pbo=60 。在 rtaob 中 bo=absin30 =1

8、, 由 pobo，于是 po=botan60 =3，而底面菱形的面积为23。四棱锥 pabcd 的体积 v=31 233=2。点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。例 6在三棱锥sabc 中， sab=sac= acb=90 ，且 ac=bc=5，sb=55。 （如图所示）（）证明：scbc；（）求侧面sbc 与底面 abc 所成二面角的大小；（）求三棱锥的体积vsabc。解析： （）证明：sab=sac=90 ，saab，saac。又 ab ac=a，sa平面 abc。由于 acb=90 ，即 bcac，由三垂线定理，得scbc

9、。（）解：bcac，scbc。 sca 是侧面 scb 与底面 abc 所成二面角的平面角。在 rtscb 中， bc=5，sb=55，得 sc=22bcsb=10。在 rtsac 中 ac=5，sc=10，cossca=21105scac， sca=60 ，即侧面sbc 与底面 abc 所成的二面角的大小为60 。（）解：在rtsac 中，sa=755102222acsc，sabc=21 ac bc=21 5 5=225， vsabc=31 sacb sa=631257522531。点评： 本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理。题

10、型 4：锥体体积、表面积综合问题例 7abcd 是边长为4 的正方形， e、f 分别是 ab 、ad 的中点， gb 垂直于正方形abcd 所在的平面，且gc2，求点 b 到平面 efc 的距离？解：如图，取ef 的中点 o，连接 gb、go、cd、fb 构造三棱锥b efg。设点 b 到平面 efg 的距离为h，bd 4 2， ef2 2，co34423 2。gocogc22223 2218422()。而 gc平面 abcd ，且 gc2。由vvbefggefb，得16efgoh13sefb点评： 该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点b为顶点， efg 为底面

11、的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。例 8如图，在四面体abcd 中，截面aef 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心o，且与 bc，dc 分别截于e、f，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥abefd 与三棱锥 aefc 的表面积分别是s1， s2， 则必有 （）as1s2 bs1s2cs1=s2 ds1，s2的大小关系不能确定解：连 oa 、ob、oc、 od，则 vabefdvoabdvoabe vobefdvaefcvoadcvoaecvoefc又 vabefd vaefc，而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球

12、的半径，故sabdsabesbefdsadcsaecsefc又面 aef 公共，故选c 点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。题型 5：棱台的体积、面积及其综合问题例 9如图 924，在多面体abcd a1b1c1d1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于e，f 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d 与 a，b，且 ac，b d，两底面间的距离为h。（）求侧面abb1a1与底面 abcd 所成二面角的大小；（）证明：ef面 abcd ；（） 在

13、估测该多面体的体积时，经常运用近似公式v估=s中截面 h 来计算 .已知它的体积公式是 v=6h（s上底面+4s中截面+s下底面） ，试判断v估与 v 的大小关系，并加以证明。（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）（）解：过b1c1作底面 abcd 的垂直平面，交底面于pq，过 b1作 b1g pq，垂足为g。如图所示：平面abcd平面 a1b1c1d1， a1b1c1=90 ，abpq，ab b1p. b1pg 为所求二面角的平面角.过 c1作 c1hpq，垂足为h.由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形b1pqc1为等腰梯形。pg=21（bd） ，

14、又 b1g=h， tanb1pg=dbh2（ bd） ， b1pg=arctandbh2，即所求二面角的大小为arctandbh2. 图dbaocef（）证明：ab，cd 是矩形 abcd 的一组对边，有abcd，又 cd 是面 abcd 与面 cdef 的交线，ab面 cdef 。ef 是面 abfe 与面 cdef 的交线，abef。ab 是平面 abcd 内的一条直线，ef 在平面 abcd 外，ef面 abcd。（） v估v。证明： ac，bd，v v估=hdbcadbcaabcdh22)224(6=12h2cd+2ab+2（ a+c） （b+d） 3（a+c） （b+d） =12h（

15、ac） （bd） 0。v估v。点评： 该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体 （拟柱体）中， 能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题，是极具实际意义的问题。考查了考生继续学习的潜能。例 10 （1）如果棱台的两底面积分别是s、s ，中截面的面积是s0，那么（）asss02bsss0c2s0s s ds022s s （2）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2 和 4，高为 2，则其体积为（）a323b283c243d203解析： （ 1）解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为a；（2）正

16、六棱台上下底面面积分别为：s上643 2263，s下643 42243，v台328)(31下下上上ssssh，答案 b。点评： 本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“ 特例法 ” 来解，此种解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。题型 6：圆柱的体积、表面积及其综合问题例 11一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）a221b441c21d241解析：设圆柱的底面半径为r，高为 h，则由题设知h=2r. s全=2r2+（2r）2=2r2（1+2 ）.s侧=h2=42r2，221侧全ss。答案为a。点评：本题考查圆柱的侧面

17、展开图、侧面积和全面积等知识。例 12如图 99，一个底面半径为r 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r，则rr= 。解析：水面高度升高r ，则圆柱体积增加r2 r。恰好是半径为r 的实心铁球的体积，因此有34r3=r2r。故332rr。答案为332。点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。题型 7：圆锥的体积、表面积及综合问题例 13 （1）在 abc 中， ab=2，bc=1.5， abc=120 （如图所示） ，若将 abc 绕直线 bc 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）a29b27c25d23（2）若一个圆锥

18、的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（）a3b33c6d9解析： （1）如图所示， 该旋转体的体积为圆锥cade 与圆锥 bade体积之差，又求得ab=1。23133125331adebadecvvv，答案 d。（2） s21absin ，21a2sin60 3，a24，a2，a=2r，r1，s全 2rr22 3 ，答案 a。点评： 通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。例 14如图所示， oa 是圆锥底面中心o 到母线的垂线，oa 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母

19、线与轴的夹角的余弦值为（）a321b21c21d421解析：如图所示，由题意知，31 r2h61r2h，r2r又abo cao，roaoar， oa2r r422,2roar， cos 421roa，答案为 d。点评：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。题型 8：球的体积、表面积例15 已 知 过 球 面 上,a b c三 点 的 截 面 和 球 心 的 距 离 为 球 半 径 的 一 半 ， 且2abbcca，求球的表面积。解：设截面圆心为o，连结o a，设球半径为r，则232 32323o a，在rt o oa中，222oao ao o，2222 31()34rr，43r，2

20、6449sr。点评：正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。例 16如图所示，球面上有四个点p、a、b、c，如果 pa，pb，pc 两两互相垂直，且 pa=pb=pc=a，求这个球的表面积。解析：如图，设过a、b、c 三点的球的截面圆半径为r，圆心为o ，球心到该圆面的距离为 d。在三棱锥 pabc 中， pa，pb，pc 两两互相垂直，且pa=pb=pc=a, ab=bc=ca=2a,且 p 在abc 内的射影即是 abc 的中心 o 。由正弦定理，得60sin2a=2r,r=36a。又根据球的截面的性质，有oo 平面 abc ，而 po 平面 abc ，p、o、o 共线，球

21、的半径r=22dr。又 po =22rpa=2232aa=33a，oo =r 33a=d=22rr,(r33a)2=r2 (36a)2，解得 r=23a, s球=4r2=3a2。点评：本题也可用补形法求解。将pabc补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径r=23a,下略。题型 9：球的面积、体积综合问题例 17如图，正四棱锥pabcd底面的四个顶点,a b c d在球o的同一个大圆上，点p在球面上，如果163pabcdv，则球o的表面积是（）a4b8c12d16（2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，求球的

22、表面积和体积。解析：（ 1）如图，正四棱锥pabcd底面的四个顶点,a b c d在球o的同一个大圆上，点p在球面上， po底面abcd， po=r ，22abcdsr，163pabcdv， 所 以211 6233rr，r=2，球o的表面积是16，选 d。（2）作轴截面如图所示，6cc，262 3ac，设球半径为r，则222roccc22( 6)( 3)93r，2436sr球，34363vr球。点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素。例 18 （1）表面积为324的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积。（2）正四面体abc

23、d 的棱长为a，球 o 是内切球，球o1是与正四面体的三个面和球o 都相切的一个小球，求球o1的体积。解： （1）设球半径为r，正四棱柱底面边长为a，则作轴截面如图，14aa，2aca，又24324r，9r，228 2acaccc，8a，64 232 14576s表（2）如图，设球 o 半径为 r，球 o1的半径为r，e 为 cd 中点，球 o 与平面 acd、bcd切于点 f、g，球 o1与平面 acd 切于点 h由题设ageaeag3622aofaegaraar233663，得ar126ao1h aofrrrarra36236，得ar2463331728624634341aarvo球点评：

24、正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等。题型 10：球的经纬度、球面距离问题例 19 （1）我国首都靠近北纬40纬线，求北纬40纬线的长度等于多少km？（地球半径大约为6370km）（ 2）在半径为13cm的球面上有,a b c三点，12abbcaccm，求球心到经过这三点的截面的距离。解： （1）如图，a是北纬40上一点，ak是它的半径，okak，设c是北纬40的纬线长，40aoboak，22cos2cos40cakoaoakoa42 3.146370 0.76603.066 10 ()km答：北纬40纬线长约等于43.06610 km（ 2）解：设经过,a b c三点

25、的截面为o，设球心为o，连结oo，则oo平面abc，32124 323ao，2211oooaoa，所以，球心到截面距离为11cm例 20 在北纬45圈上有,a b两点，设该纬度圈上,a b两点的劣弧长为24r（r为地球半径） ，求,a b两点间的球面距离。解：设北纬45圈的半径为r，则24rr，设o为北纬45圈的圆心，bao，24rr，2224rr，2，2abrr，abc中，3aob，所以，,a b两点的球面距离等于3r点评： 要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离。五思维总结1正四面体的性质设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的(1)全面积： s全=3a2；(2)体积： v=122a3；(3)对棱中点连线段的长：d=22a；(4)内