高中选修2《函数的最大小值与导数》教案设计

1、课题： 函数的最大（小）值与导数- 导数在研究函数中的应用教材：普通高中课程标准实验教科书人教版a 版选修 2-2 一 【教学目标】1知识目标（1）理解函数的最值与极值的区别和联系。（2）掌握用导数法求函数的最大值与最小值的方法和步骤。2能力目标（1）通过在教师引导下学生自主探索新知的过程，培养学生观察、分析、归纳的自学能力，为学生学习的可持续发展打下基础。（2）培养学生的数学语言表达和数学符号表示能力。3情感和价值目标（1）让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣和信心。（2）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神。二 【教学重点、难点】1. 教学

2、重点 ：利用导数求函数的最大值和最小值。2. 教学难点： 函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别和联系。三 【教学方法与手段】1. 教学方法： 启发探究式教学法2. 教学手段：多媒体、实物投影四 【教学过程】【复习引入】复习：函数极大值、极小值是怎样定义的？函数最大值、最小值又是怎样定义的？【设计意图】通过复习前面所学的极值的概念，也通过展现学生作业中出现的书写形式：把极大值)(xf写成max)(xf，从而回顾函数最值的概念。为后面探索最值与极值的关系作了铺垫。【探究新知】观察图中定义在闭区间ba,上的函数)(xf的图象。图中哪些是极大值，哪些是极小值你能找出所给函数的最大值和最小值

3、吗？答：2()f x是极大值，)(1xf与3()f x是极小值。)(bf是最大值，3()f x是最小值观察所给的 4 个图像，探究：函数的最值与极值有什么关系？【设计意图】让学生观察所给出的函数图像，讨论函数最值与极值的联系与区别，同时让学生发表各自的见解。在学生讨论的过程中可以作适当的提示。比如：1）闭区间ba,上的函数)(xf的最值一定存在吗？个数是多少？那极值？2）函数最值可以在哪里取得？函数极值可以在哪里取得？3）函数的极值与最值之间有没有必然的联系？小结 1：函数的最值与极值之间的联系与区别：（1）整体与局部的关系函数的最值是一个整体性概念， 是比较整个定义域内的所有函数值得出，具有

4、绝对性；函数的极值是一个局部性概念，是比较极值点左右的函数值得出的，具有相对性。（2）存在性及个数：在闭区间ba,上连续的函数)(xf必有最大值与最小值，且各有一个；区间上),(ba的函数)(xf的极值不一定存在，如果存在， 可能不止一个。（3）取值位置：函数的最值可以在端点取得；极值只能在区间内取得，不能在端点取得。（4）有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必为极值。【设计意图】正是学生的探究总结，尤其是（4）中提到的最值与极值关系，才可以引出小结 2。小结 2：只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出闭区间上的函数的最值。【设计意图】这给出了

5、求最值的一种思路：比较区间上的所有极值和区间端点处的函数值，可得出最后的结论。 （既然提到了极值，为后面引出函数极值的求解步骤作了提示）复习： 求可导函数)(xf的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数)( xf；（2）求方程0)( xf的根；（3）列表；（4）结论：说明极大（小）值。【设计意图】结合小结2，对求极值的求解步骤，改成求最值的步骤，应作如何的修改，从而引出了对求最值步骤的思考。小结 3：导数法求闭区间,ba函数)(xf的最值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数)( xf；（2）求方程0)( xf的根；（3）列表（注意端点的函数值） ；（4）结论：说明最大（小）值。【设计

6、意图】为学生求最值提供了又一方法和步骤。【内化新知】学生练习：练习 1：函数4,0,xexyx的最小值（）(a)0 ； (b)e1； (c)44e； (d)22e；【设计意图】主要是让学生熟悉导数法求最值的思想方法。练习 2：求函数xxxxf93)(23在区间2,2的最大值和最小值。解：因为)3)(1(3963)( 2xxxxxf令0)( xf，得1x或3x列表：x-2 )1,2(-1 )2 ,1(2 )( xf- 0 + )(xf2单调递减极小值5单调递增22所以，所求的最大值是22，最小值是 -5 【设计意图】主要是让学生熟悉导数法求最值的基本步骤和格式。通过练习 1 与练习 2 对比，让

7、学生领会到小题可以小做，大题大做： 作为小题，把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出闭区间上的函数的最值；作为大题，必须要注意书写格式，尤其要列表时要注意：比如区间端点的导数值不存在，区间端点的函数值要算出来等。变式 1：已知函数xxxxf93)(23，2,2x，不等式)(xfc恒成立，求实数 c的取值范围。变形：)(xfc，)(xfc，)(xfc【设计意图】在练习2 的基础上，引出了变式1 的问题。像)(xfc这样的不等式恒成立问题，学生以前已经接触过。只是转化为求函数)(xf的最大值而已。而前面的练习2 也已经求出了最大值，从而可以快速找出了c的取值范围。从而强化了

8、新旧知识间的联系。“变式 1 中，像)(xfc这样的不等式，还可以作什么样的变化？”通过这样的设问， 引发学生对问题的思考， 也再次掀起学生探究问题的热情。同时也启发学生一题多变，避免了题海战术。变式 2：已知函数axxxxf93)(23在区间2 ,2的最大值为 20。1)求 a 的值； 2）求函数在该区间上的最小值。解：因为)3)(1(3963)( 2xxxxxf令0)( xf，得1x或3x列表：x-2 )1,2(-1 )2 ,1(2 )( xf- 0 + )(xf2a单调递减极小值5a单调递增22a又5222aaa，则5)(,22)(minmaxaxfaxf又函数axxxxf93)(23在

9、区间2,2的最大值为 20 所以2022a，则2a75)(minaxf【设计意图】变式2 是在练习 1的基础上引入一个参数。通过比较变式2 与练习 1，启发学生如何去修改原有的解答过程，从而使问题的解决水到渠成；同时也让学生消除对含参问题的惧怕的心理阴影。变式 3： 已知函数baxaxxf236)(， 试问是否存在实数)0(,aba， 使)(xf在区间2, 1上取得最大值3，最小值 -29，若存在，求出ba,的值，若不存在，请说明理由。解：因为)4(3123)( 2xaxaxaxxf令0)( xf，得0 x或4x当0a时，列表得：x-1 （-1，0）0 （0，2）2 )( xf+ 0 - )(

10、xf-7a+b 单调递增极大值 b 单调递减-16a+b 则baxfbxf16)(,)(minmax则29163bab，所以23ab当0a时，列表得：x-1 （-1，0）0 （0，2）2 )( xf- 0 + )(xf-7a+b 单调递减极大值 b 单调递增-16a+b 则bxfbaxfminmax)(,16)(则29316bba，所以292ba所以23ab或292ba【设计意图】有了变式2 作基础，含参的变式3 也就有了解题的思路了。不同的是该函数在区间上的增减性，以及函数的最大值和最小值的取得，必须由a的正负来决定。 从而引导学生学会分类处理问题，强化学生的分类思想意识。 当然，通过变形

11、3 的练习，也让学生体会到导数法求最值中表格的优势所在: 从表格中可以快速找出函数的最大值和最小值，优化了解题的过程。【课堂小结】1）函数的极值与最值的关系；2）导数法求函数最值的步骤；【设计意图】让学生自己去总结，深化学生对知识理解，完善认识结构，领悟思想方法；也强化了学生的情感体验，提高认识能力。【课后作业】a组：求函数348)(xxxf在区间5 ,3上的最大值和最小值。b组：已知函数)(6)1(32)(23raaxxaxxf， 当3, 1 x时，函数)(xf的最小值为 4。 （1）求实数 a的值； （2）求函数在该区间上的最大值。【设计意图】a 组题是必做题， 是检测所有学生特别是中下层

12、学生的听课效果；而 b 组题是选做题，在原有的基础上作更深一层的研究，是检测中上层学生分析处理问题的能力。当然，这课外作业也有利于教师发现教学中的不足，及时反馈调节。教学设计说明本节课旨在加强学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的意识和能力，即利用导数知识求闭区间上可导的连续函数的最值，这是导数作为数学工具的一个具体体现， 整堂课通过 “比较函数极值与最值的区别与联系，从而由求极值的求解步骤过渡到函数最值的求解步骤，到导数法求函数最值”为线索展开。1由于学生对极值的概念还谈不上深入了解，因此教学中从直观性和新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情，充分利用学生已有的知识体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念。2关于教学过程，对于本节课的重点：求闭区间上连续，开区间上可导的函数的最值的方法和一般步骤，必须让学生在课堂上就能掌握。对于难点： 函数的最值