导数基础练习题

1、1与直线2x y 4 0的平行的抛物线y 2的切线方程是（）A.2x y 30B.2xy 30C. 2x y 10D. 2xy 102.函数y (X1)2(x 1)在X1处的导数等于()A.1B.2C 3D. 43.过抛物线yx2上的点M（1,-）的切线的倾斜角为（)2 4A.-B.-C3D.43424.函数y 1 3x 3有()（A）极小值1,极大值1（B）极小值2,极大值3（C）极小值2,极大值2（D）极小值1,极大值31、已知 f X 2,则 f 3 等于（）A.0B.2xC. 6D92、 f X 0 的导数是（)A.0B.1C.不存在D不确定3、 y3X7的导数是（)A.3x2B .1

2、X2C.1D23233X4、曲线y Xn在 X 2 处的导数是12 ,则n等于（)A.1B.2C . 3D . 45、若 f X3、X ,则 f 1 等于（)A.0B.1C. 31D.-336、yX2的斜率等于 2 的切线方程是（）A.2x y 10B.2x y 10或2x y1 06 6 6A.5x 3cosxB.X 3cos xC.5x 3cosx9、函数y cos2X的导数是()A .2cosxs in XB .Sin 2xcos4xC .C22cos X2D .2sin X10、 设 yf Sinx 是可导函数，则yx等于（)A. f SinXBf SinxcosxC. f Sin X

3、:Sin XDf cosxcosx11、 函数y4 2 X3X22的导数是( )A .8 2 X3X2B . 221 6xC .8 2 X3X26X1D . 42 X 3x26x 112、y Sin23x 5cos X2的导数是（)A.2sin 3x5sin X2B2.Sin6x 10 xsin xC.3sin 6x10XSin X2D.3sin 6x10 xsin x213、 曲线y4x X3在点1, 3 处的切线方程是 ( )A.y 7x4B .y 7x 2C.y x 4D.y x 214、 已知a为实数， f XX24X a ,且 f1 0,则a17、正弦曲线y Sinx上切线斜率等于1

4、的点是218、函数y IgX在点 1,0 处的切线方程是导数练习题（B）件下，函数y f(x)与y1f(x) 5x m的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.7、 在曲线yX2上的切线的倾斜角为的点是4A.0,0B.2,4C .1,-4 16已知 f XX53sin X ,贝 U f X 等于（）C.2x y 10D.2x y 0D .X63cos X1.（本题满分12分） 已知函数f（x）（I）求c,d的值；为3x y 11 0,求函数X1X232.(本小题满分12分)已知函数f (x) alnx ax 3(a R).(I)求函数f(x)的单调区间；(II)函数f(x)的图象的在X 4处切线

5、的斜率为3,若函数2g(x)1X3x2f(x)m在区间(1,3)上不是单调函数，求m的取值范围.323.(本小题满分14分)已知函数f(x) x3ax2bx C的图象经过坐标原点，且在X 1处取得极大值.(I)求实数a的取值范围；2(II)若方程f (x)(2a 3)恰好有两个不同的根，求f (x)的解析式；94.(本小题满分12分)已知常数a 0，e为自然对数的底数，函数f (x) exX，g(x) x2alnx.(I)写出f(x)的单调递增区间，并证明eaa;(II)讨论函数y g(x)在区间(1,ea)上零点的个数.5.(本小题满分14分)已知函数f(x) ln(x 1) k(x 1)

6、1.(I)当k 1时，求函数f(x)的最大值；(II)若函数f(x)没有零点，求实数k的取值范围；6.(本小题满分12分)已知X 2是函数f (x) (x2ax 2a 3)ex的一个极值点(e 2.718).(I)求实数a的值；(II)求函数f(x)在X -,3的最大值和最小值.27.(本小题满分14分)已知函数f(x) X24x (2 a)ln,(a Rla 0)(I)当a=18时，求函数f(x)的单调区间；(II)求函数f(x)在区间e,e2上的最小值.&(本小题满分12分)已知函数f (x) X(X 6) alnx在X (2,)上不具有单调性.(I)求实数a的取值范围； (II)

7、若f (X)是f (x)的导函数，设g(x) f (x) 64,试证明：对任意两个不相X等正数X1、x2,不等式Ig(Xl)g(X2)|27lx1x2l恒成立.9.(本小题满分12分)1已知函数f (x) X2ax (a 1)n , a 1.X1X22(I)讨论函数f(x)的单调性；(II)证明：若a 5,则对任意 x1, x2(0,), x1x2,有f (XI)一f (X2)1.10.(本小题满分14分)12 68已知函数f()2aln x, g(x) (a 1)x ,a 1.2(I)若函数f(), g()在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；(II)若a (1,

8、 e (e 2.71828L ),设F(X) f (x) g(x),求证：当,x21,a时，不 等式IF(XI) F(X2) 1成立.11.(本小题满分12分)设曲线C:f (x) lnx ex(e 2.71828),f (x)表示f (x)导函数.(I)求函数f (x)的极值；II)对于曲线C上的不同两点A(x1y),B(X2,y2),X1X2,求证：存在唯一的x0(X1,X2),使直线AB的斜率等于f(X0).12.(本小题满分14分)定义F(x, y) (1 x)y,x,y (0,),(I)令函数f(x) F(3,log2(2x X24),写出函数f (X)的定义域；(II)令函数g(x

9、) F(1,log2(x3ax2bx 1)的图象为曲线C,若存在实数b使得曲 线C在x( 4X01)处有斜率为一8的切线，求实数a的取值范围；(III)当x,y N*且X y时，求证F(x,y) F(y,x).导数练习题(B)答案1.(本题满分12分)已知函数f(x) ax3bx2(C 3a 2b)x d的图象如图所示.(I)求c,d的值；(II)若函数f (x)在X 2处的切线方程为3x y 11 0,求函数f(x)的解析式;(III)在(II)的条件下，函数y f(X)与y1f (x) 5x m的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.解：函数f (x)的导函数为f(x) 3ax22bx C

10、 3a 2b .(2分)(I)由图可知 函数f(x)的图象过点(0,3),且f(1) 0327得d 3d 3.(4分)3a 2b c 3a 2b 0C 012 68(II)依题意f(2)3且f(2) 5解得a 1,b6所以f (x) X36x29x 3.(8分)(III)f (x) 3x212x 9.可转化为：X36x29x 3 x24x 3 5x m有三个不等实根，即：g X X37x28x m与X轴有三个交点;2g X 3x 14x8 3x 2 x 4,m, g 416 m.+0增极大值-0+减极小值增(10分)当且仅当g268m O且g 416 m 0时，有三个交点，327故而，16 m

11、68为所求.(12分)272.(本小题满分12分)已知函数f(x) alnx ax 3(a R).(I)求函数f(x)的单调区间；(II)函数f(x)的图象的在X 4处切线的斜率为3,若函数2g(x) 3x3x2f(x)m在区间(1,3)上不是单调函数，求m的取值范围.32解：(I)f(x)a(I X)(X 0)(2分)X当a 0 时If(X)的单调增区间为 0,1I减区间为 1,当a 0 时，f(x)的单调增区间为 1,减区间为 0,1 ;当a=1时，f(x)不是单调函数(5分)(II)f(4)3a 3得 a2, f(x)2l n 2x 34213g(x) 3 XZm2 Cg(x)X2(m

12、4)x 2(6分)m3,g(1) 0,(8分)19(10分)m (19, 3)(12分)g0.m亍33.(本小题满分14分)已知函数f(x) X3ax2bxC的图象经过坐标原点，且在X1处取得极大值.(I)求实数a的取值范围；2(II)若方程f(x)色 恰好有两个不同的根，求f(x)的解析式;(III)对于(Il)中的函数f(x),对任意、R,求证：| f (2sin ) f (2sin )| 81.解：(I)f(0) 0C0, f (x)3x22ax b, f (1)0 b 2a 3由f (X) 0X1或X2a_3,因为当X1时取得极大值，3所以1 a 3,所以a的取值范围是:(,3);3.

13、(4分)(II)由下表:+0-0-递增极大值a 2递减极小值递增2依题意得：专(2a 3)2迈汙，解得：a 9所以函数f (X)的解析式是：f(x) X39x215x(12分).(10分)(III)对任意的实数,都有2 2sin 2, 2 2sin 2,在区间-2,2有：f( 2)8 36 30 74,f (1)7,f(2)8 36 302函数f (x)在区间2,2上的最大值与最小值的差等于81,所以| f(2sin ) f (2sin ) | 81.(14分)4.(本小题满分12分)已知常数a 0,e为自然对数的底数，函数f(x) exX,g(x) x2alnx.(I)写出f(x)的单调递增

14、区间，并证明eaa;(II)讨论函数y g(x)在区间(1,ea)上零点的个数.a 2e时，函数f (x)无零点；2e时，函数f(x)有一个零点;2e时，函数f(x)有两个零点.解:(I)f (x)a 0 ,Xef(a)g(x) 2x1 0,得f(x)的单调递增区间是(0, f (0)1 , eaa 1 a,即eaa.2a . 2a2(x)(x)22,由g (x) 0,得X由(I)ea单调递减极小值单调递增函数2aeg(X)取极小值gF)(2分)(4分)子，列表i(I Ini),无极大值. (6分)g(1)1 0,(i)当丄1,22a2lna)2lna)2(ii)当若a(12若a(12若a(1

15、2g(ea)2aaea2a2aaa e , e(eaa)(eaa) 02时，函数y1,即aa 2e时，函数2e时，函数y2e时，函数y、 .2a2(8分)g(x)在区间(1,ea)不存在零点y g(x)在区间(1,ea)不存在零点g(x)在区间(1,ea)存在一个零点X e;g(x)在区间(1,ea)存在两个零点;g(x)在(1,ea)上，我们有结论：(12分)5.(本小题满分14分)已知函数f(x) ln(x 1) k(x 1) 1.(I)当k 1时，求函数f(x)的最大值；(II)若函数f(x)没有零点，求实数k的取值范围;解：(I)当k 1时，f (x) JXX 1f(x)定义域为(1,

16、+),令f (X) 0,得X 2, 分当X (1,2)时，f (X)0,当X (2,)时,f (x) 0, f (X)在(1,2)内是增函数，在(2,)上是减函数 当X(II)当函数分)2时，f(x)取最大值f (2) 0y ln(x 1)图象与函数y k(x不合要求；k 0时，函数f(x)有零点，1) 1图象有公共点,(4分)6.解:7.解:当kO时,f (x)一1 k、k(x )k-1 k kxX 1k 1 U,X (1,)时,f (X) 0, X (1k1k,(6分)k 10,得Xk f (X)在(1,11)内是增函数，在11,)上是减函数,kk f (X)的最大值是f(11) Ink,

17、kI 函数f (X)没有零点， lnk 0,k 1,因此，若函数f(x)没有零点，则实数k的取值范围k分)(本小题满分12分) 已知X 2是函数f (x) (X(I)求实数a的值；(II)求函数f (X)在X(I)由f (x) (x2ax f (x)(2X a)ex(x2X (a 5)e20,解得令f (x)时，f (x) O,(1,).(102ax 2a 3)ex的一个极值点-,3的最大值和最小值.22a 3)ex可得ax 2a 3)exx2(2 a)x a2是函数f (x)的一个极值点，a 5)由f (x) (X 2)(x 1)ex0,得f (x)在(由f (X) 0,得f(x)在在(1,

18、2)递减 f(2) e2是f (x)在X ,3的最小值；237-33f(；) -e2,f(3) e3Vf(3) fH) e3242f (x)在X 3,3的最大值是f (3) e3.2(本小题满分14分)已知函数f(x) X24x (2a)n,(a R,a 0)(I)当a=18时，求函数f(x)的单调区间；(II)求函数f(x)在区间e,e2上的最小值.(I)f (x) X24x 16l nx,f (2) 0,1)递增，在e 2.718).X3e(2,12e (4e e4(4分)递增,(6分)(8分)7) 0,f(3) f(I). (12分)f(x) 2x 4162(x2)(x 4)由f(x)注

19、意到X由f(x)注意到XXX0得(X 2)(x 4)0,解得X 4或X 20,所以函数f(x)的单调递增区间是(4,+)0得(X 2)( x 4)0,解得-2VXV4,0,所以函数f(x)的单调递减区间是(0,4.+),单调减区间是(0,4综上所述，函数f(x)的单调增区间是(4, (U)在X e,e2时，所以f(x) 2x 4X设g(x) 2x24x 2 a0时，有=16+42g(x) 0,所以f (X)minf (e)0时，二162f (x) X 4x (2 a) ln X 2x24x 2 aX当a此时所以当af(x) e24e4 2(2(2 a) 8a 0,0,2a)f(x)在e,e2上

20、单调递增,a8a 0,令f(x) O,即224 20,解得X2a；令f(x)0,即2x24x 2解得12.2a2.2a21若1空e2,即a2(e22f (x)在区间 e, e22若e 1土21)2时,单调递减，所以f (x)mine2,即2(e 1)2a 2(e2f (x)在区间e,1所以f (X)minf (1上单调递减,22a a )2a2 2在区间3 (2f(e2) e41)2时间,4e24 2a.竺，e2上单调递增,22aa)l n(1).212所以f(x)mi综上所述，a2(e 1)2时,f (x)在区间e,e2单调递增,min当f (e) a2(ee224e 2 a1)2时，f(x

21、)mina2a4JI2a 4e 4 2a;当2(e 1)2当a2(e&(本小题满分12分)已知函数f (x) X(X 6) alnx在X (2,(I)求实数a的取值范围；(II)若f(X)是f (X)的导函数，设g(x) f (X) 62(e21)2时，f(x)mi1)2时，f (X)minmne24e.2a 3 (2 a)ln(1)上不具有单调性.等正数1X2,不等式Ig(Xl) g(x2)|38*X21恒成立.272a 2X6x a:(I)f (X) 2x6XX f(x)在X (2,)上不具有单调性，在X (2,?)；14分电，试证明：对任意两个不相X(2分)上f (x)有正也有负

22、也有0,X即二次函数y 226x a在X (2,)上有零点Iy 226 a是对称轴是X 3，幵口向上的抛物线,的实数a的取值范围(,4)2-2 ,X(II)由(I)g() 2xaX方法i：g()2f (X)26a2x -X22(Xa44Ta 4,g () 2X X220)，4 234x 43，XX.(4分)y 2 226 2 a 0. (6分)(8分)8i24(2 x 3)3X4X4X设h(x) 24，h(x)X Xh(x)在(0,3)是减函数，在(3,2 2)增函数，当X3时，h(X)取最小值I8从而g (X)3827，(g(x)38 X)27函数yg(x)Sx是增函数Xi、X2是两个不相等

23、正数，不妨设XiX2，38则g(X2)刃x2g(Xi)38Xi27 g(X2) g(Xi)38.习(X2X1)， X2Xi0，g(xi) g(X2)38xiX227g(xi) g(x2)XiX237，即Ig(XI) g(X2)l 37lxix2l(i2分)方法2:M(xi,g(xi)N(x2, g(x2)疋曲线y g(x)上任意两相异点,g(xi) g(x2)2( XiX2)a22 2X X2，a 4，Q XiX22 XiX2xiX22( XiX2)22XiX2设t i,tXiX2由u (t) 0,得t2,由U (t) 0得0 tXiX2XiX24C iX2)3aXiX24CXiX2)3XiX

24、2(8分)0,令kMNu(t) 2 4t34t2，u(t) 4t(3t2)，23，u(t)在(0,2)上是减函数，在(-,)上是增函数,33u(t)在t2处取极小值383一38即Ig(XI) g(X2) I Xi9.(本小题满分已知函数f(x)(I)讨论函数3827U (t)27,所以g(i) g(2)XiX23827X227i2分)12X2f (x)的单调性;(i2分)ax (ai)ln , ai.(II)证明：若a5,则对任意Xi, X2(O,), XiX2,有f (Xi) f(X2)i.(i)f(x)的定义域为(i) 若a 11,即aX2(X i)(x i a)XXi2X ax a iX

25、a iaX分2,贝yf(x)(X I).故f(x)在(0,)单调增加.(0,)，f(x) XX(ii)若a 11,而 a 1,故 1 a 2,则当 X (a 1,1)时，f(x) 0.当 X (0,a 1)及 X (1,)时，f(x)O,故 f(x)在(a 1,1)单调减少，在(O,a-1),(1,)单调增加.(iii)若a 1 1,即 a 2,同理可得 f (x)在(1,a 1)单调减少，在(0,1), (a 1,)单调增加.1(II)考虑函数g(x) f (x) X x2 3ax (a 1) ln .2由g(x) X (a 1)a 12-Xa 1(a 1)1人訂1)2.XX由于aa5,故

26、g(x)0,即 g(x)在(0,)单调增加，从而当x1X20时有故f (XI) f (X2)I,当0X1X2时，有f(XI) f (X2)f (X2)f (XI)IX1X2X1X2X2X110.(本小题满分14分)已知函数f (x)- X22alnx, g(x)(a 1)x ,a1.(I)若函数f(x), g(x)在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；(II)若a (1, e (e 2.71828L ),设F(X) f(x) g(x),求证：当x*1,a时，不 等式IF(XI)F(X2) 1成立.解：(I)f (x) Xa,g (x) a1,. (2X分)函数f(x

27、), g(x)在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，2 当X 1,3时，f (X) g (X)(a I)(X6 0恒成立，.(4分)X即(a 1)(x2a) 0恒成立，a1a12在X 1,3时恒成立，或2在X 1,3时恒成立,aXaX/ 9 X 1 , a1或a9.(6分)F(x)1X2aln x,(a 1)x,a(X a)(x 1)F (x) X(a 1)2XXTF(X)定义域是(0,),a(1, e,即a 1 F(X)在(0,1)是增函数，在(1,a)实际减函数，在(a,)是增函数当X 1时，F(X)取极大值M F(1) a丄，21当X a时，F(X)取极小值m F(a) alna

28、 -a2a,2 G(a)1 ,la (1, e,二G (a)0a G (a) a lna 1在a (1, e是增函数，二G (a) G (1) 011. G(a)1a2alna-在a (1, e也是增函数. (12分)32. (8分)2Tx,X21,a,F(X1) F(X2) I M m| M m.(10分)1 1设G (a) M ma2al na,贝U G (a) a ln a 1, G(a) G(e),即G(a)1e2e1,2 2 222而1e2e1e113111 , G(a) M m 1 2 2 2 2当X1,X21,a时，不等式IF(XI) F(X2)| 1成立. (14分)11.(本

29、小题满分12分)设曲线C:f(X) InX ex(e 2.71828),f (x)表示f(x)导函数.(I)求函数f (X)的极值；(II)对于曲线C上的不同两点A(X1,y1),B(X2,y2),X1X2,求证：存在唯一的Xo(x1,X2),使直线AB的斜率等于f(X0).解 ：(I)f (x)1e1_ex0,得X1XXe当X变化时，f (X)与f(x)变化情况如下表：+0一单调递增极大值单调递减当X1时，f(x)取得极大值f(1)2,没有极小值；. (4分)ee(II)(方法1)f (X0)kAB,丄elnx2lnx1e(X2S, jln0X0X2X1X0X1即X0Inx2(X2X1)0,

30、设g(x) xlnx(X2X1)X1Xig(jx1In-2(x2X1X1),g(x1)/x1In匹1X10,g(X1)是X的增函数,. X1X2, g (XI)g(x2)x2InX(X2X2)0；X2g(X2)x2In-2(x2X1),/g(X2).In生10,g(X2)是X2的增函数,X1X1TX1X2, g (Xg(x1)x1In 1(X1Xj0,X1函数g(x) Xln(X2X1)在(X1,X2)内有零点X0,. (10分)X1又x21, I n准0,函数g(x) Xl n翌 区xj在任必)是增函数，X1In生在(X1,X2)内有唯一零点X0,命题成立. (12分)X1.1In x2In

31、 x1e(x2X1)kAB, eX1函数g(x)X1X2X1X(方法2)f (X0)即卩x0In x2x0In x1X1设g(x) XIn X2X In x1x1X2,贝卩g (x1) x1Inx2x11nx1x1X2,再设h(x) xIn x2xInxXx2,0 X x2,h(x) Inx2Inx0 h(x) X ln X2xlnx X x2在0 X X2是增函数 g(x1)h(x1) h(x2) 0,同理g(X2) 0方程Xln x2xln x1X1.一次函数在(x1,x2)g (x)方程Xln x2xln x1X1注：仅用函数单调性说明，12.(本小题满分14分)X20在X0(X1,X2)有解.(ln x2ln x1)x x1X2