中考数学二次函数专题教案和典型习题

1、二次函数学问点总结及相关典型题目第一部分 基础学问第6页/共13页1. 定义：一般地，假如y = ax 22. 二次函数 y = ax 2 的性质+ bx + c(a, b, c 是常数， a ¹ 0) ，那么 y 叫做 x 的二次函数.（1） 抛物线 y = ax 2 的顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴.（2） 函数 y = ax 2 的图像与a 的符号关系.当a > 0 时Û 抛物线开口向上Û 顶点为其最低点；当a < 0时Û 抛物线开口向下Û 顶点为其最高点.（3） 顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 y

2、= ax 2（a ¹ 0）.)3. 二次函数y = ax 2+ bx + c 的图像是对称轴平行于（包括重合） y 轴的抛物线.4. 二 次 函 数 y = ax 2+ bx + c 用 配方 法可化成 ： y = a(x - h2 + k 的 形式 ， 其中b4ac - b 2h = -，k =.2a4a5. 二次函数由特别到一般， 可分为以下几种形式： y = ax 2； y = ax 2+ k ； y = a(x - h)2 ； y = a(x - h)2+ k ； y = ax 2+ bx + c .6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a 的符号打算抛物线的开口方

3、向：当a > 0 时，开口向上；当a < 0时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、外形相同.平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x = h .特别地， y 轴记作直线 x = 0.7. 顶点打算抛物线的位置.几个不同的二次函数，假如二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法æb ö24ac - b2b4ac - b 2（1） 公式法：y = ax 2+ bx + c = aç x +2a ÷+4a，顶点是（- 2a ， 4a），对称轴是直线 x = -è&#

4、248;b2a .（2） 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y = a(x - h)2+ k 的形式，得到顶点为( h , k )，对称轴是直线 x = h .（3） 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连 线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9. 抛物线 y = ax 2+ bx + c 中， a, b, c 的作用（1） a 打算开口方向及开口大小，这与 y = ax 2 中的a 完全一样.（2） b 和a 共同打算抛物线对称轴的位置.由于抛物线 y = a

5、x 2+ bx + c 的对称轴是直线x = -b ，故： b = 0 时，对称轴为 y 轴； b> 0 （即a 、b 同号）时，对称轴2aa在 y 轴左侧； ba< 0 （即a 、b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧.（3） c 的大小打算抛物线 y = ax 2+ bx + c 与 y 轴交点的位置.当 x = 0时， y = c ，抛物线 y = ax 2+ bx + c 与 y 轴有且只有一个交点（0， c ）： c = 0 ，抛物线经过原点; c > 0 ,与 y 轴交于正半轴； c < 0 ,与 y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物

6、线的对称轴在 y 轴右侧，则10. 几种特别的二次函数的图像特征如下：b < 0 .a函数解析式开口方向对称轴y = ax 2x = 0（ y 轴）顶点坐标（0,0）y = ax 2 + kx = 0（ y 轴）(0,k )y = a(x - h)2y = a(x - h)2 + ky = ax 2 + bx + c当 a > 0 时开口向上当 a < 0时开口向下x = h( h ,0)x = h( h , k )x = -2ab(- b4ac - b 2，2a4a)11. 用待定系数法求二次函数的解析式（1） 一般式： y = ax 2 + bx + c .已知图像上三点

7、或三对x 、 y 的值，通常选择一般式.（2） 顶点式： y = a(x - h)2 + k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3） 交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x 、x1，通常选用交点式：y = a(x - x21)(x - x ).212. 直线与抛物线的交点（1） y 轴与抛物线 y = ax 2+ bx + c 得交点为(0,c ).（ 2 ） 与 y 轴平行 的直线 x = h 与 抛物线 y = ax 2+ bx + c 有 且只有一 个交点( h , ah 2 + bh + c ).（3） 抛物线与 x 轴的交点二次函数 y = ax 2+ bx + c 的图

8、像与 x 轴的两个交点的横坐标 x 、 x12，是对应一元二次方程 ax 2+ bx + c = 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点状况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点Û d > 0 Û 抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在x 轴上） Û d = 0 Û 抛物线与 x 轴相切；没有交点Û d < 0 Û 抛物线与 x 轴相离.（4） 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax

9、2+ bx + c = k 的两个实数根.（5） 一次函数 y = kx + n(k ¹ 0)的图像l 与二次函数 y = ax 2y = kx + n+ bx + c(a ¹ 0)的图像g 的交点，由方程组y = ax2 + bx + c的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时Û l 与g 有两个交点; 方程组只有一组解时Û l 与g 只有一个交点；方程组无解时Û l 与g 没有交点.（6） 抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线y = ax 2+ bx + c 与 x 轴两交点为a(x ，0)，b(x，0)，由于 x 、 x是方程ax

10、2 + bx + c = 0 的两个根，故1212其次部分 典型习题.抛物线yx22x2 的顶点坐标是（d）a.（2，2）b.（1，2）c.（1，3）d.（1，3） .已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（c）ab0，c0ab0，c0ab0，c0ab0，c0第,题图第 4 题图.二次函数 yax2bxc 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）aa0，b0，c0ba0，b0，c0 ca0，b0，c0da0，b0，c0.如图，已知dabc 中，bc=8，bc 上的高h = 4 ，d 为 bc 上一点， ef / / bc ，交 ab于点e，交ac 于

11、点 f（ef 不过 a、b），设 e 到 bc 的距离为 x ，则ddef 的面积 y 关于 x 的函数的图象大致为（）.抛物线 y = x2 - 2x - 3 与 x 轴分别交于a、b 两点，则ab 的长为46. 已知二次函数 ykx2(2k1)x1 与 x 轴交点的横坐标为 x 、 x12（ x x12），则对于下列结论：当 x2 时，y1；当 xx 时，y0；方程kx2(2k1) x -10 有214k 2两个不相等的实数根 x 、x ； x - 1， x 1 ； x x ，其中全部正121221k确的结论是（只需填写序号）7. 已知直线 y = -2x + b(b ¹ 0)与

12、 x 轴交于点 a，与 y 轴交于点 b；一抛物线的解析式为y = x 2 - (b + 10)x + c .（1） 若该抛物线过点b，且它的顶点p 在直线 y = -2x + b 上，试确定这条抛物线的解析式；（2） 过点b 作直线bcab 交 x 轴交于点c，若抛物线的对称轴恰好过c 点，试确定直线 y = -2x + b 的解析式.解：（1） y = x 2- 10 或 y = x 2- 4x - 6将（0，b) 代入，得 c = b . 顶点坐标为 (b +10 , - b2 +16b +100) ， 由题意得24-2 ´ b +10 + b = - b2 +16b +100

13、 24（2） y = -2x - 2，解得b1= -10, b2= -6 .8. 有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为 y ，且 y 是 x 的二次函数，已知输入值为- 2 ,0,1 时, 相应的输出值分别为 5, - 3 , - 4 （1） 求此二次函数的解析式；（2） 在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并依据图象写出当输出值 y 为正数时输入值 x 的取值范围.解：（1）设所求二次函数的解析式为 y = ax 2 + bx + c ,ïïïìa(-2) 2 + b(-2) + c = 5ìc = -3ìa = 1则&

14、#237;a × 02 + b × 0 + c = -3,即í2a - b = 4 ,解得íb = -2ïa + b + c = -4ïa + b = -1ïc = -3îïîî故所求的解析式为: y = x 2 - 2x - 3 .（2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值 y 为正数时， 输入值 x 的取值范围是 x < -1 或 x > 3 9. 某生物爱好小组在四天的试验争辩中发觉：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化状况相同他们

15、将一头骆驼前两昼夜的体温变化状况绘制成下图请依据图象回答：第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?第三天 12 时这头骆驼的体温是多少?爱好小组又在争辩中发觉，图中 10 时到22 时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式解：第一天中，从 4 时到 16 时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要 12 小时第三天 12 时这头骆驼的体温是 3910. 已知抛物线 y = ax2 + ( 4 + 3a)x + 4 与 x 轴交于a、3b 两点，与y 轴交于点c是否存在实数a，使得abc 为直角三角形若存在，恳求出a 的值；若不存在，请说明理

16、由解：依题意，得点c 的坐标为（0，4）设点a、b 的坐标分别为（ x1 ，0），（ x 2 ，0），4由ax2 + ( 4 + 3a)x + 4 = 0 ，解得x = -3， x= -3123a点a、b 的坐标分别为（-3，0），（ -43a ，0）当 ab2= ac 2 + bc 2 时，acb90°由 ab2= ac 2 + bc 2 ，得 16 - 8 + 9 = 25 + ( 16+16) 9a2a9a2解得a = - 1 4116625400当a = - 4 时，点 b 的坐标为（，0），ab23=9，ac2= 25 ，bc2=9于是 ab2= ac 2 + bc 2 当

17、a = - 1 时，abc 为直角三角形4当 ac 2= ab2 + bc 2 时，abc90°16816由 ac 2= ab2 + bc 2 ，得25 = (-+ 9) + (+ 16) 解得a = 4 99a 2a9a 2当a =4 时， - 4 =4= -3 ，点b（-3，0）与点a 重合，不合题意93a3´ 49当 bc 2= ac 2 + ab2 时，bac90°16168由 bc 2= ac 2 + ab2 ，得+ 16 = 25 + (-+ 9) 9a 29a 2a解得a =49 不合题意综合、，当a = - 1 时，abc 为直角三角形411. 已

18、知抛物线yx2mxm2.5（1） 若抛物线与 x 轴的两个交点a、b 分别在原点的两侧，并且 ab，试求m 的值；（2） 设c 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点m、n，并且 mnc 的面积等于 27，试求m 的值.1212解: (1)（x ，0）,b(x ，0).则 x，x 是方程 x2mxm20 的两根.x xm , x ·x=m2 0 即 m2 ;12121又 abx x =,（x +x ）2 - 4x x52121 2m24m3=0.ycmxon解得：m=1 或 m=3(舍去), m 的值为 1 .（2）m(a，b)，则n(a，b) .m、n 是抛物线上

19、的两点,得：2a22m40 . a2m2 .当 m2 时，才存在满足条件中的两点m、n.2 - m这时 m、n 到 y 轴的距离均为,2 - mm n c又点c 坐标为（0，2m）,而s= 27 ,2×1 ×（2m）×2=27.解得m=7 .（1）求抛物线与x 轴的另一个交点b 的坐标；（2）d 是抛物线与y 轴的交点，c 是抛物线上的一点，且以ab 为一底的梯形abcd 的面积为 9，求此抛物线的解析式；（3）e 是其次象限内到 x 轴、y 轴的距离的比为 52 的点，假如点 e 在（2）中的抛物线上，且它与点 a 在此抛物线对称轴的同侧，12. 已知：抛物线

20、yax 24axt 与 x 轴的一个交点为a（1，0）问：在抛物线的对称轴上是否存在点p，使ape 的周长最小?若存在，求出点 p 的坐标； 若不存在，请说明理由解法一：（1） 依题意，抛物线的对称轴为x2抛物线与x 轴的一个交点为a（1，0），由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点b 的坐标为（3，0）（2） 抛物线 yax 24axt 与 x 轴的一个交点为a（1， 0），a(1)24a(1)t0 t3ayax 24ax3a d（0，3a）梯形abcd 中，abcd，且点 c 在抛物线 yax 24ax3a上，c（4，3a）ab2，cd4梯形abcd 的面积为 9，1 ( ab

21、+ cd) × od9 a±1第7页/共13页21 (24) 3a9 2所求抛物线的解析式为 yx24x3 或 y- x 2 - 4ax - 3 （3） 设点e 坐标为（ x ， y）.依题意， x 0 ， y 0 ，0000y55且0 y x 22x000设点e 在抛物线 yx24x3 上，ì5ìx¢- 1 ，解方程组ï y 2 x ,ìx - 6，ï 02得í 00í 015； í50ïî y x24x 3î y ï y¢ 0000

22、ïî4点 e 与点a 在对称轴x2 的同侧，点 e 坐标为（ - 1 ， 5 ）24设在抛物线的对称轴x2 上存在一点p，使ape 的周长最小ae 长为定值，要使ape 的周长最小，只须pape 最小点a 关于对称轴x2 的对称点是b（3，0），由几何学问可知，p 是直线be 与对称轴x2 的交点 设过点e、b 的直线的解析式为 ymxn ，ì15ìm 1 ,ï-mn ,í24ïî3mn0.ï2解得íïïn 3 .î2直线be 的解析式为 y 131x 把 x2 代

23、入上式，得 y 点p 坐标为（2，2221 ）2设点e 在抛物线 y- x2 - 4x - 3 上，y - x 2 - 4x- 3 000ì5ï y x ,300+解方程组í 020ï消去 y，得x 2x 3020î y - x2 - 4x- 3.0000 .此方程无实数根（1）抛物线 yax 24axt 与 x 轴的一个交点为a（1，0），第8页/共13页综上，在抛物线的对称轴上存在点p（2， 解法二：1 ），使ape 的周长最小2a(1)24a(1)t0 t3ayax24ax3a 令y0，即ax24ax3a0 解得x 1， x 3 12抛物

24、线与x 轴的另一个交点b 的坐标为（3，0）（2）由 yax24ax3a ，得d（0，3a）梯形abcd 中，abcd，且点c 在抛物线yax24ax3a 上，c（4，3a）ab2，cd4第13页/共13页梯形abcd 的面积为 9，3a3 a±11 ( abcd) × od9 解得od32所求抛物线的解析式为 yx24x3 或 yx 24x3 （3）同解法一得，p 是直线be 与对称轴x2 的交点交点为f由pfeq，可得 bf pf bqeq1 pf 5254pf 1 2点p 坐标为（2， 1 ）2以下同解法一如图，过点 e 作 eqx 轴于点 q设对称轴与 x 轴的13

25、. 已知二次函数的图象如图所示（1） 求二次函数的解析式及抛物线顶点m 的坐标（2） 若点 n 为线段 bm 上的一点，过点n 作 x 轴的垂线，垂足为点q当点 n 在线段bm 上运动时（点n 不与点b，点 m 重合），设 nq 的长为 l，四边形nqac 的面积为s，求 s 与 t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；符合条件的点p 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将oac 补成矩形，使oac 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）解：（1）设抛物线的解析式 y = a(x + 1)(x - 2) ，（3）

26、 在对称轴右侧的抛物线上是否存在点p，使pac 为直角三角形?若存在，求出全部2è其顶点m 的坐标是æ 1 ，- 9 ö÷ ç4 ø（2）设线段bm 所在的直线的解析式为 y = kx + b ，点n 的坐标为n（t，h），ì0 = 2k + b，31ïí- 9 =k + b.解得k = 2 ， b = -3 ïî42线段bm 所在的直线的解析式为 y =3 x - 3 23111231h =2 t - 3 ，其中 2< t < 2 s =´1´ 2 +

27、(2 +t - 3)t =3112234 t 2 - 2 t +1s 与 t 间的函数关系式是s =4 t 2 - 2 t +1，自变量t 的取值范围是 2< t < 2 （3） 存在符合条件的点p，且坐标是 pæ 57 ö ， p æ 3 ，- 5 ö ç， ÷1è 24 ø设点p 的坐标为p (m，n) ，则 n = m2 - m - 2 分以下几种状况争辩：ç÷42 è 2øi） 若pac90°，则 pc 2= pa2 + ac 2 5解得： m

28、=， m= -1（舍去）点 p æ 57 ö ç， ÷1221è 24 øii） 若pca90°，则 pa2= pc 2 + ac 2 解得： m= 3 ，m= 0 （舍去）点 pæ 3 ， 5 ö 324ç÷42 è 2øiii） 由图象观看得，当点p 在对称轴右侧时， pa > ac ，所以边ac 的对角apc 不行能是直角（4） 以点 o，点 a（或点 o，点 c）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边oa（或边oc）的对边上，如图a，此时未知顶点坐标

29、是点d（1，2），以点a，点 c 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边ac 的对边上，如图 b，ç，f ç此时未知顶点坐标是e æ- 12 ö÷ ，æ 4 ，- 8 ö ÷è55 øè 55 ø图 a图 b14. 已知二次函数 yax22 的图象经过点（1，1）求这个二次函数的解析式，并推断该函数图象与x 轴的交点的个数解：依据题意，得a21. a1 这个二次函数解析式是 yx2 - 2 由于这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，2），所以该函数图象与 x 轴有两

30、个交点15. 卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面 111000 的比例图上，跨度ab5 cm，拱高oc0.9 cm，线段de 表示大桥拱内桥长，deab，如图（1）在比例图上，以直线ab 为 x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）（1） 求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2） 假如de 与ab 的距离om0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据： 2 » 1.4 ，计算结果精确到 1 米）解：（1）由于顶点 c 在 y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为由于点

31、a（ - 5 ，0）（或 b（ 5 ，0）在抛物线上，所以0a × (- 5 )2 9 ，得a 18 22210125因此所求函数解析式为 y 189x 2(- 5£ x £5 ) 125102252499189（2）由于点d、e 的纵坐标为， 所以2020=x212510，得 x±所以点d 的坐标为（ 52 ， 9 ），点 e 的坐标为（ 52 ， 9 ）4204202所以 de 52(- 52) 5442因此卢浦大桥拱内实际桥长为52 ´11000 ´ 0.012752» 385 （米）216. 已知在平面直角坐标系内，o 为坐标原点，a、b 是 x 轴正半轴上的两点，点 a 在点 b的左侧，如图二次函数yax2bxc （a0）的图象经过点a、b，与y 轴相交于点c（1） a、c 的符号之间有何关系?（2） 假如线段oc 的长度是线段oa、ob 长度的比例中项，试证a、c 互为倒数；3（3） 在（2）的条件下，假如b4， ab4解:，求 a、c