一类函数导数问题的构造策略探究

1、    一类函数导数问题的构造策略探究    蔡振树【摘要】导数是高中数学学习的一个重要组成部分，是研究函数、方程、不等式等问题的有力工具.利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，会涉及函数与方程、分类讨论、化归与转化、有限与无限等重要数学思想和分析法、综合法、换元法、构造法等常用数学方法.是考查数学抽象、逻辑推理等数学核心素养的重要载体.【关键词】函数;突破策略;核心素养【基金项目】本文是福建省“十三五”中学名师培养人选立项课题基于核心素养下的差异数学实践研究（课题编号：13ms009）的研究成果之一.一、高考试题中利用导数研究函数性质的作用有关函数的

2、压轴题，多涉及以ex，lnx为背景的一些恒等式、不等式等问题，这需要以导数为工具来解决，这也是涉及函数导数试题命制的热点和难点.例如，2018年高考（）卷第16题：已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是.利用导数研究函数最值，实际是研究单调性，进而得到最值.2018年高考（）卷第21题：已知函数f（x）=1x-x+alnx.（1）讨论f（x）的单调性;（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明f（x1）-f（x2）x1-x2纵观历年高考试题，函数中的双变量问题是一直是高考试卷中的“热门”试题之一，这类试题不仅形式多样，而且联系到的知识面较广，技巧性强，构造思维和推理

3、能力要求较高，因此，这类试题往往被设置成高考的压轴试题.解决这类问题的方法也是多种多样的，有必要针对具体问题具体分析，但实际上解决这类问题也有规律可循，要依据试题题设和待求问题的结构特点、内在联系选择适当的解决方法，关键在于构造出适当的函数，把双变量问题转化为单变量问题，进而利用导数研究该函数的性质来求解.二、构造函数利用导数突破的三种策略突破策略1：单调性法.利用结构，变量对称轮换，构造单调函数.压轴题中经常出现一类以不等式为背景考查函数单调性的定义、应用导数求解函数单调性的问题.此类问题设计新颖，既考查函数单调性的定义，又考查导数的应用，是两个知识点的交汇融合;既考查函数方程的思想，又考查

4、转化化归的思想，是数学思想方法的应用提升，可谓一举多得.求解此类问题时，一定要进行合理的转化化归，把问题转化为比较两个函数值的大小问题，再转化为函數的单调性问题，最后利用导数进行突围，使问题得以求解.例1 已知函数f（x）=12x2-2alnx+（a-2）x，ar.（1）当a=1时，求函数f（x）图像在点（1，f（1）处的切线方程;（2）当a<0时，讨论函数f（x）的单调性;（3）是否存在实数a，对任意的x1，x2（0，+）且x1x2，有f（x2）-f（x1）x2-x1>a恒成立？若存在，求出a的取值范围;若不存在，说明理由.分析与解 （1）（2）略.（3）题干所给的条件中含有x1

5、，x2两个变量，同时具有轮换对称的特征，因此，考虑进行变量分离，等式的特征转化为“比较两函数值大小的问题”，进而把问题转化为“函数的单调性问题”，最后应用导数进行求解.为了把f（x2）-f（x1）x2-x1>a的分母进行移项.不妨设x10，由f（x2）-f（x1）x2-x1>a可知，f（x2）-ax2>f（x1）-ax1在区间（0，+）上恒成立.构造函数g（x）=f（x）-ax（x>0），则函数g（x）在（0，+）上单调递增.下面应用导数进行求解.g（x）=12x2-2alnx-2x（x>0），g（x）=x-2ax-2（x>0）.由g（x）0在（0，+）上恒

6、成立，得2ax2-2x在（0，+）上恒成立.令（x）=x2-2x=（x-1）2-1（x>0），所以当x=1时，（x）取得最小值-1.故2a-1，a-12.故存在这样的实数a满足题意，其范围为-，-12.突破策略2：主元法.把一个变量当成定值，构造成另一个变量的函数来研究，属于通性通法.比起对结构要求高的题型来讲，更具一般性.函数中的双变量问题是近年高考试卷中的“热门”试题之一，这类试题不仅形式多样，而且联系到的知识面较广，技巧性强，构造思维能力要求较高，是多个知识点的交汇融合;既考查函数方程的思想，又考查化归转化的思想，是数学思想方法的应用提升，是落实数学核心素养的重要载体.这类以指数型

7、（对数型）函数为背景的导数、不等式交汇的试题时，我们观察到，不等式含有双元变量x1，x2，当x1=x2时，原不等式一端分式为00型，或0=0或左端=右端等形式.此时，可以将其中一个变量x1当成定值，另一个x2作为变量构造一端为零的不等式，从而实现减元.令x=x2，构造函数g（x），利用导数求解g（x）的最值，从而证明求解.在求解一类以指数型（对数型）函数为背景的导数、不等式交汇的试题时，我们观察到，不等式含有双元变量x1，x2，通过等价转化后可以构造差值x1-x2（或比值x1x2）而后进行换元（令t=x1-x2或t=x1x2），从而实现减元，进而把问题转化为关于t的问题，然后通过构造关于t的函

8、数，以导数为工具进行证明求解.三、立足差异关注核心素养落地的重要载体注重应试实战与数学素养的培育，利用函数导数作为载体，掌握构造函数的几种策略，不仅帮助学优生突破解高考的压轴题瓶颈问题，还可以为中等生增加有效解题步骤分，有利于提高高考的应试成绩.同时，更能关注到学生数学素养的培养，如对分析问题、解决问题的能力的培养，是提升数学建模、数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养的有力实践.这需要我们正视学生学习差异，确实落实核心素养，实践差异数学.构造函数解决一类双元变量问题的策略，题型特征明显，易于观察，解法规律性强，简单易操作，适用范围较广，能让不同学习层次的学生得到不同的发展，更好地体现差异数学，能让学生体会知识学会识别题型、掌握解题规律，又能让学生灵活迁移应用.构造函数的策略既能让学生感受知识发生、发展的过程，又能让学生从中领悟数学本质，提升数学素养，具有