(完整word版)三角形全等之手拉手模型、倍长中线、截长补短法、旋转、寻找三角形全等方法归纳总结

1、1要点一：手拉手模型例 1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，证明(1)ABE二DBC(2)AE =DCEAE与DC之间的夹角为60(4)：AGB三DFBf, (5)EGB三CFB(6)BH平分AHC(7)GF / AC畀一、手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点/J变式精练 2:如图两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，证明（1），ABE二DBC（4）AE与DC的交点设为H,BH平分.AHC问：（1）：AD CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度?（4）HD是否平分AHE？例

2、 3：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG,连结AG,CE,二者相交于点H问：（1）ADG二，CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分AHE？变式精练 1：如图两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，证明（1）CABE三DBC(2)AE二DC（3）AE与DC之间的夹角为60（4）AE与DC的交点设为H,BH平分.AHC(2)AE=DC（3）AE与DC之间的夹角为60例 2:如图，两个正方形ABCD与DEFG旌结AG,CE,二者相交于点H3例 4：两个等腰三角形ABD与 :BCE，其中AB二BD,CB二EB, .ABD二.CBE二:-

3、,连结AE与CD,问：（1）.ABE二DBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？（4）HB是否平分.AHC？EJB二、倍长与中点有关的线段倍长中线类?考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线， 倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。1【例 1】 已知： ABC 中，AM是中线.求证： AM （AB AC）.【练【练1】在厶ABC中，AB =5, AC =9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么?【练 2】如图所示，在ABC 的AB边上取两点E、证：AC BC EC FC .F，使AE二BF，连接 CE、CF

4、，求【例【例2】 如图，已知在ABC 中，AD是 BC 边上的中线，E是AD上一点，延长BE交 AC 于F,AF =EF，求证：AC =BE .5【练 2】如图，在 UABC 中，AD交 BC 于点D，点E是 BC 中点，EFII AD交 CA 的延长 线于点F，交AB于点 G，若 BG =CF，求证：AD为.：ABC 的角平分线.【练 3】如图所示，已知-ABC 中，AD平分.BAC ,E、F分别在BD、AD上. DE =CD ,EF =AC .求证：EFIIAB【例【例3】 已知AM为 ABC 的中线，ZAMB, . AMC 的平分线分别交AB于E、交 AC 于F.求证：BE CF EF

5、.【练 1】在 Rt ABC 中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边 CA、CB 上，满足ZDFE =90.若 AD =3 ,BE=4，则线段DE的长度为 _.【练【练1】如图，已知在 ABC 中，AD是 BC 边上的中线,延长BE交 AC 于F，求证：AF =EFE是AD上一点，且 BE=AC ,6全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性 质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方【练【练2】在ABC中，点D为 BC 的中点，点M、N分别为AB、AC 上的点, (1 )若NA=90，以线段BM、MN、CN为边能否构

6、成一个三角形? 角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？且MD _ ND.若能，该三(2)如果 BM2CN2=DM2- DN2，求证 AD212 2AB AC .【例【例4】如图所示， 在 ABC 中， AB =AC ,延长AB到D,使ED =AB连接 CE、CD，求证 CD =2EC .,E为AB的中点,【练 1】已知 JABC 中，AB =AC ,BD为AB的延长线，且BD=AB, 边上的中线.求证：CD =2CECE 为.：ABC 的ABDC71.如图所示，ABC中， C=9O：B=450, AD 平分BAC交 BC 于D。求证：AB=AC+CD。8如图所示，在ABC中，.B =60,

7、. ABC的角平分线 AD、CE 相交于点 0。求证:AE+CD=AC 。2.如图所示，已知Z1 Z2, P 为 BN 上一点，且PD _ BC于 D , AB+BC=2BD，求证:.BAP BCP =180。3.如图所示，在Rt ABC中，AB=AC，BAC =90。，ABD = CBD，CE 垂直于BD 的延长线于 E。求证：BD=2CE。线， C=30，BE _ AD于 E 点，求证:5 如图所示，在ABC中， ABC =90，AD 为.BAC的平分AC-AB=2BE。9第11页共 18 页三、截长补短问题 1:垂直平分线（性质）定理是 _问题 2 :角平分线（性质）定理是_问题 3 :

8、等腰三角形的两个底角 _ ，简称_ ;如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也 _ ，简称_ .问题 4 :当见到线段的 _ 虑截长补短，构造全等或等腰转移 _ 、转移_，然后和_重新组合解决问题.三角形全等之截长补短（一）一、单选题（共 4 道，每道 25 分）1.已知，如图，BM 平分/ ABC P 为 BM 上一点，PDLBC 于点 D, BD=AB+CD遣长怯）证明如图，在昶上截取莊=迅连接悲一在ZEP和HEEP中AB = EB“ Z1 = Z2SF= BP(SAS)代CD=ED：PD丄BC.PEPC请你仔细观察下列序号所代表的内容：平分 ZABC.一Z1 = Z2:丁上 1=2

9、2;/ A=ZBEP AP=PE/BD = AB + CD 二心=ZPCDTBD二AB+CD二BD二BE + ED+23= 180二二 一二 丄；二二一_：；二丄一二二 一二；AZ3 = Z?CCVZBSF+Z3 = 18O/.以上空缺处依次所填最恰当的是（）A.B.C.D.2.已知，如图，BM 平分2ABC 点 P 为 BM 上一点，PDLBC 于点 D, BD=AB+DC 求证：2BAP2BCP=180.（栽枝法）证明：如固第12页共 18 页.Z1=Z2在丘 b 和FDF中BE = BDBP= BP：、“EE陀山DF(SAS)AFELI和AFDC中rPE=PDiRADC_AE = CD；

10、”EPE啦 ZX($A)/. ZC=ZR4E.PZ4?-Z/!jr=Oe.Z5J1P-ZJBCP=1SO3请你仔细观察下列序号所代表的内容：延长 BA 过点 P 作 PE1BA 于点 E;延长 BA 到 E,使 AE=DC 连接 PE: BD = BA + CD: RD二BA+CD延长 BA 到 E,使 DC=AE二 二 1 上二；.r_ 二/. PE = PD, ZPEA二乙PDB：PD丄ECZFDE = 90。/. DC = 90.-.以上空缺处依次所填最恰当的是（）:PE二PD, ZPEA = ZPDBTPD丄恥:.ZPDB =J/PDC = 90Q/.ZFi4 = 90； . _!_A

11、B=AE AD 平分/ CDEZBAE=ZCAD 求证:BC+DE=CDA.B.C.D.第13页共 18 页 朋匚血-_-Z2-Z3. JC-JF在既C.心#1DF.血中-ZOD- ZIPJIDAD -ADAC.JDS2Af.JD (SAS)请你仔细观察下列序号所代表的内容：在 b松匸和ZFC 巾AS= AF请你仔细观察下列序号所代表的内容：在 CD 上截取 CF=CB 连接 AF在 DC 上截取 DF=DE 连接 AF;在 DC 上截取 DF=DE AE=AF AF=AE / 4=Z3;Z4=Z3;：.AB = AFT Z8血=2CADVZCAD-Z3+Z6ABAE:.AB = AFVZCJ

12、W = Z3+Z6,Z4-Z3即Z4+Z5=Z3+Z6AB = AE-AB = AFABAE=2ZCADAZCJD=Z3+Z6apZ4+Z5 = Z3+Z6 ：._. 以上空缺处依次所填最恰当的是（）;一A.B.C.D.AB=AE / BAE=ZCAD / ABC#AED=180，求证:BC+DE=CD.4D 平 1=Z2在AJFQ和&応 Q 屮AD = AD* Z1 = Z2DP-LR.,ZkiFZ)SfiA.JD (SAS)（栽枝法）证明：如固第14页共 18 页延长 DE 到 F,使 EF=BC 连接 AF;延长 DE 到 F,使 BC=EF第15页共 18 页Z1+ZAS5 =

13、 18O延长 DE 到 F,连接 AF;. 一；*：ZEAE二20AD:.ACAD= Z2 +Z4 .ZCAD = Z2 +Z4二Z3+Z4二Z3+/4:m ；丰一 y 二-：. .一二匕一二二厂-；工_ L-以上空缺处依次所填最恰当的是（）A.B.C.D./. CD = DF：DF DE+EFEF = BC:-EF= DE+BC：.CD = DFDF = DE + SF二DE+BC四、三角形全等旋转与截长补短专题问题一：题中出现什么的时候，我们应该想到旋转?问题二：旋转都有哪些模型？(构造旋转的条件)【例1】如图，P 是正 ABC 内的一点，若将PBC 绕点 B 旋转到 P/ BA ,则/

14、PBP /的度数是( )A. 45B. 60C. 90 D. 120 【例 2】如图，正方形 BAFE 与正方形 ACGD 共点于 A,连接 BD、CF , 求证：BD = CF 并求出/ DOH 的度数。【例 3】如图，正方形 ABCD 中，/ FAD =ZFAE。求证：BE+ DF=AE。Cfi1 题干中出现对图形的旋转 一一现成的全等2 图形中隐藏着旋转位置关系的全等形一一找到并利用3题干中没提到旋转，图形中也没有旋转关系存在一一通过作辅助线构造旋转！【例 4】已知：如图：正方形 ABCD 中，/ MAN = 45,/ MAN 的两边分别交 CB、DC 于点 M、N。 求证：BM + D

15、N = MN。【例 5】如图，正方形 ABCD 中，/ EAF = 45,连接对角线 BD 交 AE 于 M，交 AF 于 N,证明：DN2+ BM2= MN2【例 6】如图，已知 OAB 和厶 OCD 是等边三角形，连结 AC 和 BD，相交于点 E, AC 和 BO 交于 点 F，连结 BC。求/ AEB 的大小。【例 7】如图所示： ABC 中，/ ACB = 90 AC = BC, P 是厶 ABC 内的一点，且 AP = 3, CP= 2, BP = 1,求/ BPC 的度数。本课总结问题一：题中出现什么的时候，我们应该想到旋转？（构造旋转的条件）1.图中有相等的边（等腰三角形、等边

16、三角形、正方形、正多边形）2. 这些相等的边中存在共端点。3如果旋转（将一条边和另一条边重合），会出现特殊的角：大角夹半角、手拉手、 被分割的特殊角。问题二：旋转都有哪些模型？构造旋转辅助线模型：1. 大角夹半角2. 手拉手（寻找旋转）3. 被分割的特殊角测试题PBA，则.PBP的度数是（）BC 中，AB = AC, BC 为最大边，点 D、E 分别在 BC、AC 上，BD = CE, F 为 BA 延长线 上一点，BF = CD，则下列正确的是（）A . DF = DEB . DC = DFC. EC= EAD .不确定3. 如图，四边形 ABCD 中，/ ABC = 30, / ADC =

17、 60, AD = DC ,则下列正确的是（）A . BD2= AB2+ BC2B . BD2VAB2+ BC2C. BD2 AB2+ BC2D.不确定4. 已知 ABC 中， ACB =90 , CD _ AB 于D, AE 为角平分线交 CD 于 F，则图中的直 角三角形有（）A . 7 个B . 6 个C. 5 个D . 4 个5.如图，DA 丄 AB, EA 丄 AC, AD = AB, AE= AC,则下列正确的是（）1.如图，P 是正 ABC 内的一点，且BP 是/ ABC 的角平分线，若将PBC绕点 P 旋转到A. 45B . 60 C. 90D. 120D2 .如图： AD .

18、 1209.如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD, / B= / D =90 ,E、F分别是边 BC、CD 上 1的点，且/ EAF/ BAD。则下列一定正确的是（）2A .EF二BE FDB .EF BE FDC .EF : BE FDD .EFBE2FD210 .在正方形 ABCD 中，BE= 3, EF = 5, DF = 4,则/ BAE +ZDCF 为（）A. 45B. 60C. 90D. 120A ABDB ADFD . ADCABE（）B . BE2+ EC2= BC2C . BP= DFD . BE= DFCD，则下列一定正确ADB 与等腰直角AEC 共点于A，连结BE、B

19、 . AD / CEC . BE 丄 CED . BE= CEAFC 共点于A，连接BF、CE，则.EOB 的度数为（）&如图，等边三角形ABE与等边三角形A. 45 B . 60 C. 90C. BMFCMS6 .如图，已知 P 为正方形 ABCD 的对角线 AC 上的一点（不与 A、C 重合），PE 丄 BC 与点 E,PF 丄CD 与点F， 若四边形 PECF绕点C 逆时针旋转，连结 BE、DF，则下列一定正确的是A. BP= DP7.如图，等腰直角的是（）A. BE= DC五、寻找全等三角形的几种方法利用全等三角形的性质可以证明分别属于两个三角形中的线段或角相等在证明线段或角相

20、等时，解题的关键往往是根据条件找到两个可能全等的三角形，再证明这两个三角形全等，最后得出结论下面介绍寻找 全等三角形的几种方法，供同学们参考.一、利用公共角例 1 如图 1 , AB = AC, AE = AF.求证：/ B=ZC.分析：要证明/ B=ZC,只需证明厶 BOECOF 或厶 ABFACE.而由图形可知/ A 是公共角，又由 已知条件 AB = AC,AE = AF,所以 ABFACE，于是问题获证.二、利用对顶角（题目中的隐含条件）例 2 如图 2, B、E、F、D 在同一直线上，AB = CD, BE = DF , AE = CF，连接 AC 交 BD 于点 O. 求证：AO

21、= CO.分析：要证明 AO = CO,只需证明厶 AOECOF 或厶 AOBCOD 即可.根据现有条件都无法直接证 明.而由已知条件 AB = CD , BE = DF, AE = CF 可直接证明 ABECDF，贝 U 有/ AEB=ZCFD , 进而有/ AEO=ZCFO,再利用对顶角相等，即可证明。三、利用公共边（题目中的隐含条件）例 3 如图 3, AB = CD, AC = BD .求证：/ B=ZC.分析：设 AC 与 BD 交于点 O,此时/ B 与/ C 分别在 AOB 和厶 DOC 中，而用现有的已知条件是不可 能直接证明这两个三角形全等的，需添加辅助线来构造另一对全等三角

22、形.此时可以连接AD，那么 AD是厶 ABD 和厶 DCA 的公共边，这样可以证明厶 ABDDCA .四、利用相等线段中的公共部分例 4 如图 4, E、F 是平行四边形 分析：要证明 BE / DF,只需证明/CFD.ABCD 的对角线BEC=ZDFA,AC 上的两点，AF = CE.求证：BE / DF.此时可以转换为证明/ AEB=ZCFD,进而证明厶 AEBC图 4五、利用等角中的公共部分例 5 如图 5，已知/ E = 30, AB = AD, AC = AE，/ BAE=ZDAC .求/ C 的度数.分析：已知/ E = 30,要求/ C,可考虑证明 ABCAADE,由/ BAE=ZDAC,结合图形可知/ BAC = / DAE ,于是问题获解.六、利用互余或互补角的性质考点：同角或等角的余角相等例 6 如图 6，已知/ DCE = 90 , / DAC = 90, BE 丄 AC 于 B,且 DC = EC,能否找出与 AB+AD 相 等的线段，并说明理由.分析：由于 AC = AB+BC，可以猜想 AC = AB+AD,或 BE = AB+AD，此时只需证明 AD = BC 即可.而 事实上，用同角的余角相等可得到/DCA=ZE,从而证明厶 ADC BCE ,问题获证.例 7,如图 7 1,在