插板法原理及应用

1、插板法理论分析：假定N 组的话需要插入（M 个元素，分成N 组。 MN-1 ）个木板，所以方法数为：个元素中间有（M-1C（M-1 ， N-1 ）；）个空，如果想分为注意插板法的三要件：相同元素分配；所分组是不相同的；每组至少分到一个。插板法的三种基本形式：（ 1 ）将 8 个完全相同的球放到 3 个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？A.21B.28C.32D.48楚香凝解析： 8 个球中间有7 个空，分到 3 个盒子需要插两块板，插板法 C（ 72）=21 种，选 A对于不满足第三个条件- 即“每组至少一个”的情况，要先转化为标准形式，再使用插板法。（ 2 ）将 8

2、个完全相同的球放到 3 个不同的盒子中，要求每个盒子至少放两个球，一共有多少种方法？A.3B.6C.12D.21楚香凝解析：先往每个盒子里提前放一个、还剩下同的盒子，每个盒子至少一个，插板法 C（ 452） =6个；转化为种，选 B5 个相同的球分到3 个不（3）将8 个完全相同的球放到3 个不同的盒子中，一共有多少种方法？A.15B.28C.36D.45楚香凝解析： 此时因为每个盒子可以分0 个，先让每个盒子提供一个球给我们、还回去； 转化为 11 个相同的球分到3 个不同的盒子， 每个盒子至少一个，插板法=45 种，选 D分的时候再C（102）此时也可以根据八个球之间9 个空，两个板子插不

3、同的空有C（ 9 2） =36种、插同一个空有 C（ 9 1）=9 种， 36+9=45 种；对比三种不同的考法，其实它们之间是存在密切联系的。8 个完全相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放0 个球，有 C（ 10 2）种；8 个完全相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，有C（72 ）种；8 个完全相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放两个球，有C（42 ）种；这三种基本形式，要牢牢掌握。例 1：某单位订阅了30份相同的学习材料发放给3 个部门，每个部门至少发放9 份材料。问共有多少种不同的发放方法？【国家 2010 】A.12B.10C.9D.7楚香凝解析：每个部

4、分先提前分 8 份材料，还剩下 30- 3× 8=6 份；相当于 6 份材料分给 3 个部门，每个部门至少分 1 份，插板法 C（ 5 2） =10 种，选 B例 2：某办公室接到15 份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于 3 份，也不得多于 10 份，则共有（ ）种分配方式。【广州 2014 】A.15B.18C.21D.28楚香凝解析： 每人先分2 份、还剩下 15- 3× 2=9 份；相当于1 份、至多8 份，插板法C（8 2） =28 种，选 D9 份公文分给三个人，每人至少例 3：某单位共有10 个进修的名额分

5、到下属科室，每个科室至少一个名额，若有36 种不同分配方案，问该单位最多有多少个科室？【黑龙江2015 】A.7B.8C.9D.10楚香凝解析： C（ 10-1 ， n-1 ） =36 ，代入 n=8 满足，选 B 补充：若问最少有多少个科室，因为 C（ 9 2） =36 ，此时为3 个科室。例 4：把 10 个相同的球放入编号为 1， 2， 3 的三个盒子中，使得每个盒子中的球数不小于它的编号，则不同的方法有（）种。A.10B.15C.20D.25楚香凝解析：第二个盒子先提前放1 个球、第三个盒子先提前放2 个球，还剩下个球；相当于把7 个相同的球放入三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，插板

6、法=15 种，选 B10-1-2=7C（62）例 5：把 10 个相同小球放入3 个不同箱子，第一个箱子至少1 个，第二个箱子至少3 个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？A.15B.28C.36D.66楚香凝解析：第二个盒子先提前放2 个球、从第三个盒子拿出1 个球，还剩下10-2+1=9个球；相当于把9 个相同的球放入三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，插板法C（82）=28 种，选 D例 6：现有 9 块巧克力（其中 5 块有夹心），若将这些巧克力分给 3 个小朋友，平均每个人都有 3 块，问每个小朋友都至少分得 1 块夹心巧克力的情况有多少种？ 【粉笔模考】A.6B.9C.12D.25

7、楚香凝解析：相当于把5 块夹心巧克力分给3 个人，每人至少1 块、至多（4 2 ） =6 种，然后再分配非夹心巧克力使得每人恰好3 块即可，选A3 块，插板法C对于插板法的基础题型来说， 最关键的一步就是把题中的条件转化成插板法的标准形式， 即“每组至少一个”。插板法技巧进阶篇在直接使用插板法时，有时会出现不满足题意的情况，需要减掉。例 6：某单位购买了10 台新电脑，计划分配给甲、乙、丙3 个部门使用。已知每个部门都需要新电脑 ,且每个部门最多得到 5 台，那么电脑分配方法共有 （）种。【广东2013 】A.9B.12C.18D.27楚香凝解析： 插板法 C（ 92 ）=36 种；然后去掉不

8、满足题意的情况（即有的部门多于5 台）：选一个部门 C（ 31）、先分给这个部门 5 台，再把剩下的5 台分给 3 个部门，插板法C（42），则不满足题意的情况有C（ 3 1 ）× C（4 2） =18 种，满足题意的情况有36-18=18 种，选 C例 7：有 3 个单位共订300 份人民日报，每个单位最少订99 份，最多101 份。问一共有多少种不同的订法？【黑龙江2010 】A.4B.5C.6D.7楚香凝解析：解法一：分类：99+100+101的情况有A（ 3 3） =6 种， 100+100+100的情况有一种，共7种，选 D解法二：每个单位先提前分98 份，还剩下300-

9、3× 98=6 份；相当于把6 份日报分给3 个单位，每个单位至少分1 份、至多分3 份，插板法减去有单位分到4 份的情况， C（ 5 2） -C（ 3 1）=7 种，选 D有时直接正面使用插板法，因为需要减掉的情况比较多，可以考虑从反面入手，利用“先全部分下去再收回一部分”的思想。例 3：四个小朋友分 17 个相同的玩具， 每人至多分 5 个，至少分 1 个，那么有多少种分法？【河南招警 2011 】A.18B 19C 20D 21楚香凝解析： 每个小朋友先分5 个、共分了 20 个，再收回 20-17=3个，每人至少交回0 个，插板法 C（6 3） =20 种，选 C例 4：某快

10、问快答节目第一关设置4 道题，选手答错任意一题则立即停止答题。比赛规定：第一题到第四题的答题时间分别限定在10、 8、 6、 3 秒内（选手每题的答题时间都计为整秒且至少为 1 秒），某位选手通过第一关，答题用时 24 秒，则该选手在 4 道题上的答题用时组合有多少种： 【粉笔模考】A.8B.15C.19D.20楚香凝解析：总的时间上限=10+8+6+3=27秒，相当于从27 秒中去掉秒、第四题最多去2 秒；转化为三个名额分给四道题，每道题至少分额都分给第四题的情况，插板法，C（ 6 3） -1=19 种，选 C3 秒，每题可以去0 个，再去掉三个名0如果对于以上知识都已理解，可以通过下面几道

11、练习题进行巩固。练习 1：有 3 个单位共订 300 份人民日报，每个单位最少订 99 份，最多 102 份。问一共有多少种不同的订法？A.6B.7C.8D.10楚香凝解析：每个单位先提前分 98 份，还剩下 300- 3× 98=6 份；相当于把 6 份日报分给 3 个单位，每个单位至少分 1 份、至多分 4 份，插板法 C（ 5 2） =10 种，选 D练习 2 ：某办公室接到15 份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于2 份，也不得多于10 份，则共有多少种分配方式：A.52B.53C.54D.55楚香凝解析：每人先分1 份、

12、还剩下12份、至多9 份，插板法C（ 112）=55有 C（ 3 1）=3 种，则满足题意的情况有份；相当于把12 份公文分给3 个人，每人至少种，去掉有人分到多于9 份的情况（即10+1+155-3=52种，选 A1）、练习 3 ：某办公室接到18 份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于3 份，也不得多于10 份，则共有多少种分配方式：A.43B.46C.51D.55楚香凝解析：每人先分2 份、还剩下12 份；相当于把12 份公文分给3 个人，每人至少份、至多 8 份，插板法C（ 11 2） =55 种，去掉有人分到多于8 份的情况：先选一

13、个人分给他 8 份，剩下的4 份分给 3 个人，每人至少1 个，有 C（ 3 1 ）× C（3 2 ）=9 种，则满足题意的情况有55-9=46种，选 B1练习 4 ：某办公室接到16 份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙、丁四名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于2 份，也不得多于5 份，则共有多少种分配方式：A.20B.27C.31D.35楚香凝解析：每人先分5 份、共分了20 份，再收回4 份，每人至少交出份，插板法C（ 73） =35 种，去掉有人交出4 份的情况C（ 41 ）=4情况有 35-4=31种，选 C0 份、至多交出种，则满足题意的3练习 5：袋中有

14、红、 白、黑三种颜色的球各 10 个，从中抽出 16 个，要求三种颜色的球都有，有多少种不同的抽法？A.35B.45C.75D.105楚香凝解析： 相当于 16 个名额分给三种颜色，每种颜色至少一个名额，插板 C（ 15 2）=105种；去掉某种颜色多于10 个球的情况，先选一种颜色C（ 3 1）、先分给它10 个，剩下 6 个名额再分给三种颜色，每种颜色至少一个名额，插板C（ 5 2 ） =10 ，则满足题意的情况有105- 3× 10=75 种，选 C插板法技巧之比赛得分计算（1 ）某社区组织开展知识竞赛， 有 5 个家庭成功晋级决赛的抢答环节，抢答环节共 5 道题。计分方式如下

15、：每个家庭有10 分为基础分；若抢答到题目，答对一题得5 分，答错一题扣2 分；抢答不到题目不得分。那么，一个家庭在抢答环节有可能获得（）种不同的分数。【广东 2013 】A.18B.21C.25D.36楚香凝解析： 有没有基础分并不影响得分的情况数；相当于把5道题分给答对、 答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0 道题，插板法 C（ 7 2 ） =21 种，选 B通过分类可以看的更加清楚，答对一道和答错一道相差5+2=7分；抢到 0 道时，得分只有一种，即基础分10 分；抢到 1 道时，得分有两种，答错为8 分、答对为15 分；抢到 2 道时，得分有三种，分别是6、 13、 20；抢到 3 道

16、时，得分有四种，分别是4、 11、 18、 25；抢到 4 道时，得分有五种，分别是2、 9、 16 、 23、 30；抢到 5 道时，得分有六种，分别是0、 7、 14 、 21、 28、 35；共 1+2+3+4+5+6=21 种，选 B（2 ）某次数学竞赛共有 10 答得 0 分。设这次竞赛最多有道选择题，评分办法是答对一道得4 分，答错一道扣1 分，不N 种可能的成绩，则N 应等于多少？【深圳 2008 】A.45B.47C.49D.51楚香凝解析：相当于把10 道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0 道题，插板法 C（122）=66 种，但是注意此时有些情况的得分是重复的

17、，出现重复的原因是4× 1+（-1 ）× 4=0，即答对一道 + 答错四道 =不答五道 =0 分。如果先拿出5 道题、这五道题共得了 0 分、而得到0 分的情况有两种，所以在对剩余的五道题进行插板分配时C（ 7 2 ）=21 ，这 21 种情况出现的得分跟前五道题的0 分合起来，每种得分都被重复算了两次、需要减掉一次，所以满足题意的情况数有66-21=45 种，选 A也可以结合一个具体的得分进行说明，比如8 这个得分， 8=4× 2=4× 3+（-1 ）× 4，有两种可能：（ 1）答对两道、不答八道，（ 2）答对三道、答错四道、不答三道；两种可

18、能性进行对比，消掉相同部分（答对两道、不答三道）后，（ 1）不答五道， （ 2）答对一道、答错四道。这其实就是出现重复的根源，或者说，对于任何一种重复得分，消掉相同部分后，剩下的部分都是不答五道 = 答对一道 + 答错四道， 即如果先拿出五道题， 对剩下五道题进行插板，这 C（ 7 2）=21 种情况都会出现重复、需要减掉。（3 ）某测验包含 10 道选择题，评分标准为答对得 3 分，答错扣 1 分，不答得数可以为负数。如所有参加测验的人得分都不相同，问最多有多少名测验对象？B2018】0 分，且分【浙江A.38B.39C.40D.41楚香凝解析：相当于把10 道题分给答对、答错、不答三个箱子

19、，每个箱子至少分0 道题，插板法 C（122）=66 种，但是注意此时有些情况的得分是重复的，出现重复的原因是 3× 1+（-1）× 3=0，即答对一道 + 答错三道 =不答四道 =0 分。如果先拿出4 道题、这四道题共得了 0分、而得到0 分的情况有两种，所以在对剩余的六道题进行插板分配时C（8 2）=28 ，这 28 种情况出现的得分跟前四道题的0 分合起来，每种得分都被重复算了两次、需要减掉一次，所以满足题意的情况数有66-28=38 种，选 A也可以结合一个具体的得分进行说明，比如15 这个得分， 15=3× 5=3× 6+（ -1 ）×

20、; 3，有两种可能：（ 1）答对五道、不答五道，（ 2）答对六道、答错三道、不答一道；两种可能性进行对比，消掉相同部分（答对五道、不答一道）后，（ 1）不答四道， （ 2）答对一道、答错三道。这其实就是出现重复的根源，或者说，对于任何一种重复得分，消掉相同部分后，剩下的部分都是不答四道= 答对一道 + 答错三道，即如果先拿出四道题，对剩下六道题进行插板，这 C（8 2） =28 种情况都会出现重复、需要减掉。对于加分和减分不互质的情况，需要进行一步转化。（4 ）某次数学竞赛共有10道选择题，评分办法是答对一道得4 分，答错一道扣2分，不答得 0 分。设这次竞赛最多有N 种可能的成绩，则 N 应

21、等于多少？A.21B.30C.38D.51楚香凝解析：相当于把10 道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0 道题，插板法 C（122）=66 种，但是注意此时有些情况的得分是重复的，出现重复的原因是4× 1+（-2）× 2=0，即答对一道 + 答错两道 =不答三道 =0 分。如果先拿出3道题、这三道题共得了 0分、而得到0 分的情况有两种，所以在对剩余的七道题进行插板分配时C（9 2）=36 ，这 36 种情况出现的得分跟前三道题的0 分合起来，每种得分都被重复算了两次、需要减掉一次，所以满足题意的情况数有66-36=30 种，选 B（5 ）某次数学竞赛共有10

22、 道选择题，评分办法是回答完全正确得5 分，不完全正确得 3分，完全错误得0 分。设这次竞赛最多有N 种可能的成绩，则N 应等于多少？A.30B.38C.45D.60楚香凝解析：先做一步转化，使之转化为标准型。鸡兔同笼思想：假设初始为30 分，相当于 10道题全部不完全正确，在此基础上，每对一道增加2 分、每错一道减少3 分，那么就变成了回答完全正确得2 分，不完全正确得0 分，完全错误得 -3 分。插板法 C（ 12 2） =66种，去掉重复的部分：先拿出3+2=5 道题，剩下的五道题插板C（ 7 2）=21 种， 66-21=45种，选 C（6 ）在一次数学考试中，有 10 道选择题，评分

23、办法是：答对一题得 4 分，答错一题倒扣分，不答得 0 分，已知参加考试的学生中，至少有 4 人得分相同。那么，参加考试的学生至少有多少人？1A.91B.103C.136D.199楚香凝解析：先求得分情况有多少种；插板法，C（12 2 ） -C （ 7 2）=45 种，抽屉原理之最不利原则，每种得分先分3 个人，再分一个人必然满足题意，45× 3+1=136 人，选 D（7 ）学生参加数学竞赛，共 20 道题，有 20 分基础分，答对一题给 3 分，不答给 0 分，答错一题倒扣 l 分，若有 l978 人参加竞赛，至少有多少人得分相同？A.26B.27C.49D.50楚香凝解析：先求

24、得分情况有多少种；插板法，C（ 22 2 ） -C （ 18 2 ）=78 种，抽屉原理之平均分配问题， 1978÷ 78=25 28，所以每种得分先分 25 人，剩下的 28 个人也尽可能平均分配，则至少有 25+1=26 个人得分相同，选 A（ 8 ）小梁买了一个会走路的机器猫玩具，这个机器猫只能走直线不能拐弯，并且只有向前走 1cm 、3cm 、5cm 这三种步伐。小梁可以通过遥控器控制机器猫的每一种步伐。若在小梁的控制下机器猫走了4步，该机器猫可以到达（）种不同的距离。A.8B.9C.10D.11楚香凝解析：解法一：最少走4cm 、最多走 20cm ，所以 4 20 之间的偶

25、数都可以到达，选B解法二：转化为4 道题，每道题完全答对加 5分、部分答对加 3 分、答错加1 分，鸡兔同笼转化为完全答对加2分、部分答对加 0 分、答错加 -2 分，插板法 C（ 6 2） -C （42） =9种，选 B（9）有 1 元、 10 元、100 元的纸币共 60 张，每种至少一张，总钱数有多少种可能？A.583B.592C.604D.617楚香凝解析：转化为完全正确得100 分，不完全正确得 10 分，完全错误得 1 分；利用鸡兔同笼再转化为完全正确得90 分，不完全正确得0 分，完全错误倒扣 9 分；插板法 C（ 59 2 ）=1711种；去掉重复的情况：1 道完全正确 +10

26、道完全错误 =11 道不完全正确，先拿出 11道题，剩下的插板C（48 2 ） =1128 种； 1711-1128=583 种，选 A插板法技巧之常见应用模型（1 ）方程 a+b+c=10有多少组正整数解？A.15B.20C.28D.36楚香凝解析：相当于把10 个相同的苹果分给三个人，每人至少一个，插板法C（9 2 ）=36种，选 D（2 ）不等式a+b+c 10 有多少组非负整数解？A.66B.78C.84D.286楚香凝解析：补一个字母 d ，转化为 a+b+c+d=10 ，此时把 10 个相同的苹果分给四个人，每人至少 0 个，插板法a、 b 、 c、 d 都是0 的，相当于C（13

27、 3） =286 种，选 D（3 ）（A+B+C ） 10的展开式中共有多少项？A.36B.45C.66D.91楚香凝解析：对于（A+B+C ） 10的展开式中的任何一项Ax× By× Cz，都有 x+y+z=10 ，其中x、y、 z 都是0 的；相当于把 10 个相同的苹果分给三个人，每人至少 0 个，插板法 C（ 12 2） =66 种，选 C（4）有10 颗糖，如果每天至少吃一颗（至多不限），吃完为止，问有多少种不同的吃法？A.144B.217C.512D.640楚香凝解析：解法一：若1 天吃完，只有1 种；若 2 天吃完，插板法有C（9 1）种；若3 天吃完，插板法

28、有 C（ 9 2）种 ，共 C（ 9 0） +C （ 9 1 ）+C （9 2 ） +C（ 9 9） =29=512种，选 C解法二：10 颗糖之间有9 个空，每个空都可以选择是否插板，对应的吃糖数就不同， 共 29=512种，选 C（ 5 ）有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如 257、 303369 、 1347 等等，这类数共有多少个？A.36B.45C.55D.66楚香凝解析：前两位固定，则第三位及之后的数都固定，首位 + 第二位9，补成a+b+c=9，其中 b 、 c 都可为 0，插板法C（ 10 2 ） =45 个，选B（ 6 ）

29、有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之差，直至不能再写为止，如 7523 、 9817 、 63303 等等，这类数共有多少个？A.45B.50C.54D.55楚香凝解析：从最后两位考虑，若个位和十位固定，则往前依次固定，个位成 a+b+c=9 ，其中 a、 b 、c 单独都可为0，插板法C（ 11 2）=55 ，去掉情况，满足题意的情况有55-1=54种，选 C补充：这类自然数中最大的为85321101+ 十位 9，补a、 b 同时为 0 的（7 ）4 位同学分五个苹果、1 个梨，每位同学至少分到一个水果，有多少种不同的分法？A.16 种B.24 种C.40 种D.

30、48 种楚香凝解析：先分梨有 C（ 4 1） =4 种，假设分给了甲；接下来把五个苹果分给甲乙丙丁，其中甲可以分 0 个，插板法 C（ 5 3 ）=10 种；共 4× 10=40 种，选 C（8 ）5 个相同的苹果和3 个相同的梨分给 4 个小朋友，每人至少分1 个水果，有多少种分配方式？A.210B.420C.630D.840楚香凝解析：解法一：先分梨，分类；（1 ）3 个梨分给同一个人，C（ 4 1） =4 种，假设都分给了甲；接下来5 个苹果分给甲乙丙丁，乙丙丁每人至少分1 个苹果，插板法 C（ 5 3 ） =10 种，共 4× 10=40 种；（2 ）3 个梨分给了

31、两个人，C（ 4 2 ）× 2=12 种，假设分给甲2 个、乙 1 个；接下来 5 个苹果分给甲乙丙丁，丙丁每人至少分1 个苹果，插板法 C（ 6 3） =20 种，共 12× 20=240 种；（3 ）3 个梨分给了两个人，C（ 4 3） =4 种，假设分给甲乙丙各1 个；接下来 5 个苹果分给甲乙丙丁，丁至少分1个苹果，插板法 C（7 3） =35 种，共4× 35=140 种；共 40+240+140=420 种，选 B解法二：直接容斥，苹果和梨分别插板 - 至少 1 人没分到 + 至少 2 人没分到 - 至少 3 人没分到=C（ 8 3）× C（

32、6 3 ）-C （4 1）× C（7 2 ）× C（5 2）+C（ 4 2 ）× C（6 1）× C（4 1）-C （ 4 3） =420 种，选 B（9 ）有一个两位数A，将其个位数字与十位数字互换得到与之不同的两位数B，再将B 相加，结果仍为一个两位数。问这样的两位数A 有多少个？【粉笔模考】A 和A.9B.32C.36D.64楚香凝解析： ab+ba=11 （ a+b ），则10 个名额分给百十个位，每位至少分（11 、 22、 33、 44），满足题意的有2 a+b 10，补上百位、用百位去凑满10；相当于把1 个名额，插板法C（ 9 2） =3

33、6 种，去掉 a=b 的四种36-4=32个，选 B（10 ）小明将一颗质地均匀的正六面体骰子，先后抛掷2 次，两次点数之和大于5 的概率是多少？【粉笔事业模考】A.1/6B.5/18C.5/6D.13/18楚香凝解析：总情况数有6× 6=36 种；不满足题意的情况数，两次点数和6，相当于6 个名额分给三个人，每个人至少分1 个，插板法 C（ 5 2）=10 种，概率 =（ 36-10 ）/36=13/18 ，选 D插板法技巧应用之取球问题（1 ）箱子里有大小相同的3 种颜色玻璃珠各若干颗，每次从中摸出3 颗为一组，问至少要摸出多少组，才能保证至少有2 组玻璃珠的颜色组合是一样的？【

34、联考 2014 】A.11B.15C.18D.21楚香凝解析：相当于三个名额分给3 种颜色，每种颜色至少分0个，插板法 C（5 2） =10种，抽屉原理， 10+1=11种，选 A刚学插板法时应用起来不熟练，为了更加便于记忆，特做如下总结：三种颜色的球各一颗，取三颗，有C（ 3 ，3）=1 种取法。三种颜色的球足够多，取三颗，【取三补二】，有 C（ 3+2 ， 3） =C （ 5 3） =10 种取法。n 种颜色的球足够多，取m 颗，【取 m 补 m-1 】，有 C（ n+m-1 ，m ）种取法。（2）从5 个相同的苹果、6 个相同的橘子、7 个相同的香蕉中取4 个水果， 有多少种取法？A.1

35、5B.20C.35D.3060楚香凝解析：相当于四个名额分给种，选 A3 种水果，每种水果至少分0 个，插板法C（6 2） =15（3 ）一个袋里有四种不同颜色的小球若干个，每次摸出两个，要保证有是一样的，至少要摸多少次？10 次所摸的结果A.55B.87C.41D.91楚香凝解析：解法一：相当于两个名额分给4 种颜色，每种颜色至少分0 个，插板法C（ 5 3） =10 种，抽屉原理，每种情况分9 次，此时刚好不满足题意，再分一次必然满足，10× 9+1=91次，选 D解法二：四种颜色的球足够多、取两个，取2 补 1，C（ 4+1 ， 2）=10 种，抽屉原理，每种情况分 9 次，此

36、时刚好不满足题意，再分一次必然满足，10× 9+1=91次，选 D（4 ）有四种颜色的文件夹若干，每人可任取1 2个文件夹，如果要保证有3 人取到完全一样的文件夹，则至少应该有（）人去取。【天津 2017 】A.18B.20C.21D.29楚香凝解析：解法一：四种颜色的文件夹足够多，取1 个有 C（ 4 1 ） =4 种、取两个有 C（ 4+1 ， 2） =10种，所以共 4+14=14 种情况，每种情况先分2 个人，此时刚好不满足题意，再分一个人必然满足， 14× 2+1=29 次，选 D解法二： 补上第五种颜色，不论前四种颜色总共取了几个，用第五种去凑满2 个（注意取的

37、2 个不能都是第五种颜色） ；相当于五种颜色的文件夹足够多，取 2 个有 C（ 5+1 ，2 ）-1=14种情况，每种情况先分2 个人，此时刚好不满足题意，再分一个人必然满足，14× 2+1=29次，选 D（5 ）某公司年终晚会有一节目：A、 B、 C 三种盒子各有若干，盒子装有各种小奖品。每人最多拿 3 个，也可以不拿。321 名员工全部选择后，主持人将所拿盒子数量与种类完全相同的员工分为一组。则人数最多的一组至少有多少名员工：【粉笔模考】A.16B.17C.29D.28楚香凝解析：补上D 种盒子，不论前三种盒子总共取了几个，用D 种盒子去凑满3 个；相当于四种盒子足够多，从中取三

38、个，有C（ 4+2 ， 3） =20 种；抽屉原理，321÷ 20=161，人数最多的组至少有16+1=17名员工，选B（ 6 ）袋中有红、白、黑三种颜色的球各 10 个，从中抽出 16 个，要求三种颜色的球都有，有多少种不同的抽法？A.35B.45C.75D.105楚香凝解析： 16 个名额分到红白黑三个箱子，每个箱子至少一个、至多 10 个，插板法 C（152）=105 种；去掉有箱子多于10 个的情况 : 先选一个箱子C（ 31）=3 ，提前分 10 个给这个箱子，剩下六个名额分三个箱子，每个箱子至少一个，插板法C（ 5 2） =10 种；满足题意的方法有105- 3× 10=75 种，选 D插板法技巧应用之数码和篇（1 ）在 1 999 这 999 个数中，数码和是9 的数有多少个？（比如36，数码和3+6=9 ）A.36B.45C.55D.66楚香凝解析：相当于把