求展开式系数的类型及最大最小项(共6页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上求展开式系数的六种常见类型求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。一 、型例1的展开式中项的系数是（ ）（A）840 （B）840 （C）210 （D）210解析：在通项公式中令=4，即得的展开式中项的系数为=840,故选A。 例2展开式中的系数为 。解析：通项公式 ，由题意得，则，故所求的系数为。评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定的值。二 、型例3的展开式中整理后的常数项等于 .解析；的通项公式为,令，则,这时得的展开式中的常数项为=32, 的通项

2、公式为,令，则,这时得的展开式中的常数项为=70，故的展开式中常数项等于。例4在的展开式中，含的项的系数是（ ）(A) (B) 5 (C) (D) 10解析：中的系数, 中的系数为,故的展开式中的系数为,故选D 。评注：求型如的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。三 、型例5的展开式中项的系数是 。解析：的展开式中、的系数分别为和，故的展开式中项的系数为+=1008。例6的展开式中的系数是（ ） （A ） （B ） （C ） （D） 略解：的展开式中、的系数分别为和,故 展开式中的系数为,故选B。评注：求型如的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，

3、由多项式乘法求得所求项的系数。四 、型例7的展开式中整理后的常数项为 .解法一：=，通项公式, 的通项公式为,令，则，可得或或。当时，得展开式中项为；当时,，得展开式中项为；当时，得展开式中项为。综上，的展开式中整理后的常数项为。解法二：=，对于二项式中，要得到常数项需，即。所以，常数项为。解法三：是5个三项式相乘。常数项的产生有三种情况：在5个相乘的三项式中，从其中一个取，从另外4个三项式中选一个取，从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可得；从其中两个取，从另外3个三项式中选两个取，从剩余的1个三项式中取常数项相乘，可得；从5个相乘的三项式中取常数项相乘，可得=。综上，的展开式中整理后的常数项

4、为。评注：解法一、解法二的共同特点是：利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决。解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法原理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项。五 、 型例8在的展开式中，项的系数是。（用数字作答）解析：由题意得项的系数为。例9在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展开式中，含x3的项的系数是( )(A) 74 (B) 121 (C) 74 (D) 121解析：(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8=中的系数为，中的系数为,126+5= 121,故选D。评注：例8的解法是先求出各展开式中项的系数，然后再相加；例9则从整体出发，把原式看作

5、首相为(1x)，公比为(1x)的等比数列的前4项和，用等比数列求和公式减少项数，简化了运算。例8和例9的解答方法是求的展开式中某特定项系数的两种常规方法。六 、求展开式中若干项系数的和或差例10若，则。(用数字作答)解析：在中，令，则，令，则故=2003+。例11，则的值为（ ）(A) 1 (B) 1 (C) 0 (D) 2解析：在中，令，可得，令，可得所以，=1,故选A。评注：求展开式中若干项系数的和或差常采用“赋值法”。赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的，它普遍适用于恒等式，是一种重要的解题方法。实际上赋值法所体现的是从一般到特殊

6、的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显，巧赋特值可减少运算量。二项式中“最大项、最小项”的求解策略二项式定理中涉及最大项、最小项的问题比较多，问题的给出都是满足一定条件的指定项或特殊项，通常都可以利用通项来解决在求解中，要注意系数的符号对求解的影响及项的系数与二项式系数的异同二项式系数最大项问题例已知的展开式中，第项、第项、第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项分析：要注意展开式中二项式系数与项的系数的区别，根据条件先确定的值，再根据二项式系数的性质求解解：的展开式中，第项、第项、第项的二项式系数分别为由题意得，即或14当=7时，展开式中二项式系数

7、最大的项为和，当14时，展开式中二项式系数最大的项为，评注：求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，为奇数时中间两项的二项式系数最大，为偶数时中间一项的二项式系数最大二项展开式中系数最大项问题例已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项解：末三项的二项式系数分别为，由题设，得，即，舍去），设项，项和的系数分别为，和，则设最大，则可知11或=12展开式中系数最大的项是例求展开式中系数最大的项解：展开式共有项，系数最大的项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，又因括号内的两项中后项系数的绝对值大于前项系数绝对值，故系数最大的项必在中间或偏右，故只需比较和两项系数大小即可，所以系数最大的项是第五项，评注：求二项展开式中系数最大的项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得，也可通过对问题的分析和推理，使解题过程得到简化二项展开式中指定项系数最大（小）项问题例4已知的展开式中含项的系数为11，求展开式中项系数的最小值解：，3时，上式有最小值22即展开式中项系数的最小值是22.评注：对于此类问题，可利用二项式定理