2022届高三数学一轮复习（原卷版）第六章 6.5数学归纳法-学生版

1、 第1课时进门测1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用()(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项()(5)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.()(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n03.()2、用数学归纳法证明1aa2an1 (a1，nn*)，在验证n1时，等式左边的项是()a1 b1ac1aa2 d

2、1aa2a33、已知n为正偶数，用数学归纳法证明12()时，若已假设nk(k2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()ank1时等式成立bnk2时等式成立cn2k2时等式成立dn2(k2)时等式成立4、在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n等于()a1 b2c3 d05、已知an满足an1anan1，nn*，且a12，则a2_，a3_，a4_，猜想an_.作业检查无第2课时阶段训练题型一用数学归纳法证明等式例1设f(n)1(nn*)求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nn*)【同步练习】1、用数学归纳法证明：(nn*)题型二用数学归纳法证明

3、不等式例2等比数列an的前n项和为sn，已知对任意的nn*，点(n，sn)均在函数ybxr(b>0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nn*)，证明：对任意的nn*，不等式···>成立【同步练习】1、若函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过点p(4,5)、qn(xn，f(xn)的直线pqn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2xn<xn1<3.第3课时阶段重难点梳理数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n

4、取第一个值n0(n0n*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kn*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立重点题型训练题型三归纳猜想证明命题点1与函数有关的证明问题例3已知数列xn满足x1，xn1，nn*.猜想数列x2n的单调性，并证明你的结论命题点2与数列有关的证明问题例4在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nn*，>0)(1)求a2，a3，a4；(2)猜想an 的通项公式，并加以证明命题点3存在性问题的证明例5设a11，an1b(nn*)(1)若b1，求a2，a3及数列an的通项公式；(2)若b

5、1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n1对所有nn*成立？证明你的结论【同步练习】1、已知集合x1,2,3，yn1,2,3，n(nn*)，设sn(a，b)|a整除b或b整除a，ax，byn，令f(n)表示集合sn所含元素的个数(1)写出f(6)的值；(2)当n6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明例6 数列an满足sn2nan(nn*)(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)证明(1)中的猜想思导总结一、用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证nn0时等式成立(2)由nk证明nk1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标(3)掌

6、握恒等变形常用的方法：因式分解；添拆项；配方法二、数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法(2)关键：由nk时命题成立证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化三、思归纳猜想证明问题的一般步骤第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论；第二步：验证一般结论对第一个值n0(n0n*)成立；第三步：假设nk(kn0，kn*)时结论成立，证明当nk1时结论也成立；第四步：下结论，由上

7、可知结论对任意nn0，nn*成立.作业布置1如果命题p(n)对nk(kn*)成立，则它对nk2也成立若p(n)对n2也成立，则下列结论正确的是()ap(n)对所有正整数n都成立bp(n)对所有正偶数n都成立cp(n)对所有正奇数n都成立dp(n)对所有自然数n都成立2用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”，在第二步时，正确的证法是()a假设nk(kn*)，证明nk1时命题成立b假设nk(k是正奇数)，证明nk1时命题成立c假设n2k1(kn*)，证明nk1时命题成立d假设nk(k是正奇数)，证明nk2时命题成立3设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k

8、)k1成立时，总能推出f(k1)k2成立，那么下列命题总成立的是()a若f(1)<2成立，则f(10)<11成立b若f(3)4成立，则当k1时，均有f(k)k1成立c若f(2)<3成立，则f(1)2成立d若f(4)5成立，则当k4时，均有f(k)k1成立4在数列an中，a1，且snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()a. b.c. d.5利用数学归纳法证明“(n1)(n2)··(nn)2n×1×3××(2n1)，nn*”时，从“nk”变到“nk1”时，左边应增乘的因式是()a2k1 b2(

9、2k1)c. d.6设数列an的前n项和为sn，且对任意的自然数n都有(sn1)2ansn，通过计算s1，s2，s3，猜想sn_.7设s112，s2122212，sn122232(n1)2n2(n1)22212，用数学归纳法证明sn时，第二步从“k”到“k1”应添加的项为_8设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)_；当n>4时，f(n)_.(用n表示)9在数列bn中，b12，bn1(nn*)求b2，b3，试判定bn与的大小，并加以证明10数列xn满足x10，xn1xxnc(nn*)(1)证明：xn是递减数列的充要条件是c<0；(2)若0<c，证明：数列xn是递增数列11已知函数f0(x)(x>0)，设fn(x)为fn1(x)的导数，nn*.(1)求2f1()f2()的值；(2)证明：对任意的nn*，等式*12.设函数