2022届高三数学一轮复习（原卷版）第二节 第3课时 难点专攻夺高分——函数性质的综合应用 教案

1、1第第 3 课时课时难点专攻夺高分难点专攻夺高分函数性质的综合应用函数性质的综合应用题型一题型一函数性质的交汇应用问题函数性质的交汇应用问题函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主数值为主考法考法(一一)单调性与奇偶性相结合单调性与奇偶性相结合例例 1(2021石家庄模拟石家庄模拟)已知偶函数已知偶函数 fx2，当，当

2、 x2，2 时，时，f(x)x13sin x，设，设 af(1)，bf(2)，cf(3)，则，则()aabcbbcaccbadcab解析解析当当 x2，2 时时，ysin x 单调递增单调递增， yx13也为增函数也为增函数，函数函数 f(x)x13sinx 也为增函数也为增函数 函数函数 fx2 为偶函数为偶函数， fx2 fx2 ， f(x)的图象关于的图象关于 x2对称对称，f(2)f(2)，f(3)f(3)，03122，f(3)f(1)f(2)，即，即 ca0b减函数且减函数且 f(x)0d增函数且增函数且 f(x)0，又函数，又函数 f(x)为为奇函数奇函数，所以所以 f(x)在区间

3、在区间12，0上也单调递增上也单调递增，且且 f(x)0.由由 fx32 f(x)知知，函数的周期函数的周期为为32，所以在区间，所以在区间1，32 上，函数上，函数 f(x)单调递增且单调递增且 f(x)0.答案答案d方法技巧方法技巧对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律因体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区

4、间上的单调性，即实现区此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题间的转换，再利用单调性解决相关问题3针对训练针对训练1 设设 e 是自然对数的底数是自然对数的底数， 函数函数 f(x)是周期为是周期为 4 的奇函数的奇函数， 且当且当 0 x2 时时， f(x)ln x，则，则 e73f的值为的值为()a.35b.34c.43d.53解析：解析：选选 d因为函数以因为函数以 4 为周期，为周期，所以所以 f73 f(734)f53 f53 ln53，所以所以 e73fe5ln353.故选故选 d.2已知函数已知函数 f(x)

5、是是(，)上的奇函数上的奇函数，且且 f(x)的图象关于的图象关于 x1 对称对称，当当 x0,1时时，f(x)2x1，则，则 f(2 020)f(2 021)的值为的值为()a2b1c0d1解析：解析：选选 df(x)的图象关于的图象关于 x1 对称，对称，f(2x)f(x)函数函数 f(x)为为(，)上的奇函数，上的奇函数，f(x)f(x)，f(x)f(2x)f(x)，f(4x)f(2x)f(x)，周期周期 t4.x0,1时，时，f(x)2x1，f(1)211211.又函数又函数 f(x)是是(，)上的奇函数，上的奇函数，f(0)0，f(2 020)f(2 021)f(0)f(1)011.

6、3定义在定义在 r 上的奇函数上的奇函数 f(x)满足满足 f(x2)f(x)，且当且当 x0,1时时，f(x)2xcos x，则下则下列结论正确的是列结论正确的是()af2 0203f2 0192f(2 018)bf(2 018)f2 0203f2 0192cf(2 018)f2 0192f2 0203df2 0192f2 0203f(2 018)解析：解析：选选 cf(x)是奇函数，是奇函数，f(x2)f(x)f(x)，4f(x4)f(x2)f(x)，f(x)的周期为的周期为 4，f(2 018)f(24504)f(2)f(0)，f2 0192f12 ，f2 0203f23 ，当当 x0,

7、1时时，f(x)2xcos x 单调递增，单调递增，f(0)f12 f23 ，f(2 018)f2 01920 时时，f(x)1x1x12x1x3，当且仅当当且仅当 x1x，即即 x1 时取等号时取等号，函数函数 f(x)在在(0，)上的最小值为上的最小值为 3，故故 a 正确正确；函数函数 f(x)的定义域为的定义域为(，0)(0，)，f(1)1113，f(1)1111，f(1)f(1)且且 f(1)f(1)，函数函数 f(x)为非奇非偶函数，故为非奇非偶函数，故 b 错错误；根据函数的单调性，知函数误；根据函数的单调性，知函数 f(x)1x1x的单调递增区间为的单调递增区间为(，1)，(1

8、，)，故故 c 正确；由正确；由 c 知，函数知，函数 f(x)1x1x不是周期函数，故不是周期函数，故 d 正确正确课时跟踪检测课时跟踪检测一、综合练一、综合练练思维敏锐度练思维敏锐度1(2021济南模拟济南模拟)下列函数既是奇函数，又在下列函数既是奇函数，又在1，1上单调递增的是上单调递增的是()af(x)|sin x|bf(x)lnexexcf(x)12(exex)df(x)ln( x21x)解析：解析：选选 c对于对于 a，f(x)|sin x|为偶函数，不符合题意；为偶函数，不符合题意；对于对于 b，f(x)lnexex的定义域为的定义域为(e，e)，关于原点对称关于原点对称，有有

9、f(x)lnexexlnexexf(x)，为奇函数，为奇函数，设设 texex12exe，x(e，e)，在在(e，e)上为减函数上为减函数，而而 yln t 为增函数为增函数，则则 f(x)lnexex在在(e，e)上为减函数，不符合题意；上为减函数，不符合题意；对于对于 c，f(x)12(exex)，有有 f(x)12(exex)12(exex)f(x)，为奇函数为奇函数，且且 f(x)12(exex)0，则，则 f(x)在在 r 上为增函数，符合题意；上为增函数，符合题意；对于对于 d，f(x)ln( x21x)的定义域为的定义域为 r.f(x)ln( x21x)ln( x21x)f(x)

10、，为奇函数，为奇函数，设设 t x21x1x21x，易知，易知 t 在在 r 上为减函数，而上为减函数，而 yln t 为增函数，为增函数，则则 f(x)ln( x21x)在在 r 上为减函数，不符合题意故选上为减函数，不符合题意故选 c.2已知已知 f(x)是定义在是定义在2b,1b上的偶函数上的偶函数，且在且在2b,0上为增函数上为增函数，则则 f(x1)f(2x)的解的解6集为集为()a.1，23b.1，13c1,1d.13，1解析：解析：选选 bf(x)是定义在是定义在2b,1b上的偶函数，上的偶函数，2b1b0，b1，f(x)在在2b,0上为增函数上为增函数， 即函数即函数 f(x)

11、在在2,0上为增函数上为增函数， 函数函数 f(x)在在(0,2上为减函数上为减函数，则由则由 f(x1)f(2x)，得，得|x1|2x|，即，即(x1)24x2，解得，解得1x13.又又函数函数 f(x)的定义域为的定义域为2,2，2x12，22x2，解得解得1x3，1x1.综上综上，所求解所求解集为集为1，13 .3 已知函数已知函数 f(x)在在0,4上是增函数上是增函数， 且函数且函数 yf(x4)是偶函数是偶函数， 则下列结论正确的是则下列结论正确的是()af(2)f(4)f(5)bf(2)f(5)f(4)cf(5)f(4)f(2)df(4)f(2)f(5)解析解析： 选选 b因为函

12、数因为函数 yf(x4)是偶函数是偶函数， 所以函数所以函数 yf(x4)的图象关于直线的图象关于直线 x0 对称对称，所以函数所以函数 yf(x)的图象关于直线的图象关于直线 x4 对称，所以对称，所以 f(5)f(3)，又函数，又函数 yf(x)在在0,4上是增上是增函数，所以函数，所以 f(2)f(3)f(4)，即，即 f(2)f(5)x1f(x2)x2f(x1)， 则称函数则称函数 yf(x)为为“h 函数函数”， 下列函数为下列函数为 h 函数的函数的是是()af(x)sin xbf(x)excf(x)x33xdf(x)x|x|解析：解析：选选 d根据题意，对于任意不相等的实数根据题

13、意，对于任意不相等的实数 x1，x2，x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)恒恒成立，成立，则有则有(x1x2)f(x1)f(x2)0 恒成立，即函数恒成立，即函数 f(x)是定义在是定义在 r 上的增函数，上的增函数，故故“h 函数函数”为奇函数且在为奇函数且在 r 上为增函数上为增函数据此依次分析选项：据此依次分析选项：对于对于 a，f(x)sin x，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于对于 b，f(x)ex，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于对于 c，f(x)x3

14、3x，为奇函数，但在，为奇函数，但在 r 上不是增函数，不符合题意；上不是增函数，不符合题意；对于对于 d，f(x)x|x|x2，x0，x2，x0为奇函数且在为奇函数且在 r 上为增函数，符合题意，故选上为增函数，符合题意，故选 d.5(多选多选)已知已知 f(x)是定义在是定义在 r 上的偶函数上的偶函数，其图象关于点其图象关于点(1,0)对称对称，给出下列关于给出下列关于 f(x)的结的结论，其中正确的结论是论，其中正确的结论是()7af(x)是周期函数是周期函数bf(x)满足满足 f(x)f(4x)cf(x)在在(0,2)上单调递减上单调递减df(x)cosx2是满足条件的一个函数是满足

15、条件的一个函数解析：解析：选选 abd因为因为 f(x)为偶函数，所以为偶函数，所以 f(x)f(x)，因为，因为 f(x)的图象关于点的图象关于点(1,0)对称，对称，则则 f(x)f(2x)，故，故 f(x2)f(x)，故有，故有 f(x4)f(x2)f(x)，即，即 f(x)是以是以 4 为为周期的周期函数，故周期的周期函数，故 a 正确；可得正确；可得 f(x)f(x)f(x4)，把，把 x 替换成替换成x 可得可得 f(x)f(4x)，故，故 b 正确；正确；f(x)cosx2是定义在是定义在 r 上的偶函数，上的偶函数，(1,0)是其图象的一个对称中心，可是其图象的一个对称中心，可

16、得得d 正确；正确；f(x)cosx2满足题意，但满足题意，但 f(x)在在(0,2)上单调递增，故上单调递增，故 c 错误错误6(多选多选)设函数设函数 f(x)是定义在是定义在 r 上的函数，满足上的函数，满足 f(x)f(x)0，且对任意的，且对任意的 xr，恒，恒有有f(x2)f(2x)，已知当，已知当 x0，2时，时，f(x)122x，则有，则有()a函数的最大值是函数的最大值是 1，最小值是，最小值是14b函数函数 f(x)是周期函数，且周期为是周期函数，且周期为 2c函数函数 f(x)在在2，4上递减，在上递减，在4，6上递增上递增d当当 x2，4时，时，f(x)122x解析：解

17、析：选选 ac函数函数 f(x)满足满足 f(x)f(x)0，即，即 f(x)f(x)，函数函数 f(x)是偶函数是偶函数f(x2)f(2x)f(x2)，函数函数 f(x)是周期为是周期为 4 的周期函数，的周期函数，b 错误；错误；x0，2时，时，f(x)122x，x0，2时，时，f(x)是增函数，是增函数，f(x)maxf(2)1，f(x)minf(0)14.根据函数根据函数 f(x)是偶函数可知当是偶函数可知当 x2，2时时，最大值为最大值为 1，最小值为最小值为14，由周期性知当由周期性知当 xr时，最大值为时，最大值为 1，最小值为，最小值为14，a 正确；正确；又又x0，2时时，f

18、(x)是增函数是增函数，x2，0时时，f(x)是减函数是减函数，由由 t4 知知 f(x)在在2，4上上递减，在递减，在4，6上递增，上递增，c 正确；正确；令令 x2，0，则，则x0，2，f(x)122xf(x)，f(x4)122x412x2f(x)，8x2，4时，时，f(x)12x2，d 错误故选错误故选 a、c.7 已知已知 f(x)是定义在是定义在 r 上的偶函数上的偶函数， 且且 f(x4)f(x2) 若当若当 x3,0时时， f(x)6x，则，则 f(919)_.解析：解析：f(x4)f(x2)，f(x6)f(x)，f(x)的周期为的周期为 6，91915361，f(919)f(1

19、)又又 f(x)为偶函数，为偶函数，f(919)f(1)f(1)6.答案：答案：68(2021衡水中学模拟衡水中学模拟)已知函数已知函数 f(x)ex1ex2sin x，其中其中 e 为自然对数的底数为自然对数的底数，若若 f(2a2)f(a3)f(0)0，则实数，则实数 a 的取值范围为的取值范围为_解析：解析：因为因为 f(0)0，f(x)exex2cos x，exex2，而，而 2cos x2，所以，所以 f(x)0，所以函数所以函数 yf(x)是单调递增函数又是单调递增函数又 f(x)f(x)，即函数，即函数 f(x)是奇函数，所以原不等式是奇函数，所以原不等式可化为可化为 f(2a2

20、)f(a3)f(3a)，则，则 2a23a，即，即 2a2a30，解得，解得32a0 时，时，f(x)1.(1)求求 f(0)的值；的值；(2)证明：证明：f(x)在在(，)上是增函数；上是增函数；(3)求不等式求不等式 f(x2x)1f 2x4 的解集的解集解：解：(1)令令 a1，b0，则，则 f(1)f(10)f(1)f(0)，f(1)0，f(0)1.(2)证明：当证明：当 x0.令令 ax，bx，则则 f(x)f(x)f(xx)f(0)1，由由 f(x)0 得得 f(x)0，注意到注意到 f(0)10，对于任意实数对于任意实数 x，f(x)0.任取任取 x1，x2r，且，且 x10，f

21、(x2x1)1，f(x2)fx1(x2x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)，函数函数 yf(x)在在(，)上是增函数上是增函数(3)1f 2x4 f 0 f 2x4 f(2x4)，f(x2x)1f 2x4 f(2x4)，由由(2)可得可得 x2x2x4，解得解得4x1，原不等式的解集是原不等式的解集是(4,1)12 已知函数已知函数 f(x)对任意对任意 xr 满足满足 f(x)f(x)0， f(x1)f(x1)， 若当若当 x0,1)时时， f(x)axb(a0 且且 a1)，且，且 f32 12.(1)求实数求实数 a，b 的值；的值；(2)求函数求函数 g(x)f2(x)f(x)的值

22、域的值域解：解：(1)因为因为 f(x)f(x)0，所以所以 f(x)f(x)，即，即 f(x)是奇函数是奇函数10因为因为 f(x1)f(x1)，所以，所以 f(x2)f(x)，即函数即函数 f(x)是周期为是周期为 2 的周期函数，的周期函数，所以所以 f(0)0，即，即 b1.又又 f32 f12 f12 1 a12，解得，解得 a14.(2)当当 x0,1)时，时，f(x)axb14x134，0，由由 f(x)为奇函数知，当为奇函数知，当 x(1,0)时，时，f(x)0，34 ，又因为又因为 f(x)是周期为是周期为 2 的周期函数，的周期函数，所以当所以当 xr 时，时，f(x)34

23、，34 ，设设 tf(x)34，34 ，所以所以 g(x)f2(x)f(x)t2tt12214，即即 yt1221414，2116 .故函数故函数 g(x)f2(x)f(x)的值域为的值域为14，2116 .二、自选练二、自选练练高考区分度练高考区分度1(多选多选)(2021衡阳模拟衡阳模拟)若函数若函数 f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数优美函数”：(1)xr，都有，都有 f(x)f(x)0；(2)x1，x2r，且，且 x1x2，都有，都有f x1 f x2 x1x2f(2x1)成立的成立的 x 的取值范围为的取值范围为_解析解析： 由已知得函数由已知得函数 f(x)为偶函数为偶函数， 所以所以 f(x)f(|x|)， 由由 f(x)f(2x1)， 可得可得 f(|x|)f(|2