北京市东城区2015届高三上学期期末考试数学(理)试题(已解析)

1、 东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测高三数学（理科） 学校_班级_姓名_考号_本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合， ，则（A） （B） （C） （D） 【答案】A【解析】，所以故答案为：A【考点】集合的运算【难度】 1（2）在复平面内，复数对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限【答案】A【解析】故答案为：A【考点】

2、复数综合运算【难度】1 （3）设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】，则或，所以是的必要不充分条件。故答案为：B【考点】充分条件与必要条件【难度】1（4）设等差数列的前项和为，若，则等于（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由等差数列的性质可得，所以故答案为：C【考点】否是开始输入 输出 结束等差数列【难度】1 （5）当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】；，所以输出故答案为：D【考点】算法和程序框图【难度】 2（6）已知函数若，则实数的取值范

3、围是（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】函数的图像如图所示，所以由图象可得的取值范围是故答案为：D【考点】函数图像【难度】 2（7）在空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标为分别为，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为 （A） （B） （C） （D） 【答案】A【解析】设，。则此四面体如图（1）所示，在的投影如图（2）所示，其中是在平面的投影，是在平面的投影，是在平面的投影，在平面的投影是，并且时实线，在平面的投影是，且是虚线，如图：故答案为：A【考点】空间几何体的表面积与体积【难度】 2（8）已知圆，直线，点在直线上若存在圆上的点，使得（为坐标原点），

4、则的取值范围是（A） （B） （C） （D） 【答案】B【解析】计算知，直线与圆相离，过直线上一点作圆的两条切线，记该点对圆的张角为，则圆上存在点，使得由此知只需在直线上寻找对圆的张角等于的两点，则线段即时符合题意的点所形成的轨迹。事实上，张角等于时，点与圆心及切点构成的四边形为正方形，记，则，解得或故答案为：B【考点】直线与圆的位置关系【难度】 3第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）若抛物线的焦点到其准线的距离为，则该抛物线的方程为 【答案】【解析】抛物线焦点为，准线方程为，他们之间的距离为，根据题意，所以抛物线方程为故答案为：【考点】抛物线【难度

5、】1 （10）若实数满足 则的最大值为_【答案】【解析】作出可行域如图：目标函数变形为，此函数纵截距越小，值越大，当其经过直线和直线的交点时，取最大值，此时故答案为：【考点】线性规划【难度】 2（11）在中，则 ；的面积为_【答案】 【解析】由余弦定理可得，代入题中数据得，化简得，解得，（舍去），所以，故答案为： 【考点】解斜三角形【难度】 2（12）已知向量，不共线，若（）（），则实数_【答案】【解析】因为，不共线，所以要使，只需，解得故答案为：【考点】平面向量的线性运算【难度】 2（13）已知函数是上的奇函数，且为偶函数若，则 【答案】【解析】因为为偶函数，所以，因为是奇函数，所以，由可得

6、：用替换可得，用替换可得，所以，。因为是奇函数，所以，而，所以故答案为：【考点】函数综合【难度】 3（14）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形,，分别为线段上的点若，则三棱锥体积的最小值为 .【答案】【解析】由题意知过点作于点，如图：易知当取最小值时，一定在点两边，不妨设，由知，则且。所以当且仅当是取到等号。其他解法：于是关键为求的最小值。而为的外接圆的直径，所以所以的最小值为故答案为：【考点】立体几何综合【难度】 3三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）已知函数部分图象如图所示（）求的最小正周期及解析式；（）将函数的图象向右平移个单

7、位长度得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值【答案】见解析【解析】解：（）由图可得， 所以当时，可得，因为，所以 所以的解析式为 （）由（）知，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，所以 因为，所以当，即时，有最大值，最大值为；当，即时，有最小值，最小值为 【考点】三角函数综合【难度】3（16）（本小题共13分）已知数列是等差数列，满足，数列是公比为等比数列，且（）求数列和的通项公式；（）求数列的前项和【答案】见解析【解析】解：（）设等差数列的公差为由，得，解得 所以即的通项公式为：，由于是公比为的等比数列，且，所以从而 （）由（）知数列的前项和为，数列的前项和为所以数列的前项和【

8、考点】数列综合【难度】3（17）（本小题共14分）如图，平面，为的中点（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）证明：在线段上存在点，使得，并求的值【答案】见解析【解析】解：（）因为平面，平面，所以因为，所以平面又平面，所以因为，为的中点，所以又，所以平面 （）如图，在平面内，作，则两两互相垂直，建立空间直角坐标系则， ， 设平面的法向量为，则即令，则所以由（）可知为平面的法向量，设的夹角为，则因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 （）设是线段上一点，且即所以所以由，得因为，所以在线段上存在点，使得此时， 【考点】立体几何综合【难度】3（18）（本小题共14分）已知函数，其中（）当时，求曲线

9、在点处的切线方程；（）当时，求的单调区间；（）若存在，使得不等式成立，求的取值范围【答案】见解析【解析】解：函数的定义域为， （）当时，所以曲线在点处的切线方程为 （），当时，由，得，所以在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是当时，故的单调递增区间是当时，由，得，所以在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是10分（）由题意存在，使不等式成立，即存在，成立，只需大于或等于在区间上的最小值令，在区间上，为增函数；在区间上，为减函数所以在上的最小值为与中的较小者，所以在上的最小值为所以所以的取值范围为 【考点】导数的综合运用【难度】4（19）（本小题共13分

10、）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为，离心率为（）求椭圆的方程； （）设是椭圆长轴上的一个动点，过作斜率为的直线交椭圆于，两点，求证：为定值【答案】见解析【解析】解：（）设椭圆的标准方程为，由题意知解得所以椭圆的标准方程为 （）设（），由已知，直线的方程是由消得 （*） 设，则，是方程（*）的两个根，所以， 所以（定值） 所以为定值 【考点】圆锥曲线综合【难度】4（20）（本小题共13分）对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束.（）试问数列经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（）设数列，对数列进行“变换”，得到数列，若数列的各项之和为，求，的值；（）在（）的条件下，若数列再经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值，并说明理由.【答案】见解析【解析】解：（）数列：，不能结束 各数列依次为，；，；，；，；，；，从而以下重复出现，不会出现所有项均为的情形 （）因为，所以是中最大项