高考文科数学二轮专题突破训练：专题六 直线、圆、圆锥曲线 专题能力训练16

1、2222222专题能力训练 16 椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.(2018 全国,文 4)已知椭圆 C: A. B.=1 的一个焦点为(2,0),则 C 的离心率为( ) C. D.2.已知 F 是双曲线 C:x- =1 的右焦点,P 是 C 上一点,且 PF 与 x 轴垂直,点 A 的坐标是(1,3), APF的面积为( )A. B. C. D.3.已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C: =1(a>b>0)的左焦点,A,B 分别为 C 的左、右顶点,P 为 C 上一 点,且 PFx 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM

2、经过 OE 的中点,则 C 的离心率为( )A. B. C. D.4.已知双曲线 =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,点 A 在双曲线的渐近线上 OAF 是边长为 2 的等边 三角形(O 为原点),则双曲线的方程为( )A. =1 B. =1C. -y =1 D.x - =15.(2018 全国,文 11)已知 F ,F 是椭圆 C 的两个焦点,P 是 C 上的一点,若 PF PF ,且PF F =60°,1 2 1 2 2 1则 C 的离心率为( )A.1-C.6.设双曲线B.2-D. -1=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,过点 F 作与 x 轴垂直的

3、直线 l 交两渐近线于 A,B 两点,与双曲线的一个交点为 P,设 O 为坐标原点.若 为( )=m +n (m,nR),且 mn=,则该双曲线的离心率A.C.B.D.7. 已知双曲线 E: =1(a>0,b>0).矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上,AB,CD 的中点为 E 的两个焦点, 且 2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是 .8. 已知直线 l :x-y+5=0 和 l :x+4=0,抛物线 C:y =16x,P 是 C 上一动点,则点 P 到 l 与 l 距离之和的最1 2 1 2小值为 .9.如图,已知抛物线 C :y=x ,圆 C :x +(y-1) =1,过

4、点 P(t,0)(t>0)作不过原点 O 的直线 PA,PB 分别与抛1 2物线 C 和圆 C 相切,A,B 为切点.1 2(1) 求点 A,B 的坐标;(1) PAB 的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该 公共点为切点.222222222222 2222210.如图,动点 M 与两定点 A(-1,0),B(1,0)构 MAB,且直线 MA,MB 的斜率之积为 4,设动点 M 的轨迹为 C.(1)求轨迹 C 的方程;(2)设直线 y=x+m(m>0)与 y 轴相交于点 P,与轨迹 C 相交于点 Q,R,且|PQ|<

5、|PR|,求的取值范围.11.设椭圆 =1(a> )的右焦点为 F,右顶点为 A.已知 ,其中 O 为原点,e 为椭圆的 离心率.(1) 求椭圆的方程;(2) 设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上),垂直于 l 的直线与 l 交于点 M,与 y 轴交于点 H. 若 BFHF,且MOA=MAO,求直线 l 的斜率.二、思维提升训练12.(2018 全国,文 10)已知双曲线 C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到 C 的渐近线的距离为 ( )A. B.2 C. D.213.设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在

6、 C 上,|MF|=5.若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的 方程为( )A.y =4x 或 y =8x B.y =2x 或 y =8xC.y =4x 或 y =16x D.y =2x 或 y =16x14.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 -y =1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P,Q,其焦点是 F ,F ,则四边形 F PF Q 的面积是 .1 2 1 215. 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 =1(a>0,b>0)的右支与焦点为 F 的抛物线 x =2py(p>0)交 于 A,B 两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方

7、程为 .16. 已知圆 C:(x+1) +y =20,点 B(1,0),点 A 是圆 C 上的动点,线段 AB 的垂直平分线与线段 AC 交于点 P.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;1(2)设 M ,N 为抛物线 C :y=x 上的一动点,过点 N 作抛物线 C 的切线交曲线 C 于 P,Q 两点,求2 2 1 MPQ 面积的最大值.17.已知动点 C 是椭圆 : +y =1(a>1)上的任意一点,AB 是圆 G:x +(y-2) =的一条直径(A,B 是端点),的最大值是 .(1)求椭圆 的方程.(2)已知椭圆 的左、右焦点分别为点 F ,F ,过点 F 且与 x 轴不垂直的直线

8、 l 交椭圆 于 P,Q 两点.1 2 2在线段 OF 上是否存在点 M(m,0),使得以 MP,MQ 为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数 m 的 2取值范围;若不存在,请说明理由.2 222 2 222专题能力训练 16椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.C 解析 因为椭圆 C 的一个焦点为(2,0),所以其焦点在 x 轴上,c=2,所以 a -4=c ,所以 a =8,a=2,所以椭圆 C 的离心率 e= .2. D 解析 由 c =a +b =4,得 c=2,所以点 F 的坐标为(2,0).将 x=2 代入 x - =1,得 y=±3,所以 PF=3.又 点 A 的坐

9、标是(1,3),故 APF 的面积为×3×(2-1)=,故选 D.3. A 解析 由题意知,A(-a,0),B(a,0),根据对称性,不妨令 P 设 l:x=my-a,M直线 BM:y=-,E .(x-a).又直线 BM 经过 OE 的中点,e=,解得 a=3c. ,故选 A.4.D 解析 双曲线 =1(a>0,b>0)的右焦点为 F(c,0),点 A 在双曲线的渐近线上,且 OAF 是边 长为 2 的等边三角形,不妨设点 A 在渐近线 y=x 上,解得所以双曲线的方程为 x - =1.故选 D.5.D 解析 不妨设椭圆方程为=1(a>b>0),F

10、,F 分别为椭圆的左、右焦点,则|PF |+|PF |=2a.1 2 1 2F PF =90°,PF F =60°,2 1 2 1c+c=2a,即( +1)c=2a.e=-1.6.C 解析 在 y=±x 中令 x=c,得 A 当点 P 的坐标为时,由,B,在双曲线=m +n=1 中令 x=c 得 P ,.得由(舍去),222e= .同理,当点 P 的坐标为故该双曲线的离心率为 .时,e= .7. 2 解析 由题意不妨设 AB=3,则 BC=2.设 AB,CD 的中点分别为 M,N,如图, 则在 BMN 中,MN=2,故 BN=由双曲线的定义可得 2a=BN-BM=

11、 而 2c=MN=2,所以双曲线的离心率 e=.=1,=2.8.解析 在同一坐标系中画出直线 l ,l 和曲线 C 如图.1 2P 是 C 上任意一点,由抛物线的定义知,|PF|=d ,2d +d =d +|PF|,显然当 PFl ,1 2 1 1即 d +d =|FM|时,距离之和取到最小值. 1 2|FM|=,所求最小值为 .9.解 (1)由题意知直线 PA 的斜率存在,故可设直线 PA 的方程为 y=k(x-t),由 消去 y,整理得:x -4kx+4kt=0,由于直线 PA 与抛物线相切,得 k=t.因此,点 A 的坐标为(2t,t ).设圆 C 的圆心为 D(0,1),点 B 的坐标

12、为(x ,y ),由题意知:点 B,O 关于直线 PD 对称, 2 0 0故解得因此,点 B 的坐标为 (2)由(1)知|AP|=t·点 B 到直线 PA 的距离是 d=.和直线 PA 的方程 tx-y-t =0. .2 22 222222 2 22 2 2 222222PAB 的面积为 S(t),所以 S(t)= |AP|·d= .10.解 (1)设 M 的坐标为(x,y),当 x=-1 时,直线 MA 的斜率不存在; 当 x=1 时,直线 MB 的斜率不存在.于是 x1,且 x-1.此时,MA 的斜率为,MB 的斜率为.由题意,有 =4.整理,得 4x -y -4=0.

13、故动点 M 的轨迹 C 的方程为 4x -y -4=0(x±1).(2)由 消去 y,可得 3x -2mx-m -4=0.对于方程,其判别式 =(-2m) -4×3(-m-4)=16m2+48>0,而当 1 或-1 为方程的根时,m 的值为-1 或 1. 结合题设(m>0)可知,m>0,且 m1.设 Q,R 的坐标分别为(x ,y ),(x ,y ),Q Q R R则 x ,x 为方程的两根,Q R因为|PQ|<|PR|,所以|x |<|x |.Q R因为 x = ,x = Q R,且 Q,R 在同一条直线上,所以=1+ .此时>1,且2

14、,所以 1<1+ <3,且 1+所以 1<,<3,且.综上所述,的取值范围是.11.解 (1)设 F(c,0).由 ,即 又 a -c =b =3,所以 c =1,因此 a =4.,可得 a -c =3c ,所以,椭圆的方程为=1.(2)设直线 l 的斜率为 k(k0),则直线 l 的方程为 y=k(x-2).设 B(x ,y ),由方程组B B去 y,整理得(4k +3)x -16k x+16k -12=0.消解得 x=2,或 x= ,由题意得 x =B,从而 y = .B由(1)知,F(1,0),设 H(0,y ),有H=(-1,y ), H.由 BFHF,得=0,

15、所以=0,解得 y = H.因此直线 MH 的方程为 y=- x+ .22222 2 2 2 22222 2 3 4设 M(x ,y ),由方程组 M M+MAO|MA|=|MO|,即(x -2)M或 k= .所以,直线 l 的斜率为-.消去 y,解得 x = M,化简得 x =1,即M.在 MAO 中,MOA=1,解得 k=- ,二、思维提升训练12.D 解析 双曲线 C 的离心率为,e= ,即 c= a,a=b.其渐近线方程为 y=±x,则(4,0)到 C 的渐近线距离 d= =2 . 13.C 解析 设点 M 的坐标为(x ,y ),由抛物线的定义,得|MF|=x +=5,则

16、x =5-.0 0 0 014.2因为点 F 的坐标为,所以以 MF 为直径的圆的方程为(x-x )·0将 x=0,y=2 代入得 px +8-4y =0,0 0即-4y +8=0,解得 y =4.0 0由 =2px ,得 16=2p ,0解得 p=2 或 p=8.所以 C 的方程为 y=4x 或 y =16x.故选 C.解析 该双曲线的右准线方程为 x=+(y-y )y=0.0,两条渐近线方程为 y=± x,得PS=2,Q=2 .,又 c= ,所以 F (-1,0),F ( ,0),四边形 F PF Q 的面积 2 1 215.y=± x 解析 抛物线 x=2p

17、y 的焦点 F,准线方程为 y=-.设 A(x ,y ),B(x ,y ),则|AF|+|BF|=y + 1 1 2 2 1所以 y +y =p.1 2联立双曲线与抛物线方程得 消去 x,得 a y -2pb y+a b =0.所以 y +y =p,1 2所以.+y + =y +y +p=4|OF|=4· 2 1 2=2p.所以该双曲线的渐近线方程为 y=± x. 16.解 (1)由已知可得,点 P 满足|PB|+|PC|=|AC|=2所以动点 P 的轨迹 C 是一个椭圆,其中 2a=21>2=|BC|,2c=2.动点 P 的轨迹 C 的方程为1(2)设 N(t,t

18、),则 PQ 的方程为 y-t =2t(x-t)y=2tx-t .联立方程组=1.消去 y 整理,得(4+20t )x -20t x+5t -20=0, MPQ MPQ2 MPQ2222222有而|PQ|=由 S =S =.×|x -x |= ,点 M 到 PQ 的高为 h= , 1 2|PQ|h 代入化简,得,当且仅当 t =10 时,S 可取最大值17.解 (1)设点 C 的坐标为(x,y),则 +y=1.连接 CG,由可得=x +(y-2) -,又 G(0,2),=a(1-y )+(y-2) -=(-x,2-y),=-(a-1)y -4y+a+ ,其中y-1,1.因为 a>1,所以当 y= 取 y=-1,得-1,即 1<a3 时,有最大值-(a-1)+4+a+ ,与条件矛盾;当 y=>-1,即 a>3 时,的最大值是,由条件得,即 a2-7a+10=0,解得 a=5 或 a=2(舍去).综上所述,椭圆 的方程是+y =1.(2)设点 P(x ,y ),Q(x ,y ),PQ 的中点坐标为(x ,y ),则满足1 1 2 2 0 0=1, =1,两式相减,整理