(完整word版)20高考数学平面向量的解题技巧

1、第二讲 平面向量的解题技巧【命题趋向】由 2007 年高考题分析可知：1 这部分内容高考中所占分数一般在 2题目类型为一个选择或填空题， 一个与其他知识综合的解答题.3.考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主.【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主.透析高考试题，知命题热点为：1. 向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积.2. 平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义.3. 两非零向量平行、垂直的充要条件.4. 图形平移、线段的定比分点坐标公式.

2、5. 由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合， 综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关 问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等.6. 禾U用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转 化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题.【例题解析】1.向量的概念，向量的基本运算(1) 理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念(2) 掌握向量的加法和减法.(3) 掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件(4) 了解

3、平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.(5) 掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.(6)掌握平面两点间的距离公式例 1 ( 2007年北京卷理)已知 O是厶 ABC所在平面内iuu uuu uuir2OA OB OC 0，那么()uur uuruur uuruur uurA.AO ODB.AO 2ODC.AO 3OD命题意图：本题考查 能够结合图形进行向量计算的能力 .uuu uuu uur解：2OA OB OC故选 A.例 2.( 2006 年安徽卷)在丫ABCD中,AB a, ADi

4、 b,AN 3NC,皿为 BC 的中点，则 MN _(用ab表示)命题意图：本题主要考查向量的加法和减法，以及实数与向量的积.uur uuruuiruur r ruuuu r r山r r r解：由 AN 3NC 得 4AN 3AC=3(a b),AMa，所以 M3(；b)(；24例 3. (2006 年广东卷)如图 1 所示，D 是厶 ABC 的边 AB 上的中点，则向量CD()占八、D为uurD.2AOuuuUUU2OA2OD10 分左右.uuruuuuuruuiruuir uur2OA(DBOD)(DCOD) =0,DBuuLrOD.BC边中点，且UJILODuuirDC,uuur0, A

5、O11a丄b.1b)CSi(A)BC( B)BC1BA22命题意图：本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题r 43,4 3,解：设所求平面向量为C,由c5,5 或-5,5 时，c 1.例 5. （2006 年天津卷）设向量a与b的夹角为，且a（3,3），2b a （ 1,1），则 cos _命题意图：本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积，以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题解:设 b x,y，由 2b舌2 x,y 3,3 2x 3,2 y 31,1rb=()（C）BC命题意图：1 -BA2(D)BC 1BA本题主要考查向量的加法和减法运算能力解：CD CB

6、 BD BC1BA，故选A2例 4. （ 2006 年重庆卷）与向量a= I 12,2的夹解相等，且模为 1 的向量是（）（A）4,5(B)（C）乎343或4 35 55,5(D)2 21或2 2 1333 3c另一方面，当4,3时曲a,c花r4 3r r a cc5,5 时,cos a,cia c当故平面向量 c 与向量 a=71b2 2 7413252512 222271.4322 551 7的夹角相等.故选B.2 2后,b是不平行于x轴的单位向量，且arbrb7222126.（2006 年湖北卷）已知向量故选 B.（A）v3 12 2:本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积

7、(B)12 2(C)1 3/34 , 4(D)1,0命题意图 解题的能力,以及方程的思想x,y (xy），则依题意有X21,X3.y12,仝2例 7.设平面向量ITai、irbi2 a0.如果向量 u、U2、U，满足，且 a 顺时针旋转30o后与甘同向，其中i123，则()命题意图：本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念常规解法： uiau au 0，- 20.故把 2日上，分别按顺时针旋转 30 后与 b 重合，故 b30，应选 D.巧妙解法：令 01=0，则 02=03,由题意知U2=U3，从而排除B,C,同理排除A故选(D).点评：巧妙解法巧在取ui=0，使问题简单化.

8、本题也可通过画图，利用数形结合的方法来解决.2.平面向量与三角函数，解析几何等问题结合(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解(2) 解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大.例 8. (2007 年陕西卷理 17.)设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+si n2x,1),xR,且函数y=f(x)的图象经过点 一,2 ,4(I)求实数m的值；(

9、n)求函数f(x)的最小值及此时 x 的值的集合.解:(I)f (x) agom(1si n 2x) cos2x,由已知fn.m 1.nsinncos-2，得m 1422(n)由(I)得f (x)1 si n 2x cos2x 1.24当sin 2xn1时，f (x)的最小值为1,2,4由sin 2xn1，得x值的集合为x x kn3n,k Z48例 2. (2007 年陕西卷文 17)r t冗r oIrdIrdr oIrdWEr oLraor oLrd迦aw-cy时针旋转30o后与甘同向，其中i123，则()设函数f (x) a、b.其中向量a (m,cosx), b (1 sin x,1)

10、, x R,且 f ( )2.(I)求实数m的值；(n)求函数f (x)的最小值.解:(I)f (x) agom(1sin x)ncosx,fm 12nnsincos 2 22，得m1.n)由(I)得f(x)sin xcosx 1、.2 sin x 1,冗当sin x -1时,44f(x)的最小值为12.例 9. (2007 年湖北卷理 16)uur umruuuuur已知ABC的面积为3，且满足0ABgAC6，设AB和AC的夹角为(I )求的取值范围；(II )求函数f()2sin2n、.3cos2的最大4解：(I)设ABC中角A, B, C的对边分别为a, b, c,1n n则由一bcsi

11、n3,0bccos6，可得0cot1,-24 2卄、2nn)f ( ) 2sin 3 cos 21 cosn2.3cos2(1sin 2 )、3sin 23 cos22sin 27t，二 2 2t 1 ( 2t+1)= =1 )2t ( 2t+2) kDE 1,1. (x+2t 2,y+2t 1)=t(2t.1)=t(2xy=i ,22,4t 2)=( 2t,4t 2t).2即 x =4y./ t 0,1, x=2(1-2t) 1), =( 2,1)得2t)t 0+t ( 2)=2(1 2t)2t)t ( 1)+t1=(1 2t)2消去t得X=4y,Vt,1,x=4y, x 2,22t+2t

12、2,2t .x=2(1 2t)2y=(1 2t)设A(xi,yi) ,B(x2,y2).由AF=XFB,即得(一xi, 1-y) =X(X2,y2-1),xi= Xx21 -yi =X(y2 1)1212 2将式两边平方并把y1= 4x1,y2= 4x2代入得y1=Xy212解、式得y1=X,y2= ，且有X1X2=Xx2= 4Xy2= 4,X121抛物线方程为y= 4X，求导得y= x.所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是1 1y =尹心X1)+ y1, y=产以X2)+ y2,0n1 121 12即y= 2X1X 4X1,y= JX2X 4X2.X1X2解出两条切线的交点M的坐标为（厂

13、所以FM- AB= (x1x2, 2) -(X2x1,2X X2X1X2所以FM- AB为定值，其值为 0.(n)由(I)知在ABM中,FML AB因而1J1X+X+2=阪+其.因为 IAF、丨BF分别等于A、B到抛物线准线y= 1 的距离，所以1IAB= IAF+1BF=y1+y2+ 2 =X + + 2 =(寸X+X【专题训练与高考预测】-、选择题|FM(Xr2X2)2+ ( 2)2：x12+ 4x22+ 2x1x2 +4S=AE|FM.S-lABIFM=(阪 +盲)3，1由 ；X+ A2 知S4,且当X= 1 时,S取得最小值 4.1+y2 + 2X( 4) + 4=2切，则实数 的值为

14、1.已知a (2,3), b（4,x）,且 ab,则 x的值为2.A.3.A. 6B. 6C.83D.已知 ABC中, 点 D 在 BC 边上，且CD2DB,CD rABsAC,则S的值是（）B.C. 3D.把直线x 2y0按向量a（，2）平移后，所得直线与圆x2y2 2x 4y7相4.给出下列命题：ab=o,则a=o 或b=o.若e为单位向量且ae,则a=iae.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线.其中正确的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 35.在以下关于向量的命题中，不正确的是（）A. 若向量a=（x,y），向量b=（ y,x）（x、沪0），贝 Ua丄bB. 四边形ABCD是

15、菱形的充要条件是AB=DC，且 IAB|=|AD|C. 点G是厶ABC的重心，贝 UGA+GB+CG=06.若O为平行四边形ABCD勺中心，AB= 4&,= 6e2,则 3e2 2e1等于（）7. 将函数y=x+2 的图象按a= （6, 2）平移后，得到的新图象的解析式为（）A.y=x+10B.y=x 6 C.y=x+6 D.y=x108. 已知向量m=（a,b），向量mln且|m|=|n|,贝Un的坐标为A. （a,b）B.（ a,b）C.（b,a）D.（ b,a）9. 给出如下命题：命题（1）设e1、e2是平面内两个已知向量，则对于平面内任意向量a,都存在惟一的一对实数x、y，使a

16、=xe1+ye2成立；命题（2）若定义域为 R 的函数f（x）恒满 足丨f（ x） | = |f（x） | ,则f（x）或为奇函数，或为偶函数.则下述判断正确的是（）A. 命题（1） （2）均为假命题B. 命题（1） （2）均为真命题C. 命题（1）为真命题，命题（2）为假命题D. 命题（1）为假命题，命题（2）为真命题10.若|a+b|=|a-b|umruuuruuuOPuu OAAB(-tm-|AB|AC-tytr), |AC0,）.则 P 的轨迹定通过ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心12.若a2, 3,1,b2,0,3 , c 0,2,2,则a bc=()A.4B.15C.

17、7D.3_ 、填空题A. 39B. 13C. 21D. 393a-a-a=|a| .D. ABC中,-!- -AB和CA的夹角等于180AA.AOB.BOC.COD.DO?b=0 D.以上都不对2.已知a=( 4,2,x ),b= (2,1,3), 且a丄b，贝 U x =-3.向量G 3b) 7a 5b,a 4b 7a 2b，则a和b所夹角是_4.已知 A(1, 0, 0), B(0, 1, 0 ), C(0, 0, 1),点 D 满足条件：DB 丄 AC, DCLAB, AD=BC,则 D 的坐标为._5.设a,b是直线，是平面，a ,b，向量a!在a上，向量 在b上,ai1,1,1, b

18、i 3,4,0，贝 U ,所成二面角中较小的一个的大小为 _ .三、解答题1.ABC中，三个内角分别是 A B C,向量a(芒cosC,cos),当tan A tan B2 2 21 -时，求|a|.92. 在平行四边形 ABCD 中, A (1, 1),AB (6,0)，点 M 是线段 AB 的中点，线段 CM 与 BD 交于点P.uuur 一(1)若AD (3,5),求点 C 的坐标；(2)当| AB | | AD |时，求点 P 的轨迹.,F3作用于同丄点O 且处于平衡状态，已知F1,F2的大小分别为 1kg ,62kg ,F1、F2的夹角是 45 ，求F3的大小及F3与F1夹角的大小.

19、24. 已知a,b都是非零向量，且a+3b与 7a 5b垂直，a 4b与 7a 2b垂直，求a与b的夹 角.5. 设a=(1+cosa,sina),b=(1 cos卩,sin卩),c=(1,0),a (0,n)卩 (n,2n),a与c的夹角为01,b与c的夹角为02,且B1e2=，求 sin - .646. 已知平面向量a=(时3, 1),b=(-,).2 2(1)证明：a丄b；若存在实数k和t，使得x=a+(t2 3)b,y= ka+t b,且x丄y,试求函数关系式k=f(t);(3)根据(2)的结论，确定k=f(t)的单调区间.【参考答案】一、 选择题1.B 2 . D 3 . A4. A

20、A. a=0或 b=0B.|a|=|b| C. a11 . O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足1.已知|AB|3,|AC| 4,AB与AC的夹角为 60,贝y AB与ABAC的夹角余弦为3.平面内三个力F1,F25. 答案：C提示：若点6是厶ABC的重心，则有GA+GB+GC=0,而C的结论是GA+GB+CG=0,显然是不成立的，选 C.6. B 7.B 8.C 9.A 10. C 11. B 12 . D二、 填空题1.土2 . 2 3. 604 . (1, 1, 1 )或(, 1, 95 .arcco皤.133.解：由a 3b 7a 5b 0,a 4b

21、7a 2b 0,AC AD,即(x 7,y 1) (3x 9,3y 3) 0.,2 _ _ 2 ,，7a 30a b 8b 0,三、解答题1又 tan Ata nB，即9cosAcosB9sinAsin B cosAcosB.|a|2 9,故 |a| 口84又AC AD AB (3,5) (6,0) (9,5),即(xo1, yo1) (9,5).X。10, yo6. 即点 C (0, 6).(2)解一：设P(x,y)，则BP AP AB (x 1,y 1) (6,0) (x 7,y 1).AC AM MC23MP11 -AB 3(APAB)223AP AB (3(x1),3(y1) (6,0

22、)r2解得a.2 .2b,b2acos a,b4.解：设D(x, y, z).则BD (x, y1,z),CD x, y,z 1 ,AD(x-1, y, zAC(-1,0, 1),AB(-1,1,0),BC(0, -1, 1)又 DB 丄 AC -x+z=0,DC 丄 AB-x+y=0,AD=BC12y2z22,联立解得 x=y=z=1或 x=y=z=1所以 D 点为(1 , 1, 1)3或(3,3,3。有7a216a b1-|a |2(J cos?)2 22cos2A 252C2| a | cos cos425 1 cos(A B)41A B 5 . sin 241 cos(A B)2A B

23、cos 一2(9 4 cosAcosB81(9 9sin Asin B84sin Asin BcosAcos B).2A B219 4cos(A B) 5cos(A 85cosAcosB 5sinAsin B)B)sin Asi nB 192.解：（1）设点 C 坐标为（x0, y0）,oAC AD,即(x 7,y 1) (3x 9,3y 3) 0.(3x 9,3y3).1 AB| |AD|.-ABCD为菱形.(x 7)(3x 9) (y 1)(3y 3)02 2x y 10 x 2y 220（y 1）.故点 P 的轨迹是以（5, 1 ）为圆心，2 为半圆去掉与直线y 1的两个交点D 的轨迹方程为(x 1)2(y 1)236 (y 1)._.1M 为 AB 中点，P分BD的比为一 2设P(x, y), B(7,1), D(3x 14,3y 2).整理得(x 5)2(y 1)24 (y 1).3.设F1与F2的合力为F，则|F|=|F3|./ F1OF2=45 / FFQ=135 .在厶 OFF 中，由余弦定理|OF |2|OF |2| F,F |22|0R IFF | COS135=4 2 3.| OF | 1,3，即 | Fa| 31.又由正弦定理，得sin FOFIRF