(word版)全等三角辅助线-半角模型-动点问题(含答案)

1、全等三角形典型题目合集【专题一】倍长中线与截长补短1 .如图1，AA8C中，AD是N3AC的平分线，若AB = AC + C。，那么NAC3与NA8C有怎样的数量关系呢？（1）通过观察、实验提出猜想：NAC3与NABC的数量关系，用等式表示为：.（2）小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：如图2,延长AC到b，使CF = C£>,连接。F.通过三角形全等、三角形的性质等 知识进行推理，就可以得到NAC8与NABC的数量关系.想法2：在4?上取一点E,使AE = AC,连接通过三角形全等、三角形的性质等知 识进行推理，就可以得到NAC3与4

2、3C的数量关系.请你参考上面的想法，帮助小明证明猜想中NAC3与443。的数量关系（一种方法即可）.2 .【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:如图1, A43C中，若AB = 8, AC = 6,求8c边上的中线A3的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AO到点E,使。石= AT>,请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到MOC三£/犯的理由是.A. SSS B. SAS C. AAS D. HL（2）求得AO的取值范围是.A. 6<AD<8 B.欠 4伙8 C. <AD<7 D. KADl【感悟】解题时，条

3、件中若出现“中点""中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已 知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】（3）如图2, A0是AA8C的中线，8E交AC于E,交AO于E,且人石=所.求证：AC = BF.3 .阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.已知：如图，E是BC的中点，点A在。石上，且ZBAE = NCDE.求证：AB = CD.分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质, 观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角 形也不全等，因此，要证明A3 = C。，必须添加适

4、当的辅助线，构造全等三角形或等腰 三角形.现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明.(1)延长OE到尸，使得EF = DE；(2)作CG_LOE于G , BF工DE于F交DE的延长线于F ；(3)过点C作CFA8交。石的延长线于f.4 .(1)如图，在四边形A3C。中，AB = AD. ZB = ZD = 90°. E、/分别是边3C、CD上的点，且NE4尸 2求证：EF = BE+FD；(2)如图，在四边形ABCD中，AB = AD, ZB + ZD = 180°, E、分别是边8C、CD上 的点，且NEAF.NBAD, 中的结论是否仍然成立？(3

5、)如图，在四边形 A3C。中，AB = AD, Zfi + ZADC = 180° , E、F 分别是边 8C、CD延长线上的点，且NEAF = gNBAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若 2不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明./ 尸/ By/5 .问题背景：（1）如图：在四边形ABC。中，AB = AD 440=120。，ZB = ZADC = 90°, E, F 分别是8C, 8上的点，且下= 60。.探究图中线段3E，FE，尸。之间的数量关系， 请在右面横线上直接写出结论.（2）如图，若在四边形ABC。中，AB = AD, ZB + ZA

6、63;）C = 180° . E、分别是8C、 co上的点，且neafJnbad,上述结论是否仍然成立？说明理由.6 .如图，四边形A3DC中，/D = ZABD = 90。，点O为BD的中点、,且。4平分NBAC.（1）求证：CO平分NAC。：(2)求证：AB + CD = AC.ABD7 .如图，NB = NC = 90。，例是8c的中点，AM平分NO4B,求证：0M平分NADC.【专题二】半角模型1 .如图正方形A8CD, E、尸分别为8C、8边上一点.(1)若尸=45°,求证：EF=BE+DF；(2)若该正方形A8CD的边长为1,如果AC"的周长为2.求N

7、W的度数.2 .如图，正方形ABC。，E,尸分别为8C、CD边上一点.若尸=45°,求证：EF = BE+DF；若AAEF绕A点旋转，保持尸=45。，问ACEF的周长是否随MEP位置的变化而变化?3 .已知，在四边形A38中，点£、尸分别在边3C、DC上,连接"、EF.（1）如图1，若四边形A88为正方形，且NE4F = 45。，求证：EF = BE+DF；（2）如图 2,若四边形 A3CD中，AB = AD ZB+ZD = 180%=，试问（l）2中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.即图24 .正方形A38, E、E分别为8C、8边上

8、一点，AHLEF交EF于点、H.若尸=45°.求证：EF = BE+DF；若A8 = 5,求AEb的周长；求证：AH=CD.5 .通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例,请补充完整.原题：如图1,点£、户分别在正方形A88的边3C、CD±,/= 45。，连接EF,求证：EF=BE+DF.（1）思路梳理,.,他=皿），.把A4BE绕点A逆时针旋转90。至aADG,可使A3与AO重合./ZA£>G = ZB = 90o, z.ZHX； = ZAZX； + ZAZ）C = 180o,则点尸、D、G 共线.根据,易证M

9、FG三，从而得EF = BE+DF；（2）类比引申B如图2,四边形A8C£中，AB=AD, ZBAD = 900点E、尸分别在边3C、CD±, ZE4F = 45°.若 4、NO都不是直角，但当NB与ND满足等量关系 时，仍有EF=BE+DF,请给出证明：（3）联想拓展如图 3,在 AABC 中，Zfi4C = 90o, AB = AC,点。、E 均在边 3c 上，且 4M£=45。， 猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程.【专题三】动点问题1 .如图，已知AA3C中，AB = AC = Qcm, 8C = &m,点。为AB的中点

10、.如果点P在线 段8c上以女"s的速度由点8向。点运动，同时，点。在线段。上由点。向A点运 动.（1）若点。的运动速度与点。的运动速度相等，经过1秒后，MPD与ACQP是否全等, 请说明理由.（2 ）若点。的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使 MPD与ACQP全等？AD 2 .如图，在AA3C中，AB = AC = 2Scm, BC = 20cm ,点。是AB边的中点，若有一动点夕在8c边上由点3向点。运动，点。在C4边上由点。向A运动.（1）P、。两点的运动速度均为攵 ?/s,经过2秒后，MPD与ACPQ是否全等,说明理 由（2）若点夕的运动速度为2.

11、5c?/s,点。的运动速度为3.5a/s,是否存在某一时刻，使 SBPD = ACQP.3 .如图，已知四边形A5CQ中，A3 = 10厘米，BC = 8厘米，C£） = 12厘米，NB = NC,点 石为钻的中点.如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由4点向。点运动，同时, 点。在线段8上由。点向。点运动.（1）若点。的运动速度与点。的运动速度相等，经过1秒后，X3PE与&CQP是否全等? 请说明理由.（2）当点。的运动速度为多少时，能够使与ACQP全等.4 .如图，AB = AC = 16cm, 3c = 18?，点。为AB的中点，点夕在边3C上以每秒2a的 速度由点4向点

12、C运动，同时，点在边。上由点。向点A匀速运动.（1）当点M的运动速度与点尸的运动速度相同，经过1秒后，MPD与&CMP是否全等? 请说明理由；（2）若点M的运动速度与点夕的运动速度不相等，当点M的运动速度为多少时，能够使 MPD与ACMP全等?5 .如图，AABC中，。为AB的中点，A£> = 5厘米，NB = NC, 8c = 8厘米.（1）若点P在线段上以3厘米/秒的速度从点3向终点C运动，同时点。在线段CA上 从点。向终点A运动，若点。的速度与点产的速度相等，经1秒钟后，请说明ABPZ）三ACOP：点。的速度与点P的速度不相等，当点。的速度为多少时，能够使MP3三

13、ACP0：（2）若点尸以3厘米/秒的速度从点3向点C运动，同时点。以5厘米/秒的速度从点C 向点A运动，它们都依次沿A48C三边运动，则经过多长时间，点。第一次在的 哪条边上追上点夕？AD,全等三角形典型题目合集解析【专题一】倍长中线与截长补短故答案为：ZACB = 2ZABC.（2）想法14;是C的平分线，.Zfi4C = ZC4B,AF = AC+B,且 CD = CF .：.AF = AC+CD又 AB = AC+CD：.AB = AF9又AP = AD,:.MBD = MFD.Z2? = ZF,.,CD = CF,，" = /CDF,又 ZACB = ZF + ZCDF 9/

14、. ZACB = 2ZF ,:ZACB = 2ZB.想法2A是NBAC的平分线，/. ZfiAC = ZC4B,又.AC = AE, AD = AD.MED = A4CD>，ED = CD, NC = ZAED,又.A5 = AC + C。，AB = AE+BE. AE = AC,1 .CD=BE,:.DE = BE,." = ZEDB，又,ZAED = 5 + "DB,：.ZAED = 2ZB，又ZC = ZAED，/.ZC = 2ZB.2 . (1)解：.在 AAOC和 AEO8 中AD = DEZADC = ZBDE , BD = CDSADC = SEDB(S

15、AS),故选B ；(2)解：.由(1)知：A4DC = AEDB ,BE = AC = 6, AE = 2AD， .在A4BE中，48 = 8,由三角形三边关系定理得：86<2AQ<8 + 6,:.<AD<7,故选C.(3)证明：延长A£>到M,使A£> = ZW,连接 .A3 是 AABC 中线，CD = BD,在 MDC 和 AMDB 中DC = DBZADC =4 MDBDA = DMAADC = AMDB,:.BM = AC, ACAD = ZM , AE = EF,ACAD = ZAFE,ZAFE = ZBFD,:"B

16、FD = /CAD = 5,.BF = BM = AC,即 AC = BF.3.解：方法一：延长OE到q，使得EF = DE,连接8f.在ADEC和AFEB中，DE = FE, Z1 = Z2 ,BE = CEADEC = AFEB ,.-.ZD = ZF, DC = FB,.ZBAE = ZD,ZBAE = ZF ,:.BA = BF, AB = CD .方法二：作CG_LO£于G,于F交OE的延长线于广yCGLDE, BFLDE,:.ZCGE = ZBFE = 90°r 在ACGE和中，ZCGE = ZBFE < Z1 = Z2,BE = CE/. ACGE =

17、ABFE , :.BF = CG, 在AAB/和ADCG中，"BAF = ZCDG < ZBFA = ZCGD = 90° , BF = CG .AABF = ADCG, :.AB = CD.方法三：过点。作B/AB交OE的延长线于尸.: CFIIAB,ZBAE = ZF , ZB = ZFCE, 在AABE和AFCE中，ZBAE = ZF /B = ZFCE , BE = CE/. A4BE = AFCE, :.AB = FC,v ZBAE = ZD, ZBAE = AF. CF = CD, :.AB = CD.F4.证明：(1)延长所到G,使8G = Z)F,连接

18、AG.Z4BG = Z4BC = ZD = 90。，AB = AD：.MBG = SADF.：.AG = AFf Z1 = Z2./. Z1 + Z3 = Z2 + Z3 = /EAF = ZBAD .2： .ZGAE = ZEAF.又.AE = AE,.AAEG = A4EF .： .EG = EF.EG = BE + BG .:,EF = BE + FD(2) (1)中的结论/ = 3£+/%)仍然成立.(3)结论EF = BE+FD不成立,应当是EF = BE-FD.证明：在8E上截取8G,使8G = DF,连接AG.ZB + ZADC = 180。，Z4DF + Z4DC =

19、 180°,，NB = ZADF.AB = AD.:.MBG = MDF./. ZBAG = ZDAF , AG = AF.：.ZBAG + ZEAD = ZDAF + AEAD= ZEAF = -ABAD.2：.ZGAE = ZEAF.-AE = AE,.AAEG = A4EF .：.EG = EF,EG = BE-BG，EF = BE-FD.5.解：(1) EF = BE+DF,理由如下：如图中，延长/刀到点G.使£>G = 3E.连结AG.在A4BE和A40G中，DG = BE< /B = AADG ,AB = AD :.MBE = MDG(SAS), 二

20、. AE = AG， Z£AE = ZDAG ,< / /EAF = L/BAD ， 2.ZGAF = ZDAG + ZDAF = ZBAE + ZDAF = ZBAD-AEAF = ZEAF ,，ZEAF = NGAF ,在AAEF和AGAF中，AE = AG< ZEAF = ZGAF ,AF = AF .：.MEF = AAGF(SAS),：.EF = FG9,;FG = DG + DF = BE + DF ,.EF = BE+DF；故答案为EF = BE+DF.(2)结论£F = 4e+o仍然成立；理由：延长AZ)到点G.使Z)G = BE.连结AG,如图

21、，在MBE和MDG中，DG = BE< /B = AADG ,AB = AD *:.MBE = MDG(SAS),AE = AG, Z£AE = ZDAG ,v NEAF = L/BAD ， 2. .ZGAF = ZDAG + ADAF = ZBAE + ZDAF = ZBAD-AEAF = ZEAF 9在AAEF和AGAF中，AE = AG< NEAF = ZGAF ,AF = AF *:.MEF = MGF(SAS),：.EF = FG,;FG = DG + DF = BE+DF ,:,EF = BE+DFxJ图6.证明：(1)过O点作QEJ_AC于点£.Z

22、AB。= 90。且OA平分ABAC：.OB = OE,又是3。中点：.OB = OD,：.OE = OD,-OE±AC, ZD = 90°.点O在NACO的角平分线上平分ZAC£).(2)在 RtAABO和 RlAAEO 中OA = OAV OB = OE.RtAABO = RtAAEO(HL),.AB = AE,在 RtACDO 和 RtACEO 中oc = oc ' OE = OD/. RtACDO = RtACEO(HL),，CD = CE，：.AB + CD = AE + CE = AC.7.证明：如图：过点M作垂足为£,.AW平分4B,

23、.N3 = N4,ME工AD,;.ME = MB （角平分线上的点到角两边的距离相等），又.MC = MB,.ME = MC,.MC_LC£>, ME±AD.：.DM平分NAOC （到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）:【专题二】半角模型答案1. （1）证明：如图，延长8至E',使DE = BE,连接,四边形前。为正方形，：.AB = AD = CB = CD, 44） = 4 = 90。,/4D£ = 900 = NA8E,AD = AB在 AA£)£'和 中，ADEr = ZABE ,DE' = BE &

24、#187;.AAOE=A43E(5AS)，:.AE： = AE, ZDAE' = ZBAE,vZ£4F=45°,；ZDAF + ZBAE = 45。,：.ZDAF + ZDAEf = ZE/AF = 45° = ZEAFfAEr = AE在£A” 和 AE4尸中，E'AF = ZEAF ,AF = AF:. E9AF = SEAF(SAS)，:.EF = EF,;EF = DE+DF = BE+DF,:.EF = BE+DF；(2)延长CD至E'使DE = BE,连接AE',由(1)知，AADEABE(SAS) 9:.AE

25、 = AE, zdae = bae,设8E = x, DF = y 9.正方形ABCD的边长为1,CE = 1 x 9 CF = 1 y 9ACE尸的周长为2,:.CE+CF + EF = 2,二 1 一 x + 1 - y + EF = 2 ,. EF = x + y = BE + DF = DE' + DF = E'F ,AEf = AE在£!和AE4F中，EfF = EF ,AF = AF.E'AF 三 SEAF(SSS),.ZE'AF = ZEAF,:.ZDAE' + ZDAF = ZBAE+ZDAF = ZEAF,. 4F + NE4

26、E + 4AE = 90。，A ZE4F = 45°.2 .证明：，,四边形加CD为正方形，. .AB = AD = CB = CD, ZEW = ZB = 90。，,把MBE绕点、A逆时针旋转90°可得到A4DE,:,AEJ = AE, DE = BE, 24E=90。，ZADF = ZADC=90° ,VZE4F = 45°,. AEAF = ZErAE - ZEAF = 45°,:.ZEAF = ZEAF,AEf = AE在a EAF 和 AEAF 中，ZEfAF = ZEAF , AF = AF/. EfAF s SEAF(SAS),:

27、.EF = EF,;EF = DE+DF = BE+DF,:.EF = BE+DF；解：不变化：理由如下：ACEF 的周长= CE+CF + EF = CE+CF + BE+DF = CB + CD.：.AC£F的周长不随AA£F位置的变化而变化.3 .解：(1)如图，延长CB到G,使BG = f7),ADZABG = ZD = 90°, AB = AD,:.MBG = MDF,：.ZBAG = ZDAF. AG = AFf-ZEAF = 1 ABAD , 2:.ZDAF+ZBAE=ZEAF,：.AEAF = ZGAE,在M£G和4团中，AG = AF&

28、lt; NGAE = ZFAE ,AE = AE:.AAEF = MEG,:.EF = EG = EB+BG = EB+DF ；(2) (1)中的结论还成立，理由如下：把MD广绕点A顺时针旋转3旬的度数得到MBG,如图，：.ZADF = ZABG, /GAF = ZBAD, AG = AF, BG = DF, .,ZABC+ZADC = 180°, .ZABC + ZABG = 180。，二点G在C8的延长线上，GE = BG + BE, , ZEAF = 1 ABAD , 2/.ZE4F = 1ZGAE, 2 . ZfAF = NGAE,AG = AF NGAE = ZFAE ,

29、AE = AE/.SAEGSAEF(SAS),；.EF = GE,4.证明：将MDF绕点人顺时针旋转90。得到MBG, 由旋转的性质得，DF = BG, AF = AG, ZDAF = ABAG. FAG = ABAG + ABAF = ADAF + ZBAF = ABAD = 9(r. ZE4F = 45°,/.ZE4F = ZE4G = 45°.在MEF和MEG中，AF = AG< ZEAF = ZEAG , AE = AE.AAEFAEG(SAS)9. .EF = EG = BG + BE=DF + BE, :.EF = BE+DF.,四边形他CD是正方形，AB

30、 = BC = CD = AD = 5,；EF = BE+DF,，此产。的周长=石尸+石。+。/=(8七+ £。) + (6 +。-)=28。= 10.®9 MEF = MEG又.、AB分别是MEF和AAEG对应边上的高, :.AH = AB.5.解：(1)如图 1, ,AB = AD,二把绕点A逆时针旋转90。至A4DG,可使A3与AQ重合.：.ZBAE=ZDAG,440=90°,尸= 45°,.ZBA£+ZZMF = 45°, . ZE4F = ZFAG , .,ZADC = ZB = 90。，:.ZFDG = S0°t

31、 点 F、D、G 共线，在M也和A4FG中AE = AG ZEAF = NE4G ,AF = AF .:.AAFEAFG(SAS),:.EF = FG,HP： EF = BE+DF.故答案为：SAS, MF£：(2) 4+ZD = 180°时，EF = BE+DF：如图 2, ，AB = AD,二把MBE绕点A逆时针旋转90。至M)G,可使A3与AQ重合,:.ABAE=ZDAG,.4AD=90°, ZE4F = 45°,：.ABAE+DAF=45°,：.AEAF = ZFAG ,'.'ZADC+ZB = S00,.NF£

32、;)G = 180。，点尸、D、G 共线，在M配和A4FG中AE = AG< NEAF = ZFAG ,AF = AF:.AAFESAFG(SAS)，:.EF = FG,即：EF = BE+DF.故答案为：ZB + ZD = 180°：(3)猜想：DE2 = BD，+ EC：证明：如图3,连接根据M£C绕点A顺时针旋转90。得到A4B£,A4EC = ABE',:.BE = EC, AEJ = AE,NC = ZABE, ZEAC = AEAB,在 RtAABC 中，AB = AC,：.ZABC = ZACB=45°,：.ZABC+ZABE

33、, = 9(r,即 ZE'%> = 90°,/. E'B + BD1 =,XvZZME=45°,:.ABAD+EAC=45°,：.ZE,AB + ABAD = 45°,即 Z£*AD = 45°,在 A£7)和M£D中，AE' = AE. NE，AD = ZDAE ,AD = AD /. AEfD 三 SAED(SAS),:.DE = DE.E'【专题三】动点专项答案1 .解：（1）经过 1 秒后，PB = 3cm, PC = 5cm, CQ = 3cm . ,A4BC 中，A

34、B = AC 在和ACQP中，BD = PC4BC = AACB , BP = CQ .ABPD 三 ACQP（SAS）.（2）设点。的运动速度为x（xw3）ss,经过rsMPD与&CQP全等:则可知P8 = 3ra，PC = 8 - 3tcm , CQ = xtcm , .AB = AC,/.ZB = ZC,根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：当BD = PC, 8尸=。0时，当BD = CQ, BP = PC时,两三角形全等：当庭） = PC且BP = CQ时，8-3/ = 5且3，= "，解得x = 3,门。3,.舍去此情况：3。=。，BP = PC时,5 ="且%=8-3，解得：x =：4故若点。的运动速度与点P的运动速度不相等，当点。的运动速度为时，能够使4MPD与ACQP全等.2 .解：PD三'CPQ,。是回的中点，又 BP = 3x2 = 6,，C尸= 20-6 = 14, CQ = 3x2 = 6,.A5 = AC,.ZB