浅谈如何用化归方法解数学题

1、浅谈如何用化归方法解数学题摘要：化归的思想方法是一种重要的数学思想方法，在数学教育中也是一种解决数学问 题的最基本、最常用的思想方法，其它各种思想方法犬多渗透有化归思想，因此，学习 并掌握化归的思想方法对学好数学具有重要的理论意义和现实意义.关键词：化归方法数学思想；化归途径解数学问题前言：本文我们就如何运用化归方法解数学题展开讨论，运用化归这一数学思想解数学 题使得我们数学屮的许多问题从抽彖、复杂变得简单明了啦，所以学好化归方法对我们 更快更准确的解数学题有着重要的地位，我们在解题时要懂得合理运用这一方法，这样 的话我们解题就会冇事半功倍的效果.1化归方法的基本意义在解题时的作用所谓“化归”

2、，从字面上看，可理解为转化和归结的意思.数学方法论中所论及到 的“化归方法”，是解决数学问题的一般方法，其基本含义是:人们在解决数学问题时, 常常是将待解决的问题a,通过某种转化手段，归结为另一个问题b,而问题b是相对 较易解决或己有固定解决程式的问题，且通过对问题b的解决可得原问题a的解答，用 框图可直观表示为：待解决的问题a0询国内冇许多学者已经对化归化归对象转化化归途径待解决的问题b问题a的解答还丿京 问题b的解答方法解数学题做了深入的研究，他们 主要从数学怎提解决策略方面对化 做了研究，现在国内许多发达地区的中小学教育已经开始贯彻化归思想，并引导学生运 用这一思想解数学题.1. 1化归

3、三要索在解题时的作用从化归的涵义可以看出，化归包括三个基本要索.(1) 化归对象：即把什么东西进行化归；(2) 化归目标：即化归到何处去；(3) 化归途径：即如何进行化归.化归三要素在解题时的作用各不相同，化归对象是我们解题的突破门，我们只有找 对化归对象才能进行正确的解题，化归目标是我们解题的目的，我们只冇达到这一目标, 才能够找到解题的关键，最终得到问题的答案，化归的途径是解题的桥梁，我们只有通 过这条桥梁才能够正确高效的找到问题的答案.1.2如何找到化归目的化归冃的是为了使问题得以解决，待解决的问题就是化归对象，它是以往没有解决 过的问题，具有繁难、生疏、捕象的特点，没有现成的公式、定理

4、或解决方案，为了解 决这个问题，需要将问题转化到“己经解决过的问题”或转化到“冇现成解决方案的问 题”上來(就是把一般问题转化到规范问题上來)那么如何找到化归的冃的便成为了解 题的关键，为了找到化归的廿的我们应该认真观察问题，联想和问题相关的知识，思考 哪个知识和问题的联系更为紧密，最终找到化归的冃的，从而得到问题的答案化归冃 的是随着题目的改变而改变的，对于不同的题耳化归耳的可能不同，我们应该在平时解 题过程中多注意积累，这样的话我们在解题时遇到问题才不会感到无从下手，才能够快 速准确的得到解题的途径.2化归方法遵循的原则为了更好地把握住化归方向(目标)，我们必须了解化归的特点.化归方法的特

5、点 就是以已知的、简单的、貝体的、特殊的、基本的知识为基础，将未知的化为已知的， 复杂的化为简单的，抽彖的化为具体的，一般的化为特殊的，非基本的化为基本的，从 而使问题得到解决同时更要遵循一些化归的基本原则，化归具有多向性、层次性和重 复性的特征为了有效的实施化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论， 既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，这就是化归的多向性；化归 既可应用于沟通数学各分支学科的联系，从宏观上实现学科间的转化，又能调动各种方 法与技术，从微观上解决多种具体问题，这是化归的层次性；而在解决问题中可以多次 地使用化归，使问题逐次达到规范化，这是化归应用的重复性

6、为了有效的实现化归， 在化归过程卩应遵循一些基木原则.2. 1熟悉化原则熟悉化原则是指将原问题中陌生的形式或内容转化为比较熟悉的形式和内容，使问 题符合人们的思维习惯，从而使我们能够充分利用已有的知识和经验使问题获得解决.例1解方程 兀4-2-24兀2+80兀-64 = 0思考与分析:看到题目便知这是一道一元四次的方程，没冇通解的方法，我们可将方 程的左端进行因式分解，化为熟悉的一元二次方程來求解.解：/ -2x3 -24x2 + 80兀一64 = (f -2x3 +x2)-(25/ _80x + 64) -(5x-8)2 =(x2-6 + 8)(x2+4x-8)于是，原方程归结为 x2 -6

7、x + 8 =0或x2 + 4x-8 =0由第一个h程解得 疋=-2 + 2a/3 , x4 = 2 2/3 2. 2简单化原则简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的问题，把比较复杂的形式转化 为比较简单的形式，以便使其中的数量关系和空间形式更加明朗和具体，从而找到问题 的突破口.思考与分析：首先看所求问题,uu 八y 八z( ( 求函数丄_i 11兀八y1的最小值./的结构复杂，如果直接求解过(1 ?<1 、(1 )u =111u )jy 丿)程相当繁琐，我们需要把问题结构简单化利用题目中的已知条件，对m的表达式的结 构进行等价转化：“ y z丿=(1 -兀)(1 - y)(l

8、 - z) =(1 _ 兀 一 y 一 z + 兀y + yz + 一 xyz xyzxyz(xy + yz + zx _ xyz) xyz在题设条件下求丄+丄+丄的最小值即可.x y z解：由x+y + z = l,可知弘=+ + 1z w r；且 x + y + z = 1 矢口 ：>=9,从而知当冷时,“有最小值9十8.2. 3和谐化原则是数学内在美的主要内容之一美与真在数学命题和数学解题中一般是统一的.因 此，我们在解题过程屮，可根据数学问题的条件或结论以及数、式、形等的结构特征， 利用和谐美去思考问题，获得解题信息，从而确立解题的总体思路，以达到以美起真的 作用化归问题的条件或

9、结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形 式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.c例 3 在 abc 中，证明：a cos2 + ccos2c 9 a+ ccos- 2 21 + cos c1 1=a+c+2 2(a2b2-c2 a - 2ab(b2+c2-a2+ c2bc = (a + b + c.2 2 2v )思考与分析：等式右边是关于三角形的边的关系，而左边是关于三角形的边与角的 关系式而和谐化原则就是将问题的表现形式变形为更加符合数学内部固有的和谐统一的特点于是我们想到运用半角公式和余弦定理可以将左边也化为关于b. c的关系式，于是整个等

10、式就统一为边的关系式，从而可证得左边与右边相等，这个证明思路就体现了和谐化原则.解根据半角公式辭-2曲討将等式左边进行得1 1 gcosc + ccosa =d+c+2 2再根据余弦定理将cos c和cos a化归为边。、b、c的关系式得:1 12b2=a+c+2 24b于是得到等式的左边等于右边,即处。肖+ 5 今如+比).例4某校a班星期一上午要排语文、数学、外语、丿力史四门课程，如果第一节不能安 排历史，笫四节不能安排外语，则共有多少种排法？思考与分析：题目屮没冇给出课程表，我们不妨把每一种排法看作一个元素，这样 满足条件的所有排法构成一个集合，此集合的元素个数就是满足条件的所有排法总数

11、. 这样我们就把抽彖、晦涩的问题具体化了.解：设“(a)为丿力史排在第一节的排法总数，/7(b)为外语排在第四节的排法总数, 料为四门课任意排的排法总数，则macb)为历史排在第一节ii外语排在第四节的排 法总数，为历史排在第一节或外语排在第四节的排法总数.显然 "(a)二 二 6料()二&二 6(/)二肉二 24=2而满足条件的排法总数应是：=m (/) - "(a) + 粒()一川(a c b)=24-6 + 6-2=14则满足条件的排法总数共有14种.从以上的解题过程我们可以看到，将复杂而抽象的问题化归为简单具体的问题，从 而找到问题的突破口，最终达到解决问题

12、的目的.2. 5换位思维原则换位思维原则是指在探究问题过程中，当问题从正面解决困难时要考虑从反面解 决，直接解决怵i难吋要考虑间接解决，顺向进行推导怵i难时要考虑逆推.进不行则考虑 “退”,即转变思维角度从问题的对立面进行思考，设法从问题的对立面去探求，使问 题获得解决或证明问题的可能性当有的问题实在难以下手时，可以考虑应用这个原则. 让我们來看应用这个原则是怎么解决以下问题的.例5 求函数=斫+(启7-?丫的最小值.ib丿思考与分析：首先我们发现这是一道代数问题，但是用纯代数法求解难以完成，我 们应设法将问题进行化归经观察并联系问题的儿何意义，不难发现函数fb)是两动(9、q b,- z间的

13、距离的平方，于是问题就化归为求p、0两点z间的 i b丿最短距离乂因为/=2上，而动点q在9_2 口b 匕=9，故动点p在圆x2 + y2 b双曲线小=9上，这样问题就又化归为求圆x2 + /=2±的点到双曲线小=9上的点的距离的最小值了.解：由分析知f(q,b)为圆宀)，=2上的点到双曲线(9、xy = 9上的点q b-的距离i b丿的平方 因为y/2-a2 >0,所以p点在上半i员i周x2 + y2=2(y>0).h,易知，只需考虑q点在双曲线与=9位于第一象限的那一支(% > 0, _y > 0).设q(x, y)为双曲线a)=9(x>0)上任一点

14、，则p点应在圆心o与q的连线上;设p为上半圆周x2 +于=2(y> 0)上异于p的任一点，由三角形两边z和大于第三边知，对于p、p而言，op + pq>op+pq，所以pq > pq ；则此时p点到q点的距离最小要想求的最小值，可先求|00|的最小值.因为|02|2=x2 + /=x2+1>2v8t = 18,故|0e|>v18 ,当且仅当x=y = 3时，x|oe| = v18 ,所以当q点为（3,3）时，|pq|有最小值v18-v2=2v2 , /（a,b）有最小值 （22）2=8,即当a = l, b = 3h寸，f（a,b）冇最小值8.在探讨某一问题的解决

15、办法吋，我们按照习惯思维方式从正面进行思考遇到困难， 甚至不能解决时，不妨改弦易辙，从其反面去思考如求），=土的值域，不直接求它2x4-1的值域，而求它的反函数的定义域；又如一些采用反证法的证明题，都是由正面转化到 反面去解决问题的.卜面我们來看一道利用反证法解决问题的具体例了.3化归方法的分类在化归原则中，实施化归的方法是多种多样的按照解决问题的性质來划分，有计 算中的化归方法，论证中的化归方法和建立新学科体系中的化归方法等；按照化归方法 应用的范围和广度來分，既有较高层次的化归，又有较低层次的化归等等由于化归原 则的多向性，至今化归的分类问题仍然是一个值得研究的问题.3.1单维化归方法这是

16、适合于某一学科的化归，是本系统内的化归，属于第三层次.诸如欧拉代换、 拉普拉斯变换、坐标变换及几何变形等，都是单维化归方法.3.2二维化归方法这是指能沟通两个不同数学分支的化归方法，屈于第二层次例如解析法，它通过 引入坐标系把几何问题转化为代数问题；图像法及向量法等可以把代数问题转化为几何 问题；而三角函数代换法，则把代数问题或几何问题转化为三角问题等等.3.3多维化归方法这是指跨越多种数学分支，适用于各学科系统的化归方法，它们应用广泛，屈于第 一层次的化归例如变量代换法，通过换元常常可以改变问题的外部形式和内部结构， 把代数问题化为几何或三角问题，把几何问题化为代数或三角问题等等，因而适用于

17、数 学各个分支又如映射法，它是把两类数学对象间的一一对应作为映射化归的手段.由于 这种映射可以赋予十分广泛的含义，比如运算、变换、对应等，因而映射法广泛应用于 数学各学科.此外，分解与组合，求变换（坐标变换，参数变换等等），反证法，待定 系数法等都屈于这个层次的化归方法.4化归过程中应注意的问题实现化归的方法有多种多样，我们不应把眼光只停留在某几种方法上，应以可变的 观点去看待问题.在化归过程中应注意以下几个问题：4. 1注意明确化归对象有目的，有意识地进行化归，应始终“盯住”目标化大为小，化繁为简；保证化 归的有效性、规范性.化归作为一种思想方法，包括化归的对象、化归的目标、以及化归的途径三

18、个耍素. 因此，化归思想方法的实施应冇明确的对象、设计好目标、选择好方法.而化归的目标 是解决问题的关键设计化归目标时，总是以课本中那些基础知识、基本方法在应用上 已形成固定的问题（通常称为规范性问题）为依据，而把要解决的问题化归为为规律问题 （即问题的规范化）化归能不能如期完成，与化归方法的选择有关，同时还耍考虑到化 归目标的设计与化归方法的可行性、冇效性.因此，在解题过程中，必须始终紧紧盯住 化归的目标，即始终应该考虑这样的问题:怎样才能达到解决原问题的目的在这个大而 提下，实施的化归才是卓冇成效的，盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同.4. 2注意转化的多样性注意转化的多样性，设计合

19、理的转化方案，努力寻找最佳化归途径在转化过程中, 同一转化冃标的达到，往往可能采取多种转化途径和方法.因此研究设计合理、简捷的 转化途径是十分必要的，必须避免什么问题都死搬硬套，造成繁难不堪.利用化归思想 解题吋，转化的途径和方法不一定相同，但有一个共同的规律，就是在待解决的问题和 已解决的问题z间架起一个联系的桥梁，这就是知识z间的“关系键”，这就要求我们 在学习数学的过程中，要不断地构建知识结构，形成知识网络，要领悟蕴含在数学内容 之中的数学思想方法，这些都是提高数学解题能力的条件和基础.4.3注意寻找正确的化归途径对于寻找正确的化归途径，应该努力实践，不断探索；注意转化的等价性，保证逻

20、辑上的正确化归包括等价化归和非等价化归，在屮学数学屮的化归多为等价化归，等 价化归要求转化过程中的前因后杲既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结杲为原 题的结果.4.4注意“化不归”情形的存在在科学研究中，还存在这样的情形，即提岀问题a,但却无法实现问题a向问题b的 转化，我们称这样的情形为化不归.其实，这样的情形无论是在科学研究屮还是在现实 生活中都是经常发生的，然而在教学实践中，教师给学生设计的问题都是能够化归的情 形，却有意无意地忽略了大量的化不归的情形，这样做是极不利于学生发展的.对化归这一数学思想方法的掌握，一方面，是对基础知识的掌握，如果对基础知识 掌握不牢，甚至生疏那又何谈化归

21、，往何处化呢；另一方面，就是在课堂教学屮对化归 思想的渗透，根据学生的知识水平与接受能力，循序渐进地量力而行.化归思想是数学 解题的重要思想方法，但并非万能的方法，即并不是所有的问题都可以通过化归而得到 解决的，化归思想的成功应用是以“数学发现”为前提的因此，我们不能只停留在化 归的分析，而必须冇创新的精神，不断地进行新的研究，在研究中获得新方法、新理论.teaching method with transforming the maths problemsabstract: the idea of induction in mathematical thinking is an important way of thinking. in mathematics induction education is also a basic mathematical pro