探究圆锥曲线中的存在性问题

1、探究圆锥曲线中的存在性问题圆锥曲线是解析几何的核心内容，是中学数学的重点、难点，是高考命题的热点之一, 各种解得到了很好的体现和充分的展示，尤其是在最近几年的高考试题中，平面向量与解 析几何的融合，提高了解题方法在本章题目的综合性，形成了题目多变，解法灵活的特点, 充分体现了高考中以能力立意的命题方向。近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题的形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但 锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2010年高考对本讲的考察，仍 将以以下两类题型为主。1.求曲线(或轨迹)的方程。对于这类问题

2、，高考常常不给出图形或不给出坐标系,以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力;2.与圆锥曲线有关的最值(或极值)和取值范围问题，圆锥曲线中的定值、定点问题，探究型的存在性问题。这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用 解析几何、平面几何、平面向量、函数、不等式、三角函数知识，正确的构造不等式或方 程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件和结论不完备，要求 学生结合已有的条件进行观察、分析、比较和概括，它对数学思想、数学意识及综合运用 数学方法的能力有较高的要求，特别是在解析几何第二问中经常考到“是否存在这样的点” 的问

3、题，也就是是否存在定值定点定直线的问题。今天，我就圆锥曲线中的存在性问题从 五个方面给大家做一个分享，也希望能给大家带来一点点的启示。一、是否存在这样的常数 例:1. (2007宁夏理19题)在平面直角坐标系兀oy中，经过点(o,v2)n.斜率为比的直线z与椭iy+r =1冇两个不同的交(i)求r的取值范围;(ii)设椭圆与兀轴正半轴.y轴正半轴的交点分别为人b,是否存在常数使得向量0 p + oq与43共线？如果存在，求p值；如果不存在，请说明理由.解：(i )由已知条件，直线/的方程为y = kx +近,代入椭鬪方程得+ (h: + v2)2=l.整理得- + k2 x2 + 2y2kx

4、+ l = 02 2>(i、直线/与椭圆有两个不同的交点p和!2等价于a = 8疋-4 +疋=4疋一20,(2 丿解得£<j或即r的取值范围为2迈 一,+82z(ii)设p(勺则 op + 00 = (%! + 兀2，y + y2)，由方程，西+兀2=上坯.1 + 2/又 jl + ?2 = kg + 勺)+ 22 而力(巧0), b(0,l),ab = (-v2,l).所以op + oq与而共线等价于西+勺=-血（）1 +旳），将代入上式，解得k= 2由(i )知k<-k> ,2 2故没冇符合题意的常数r练习1: （08陕西卷20）（本小题满分12分）己知抛

5、物线c： y = 2x2,直线y = kx2交c于人3两点，m是线段 的中点，过m作兀轴的垂线交c于点n.（i ）证明：抛物线c在点n处的切线与ab平行；（ii）是否存在实数k使丽丽=0,若存在，求k的值；若不存在，说明理山.解法一：（i）如图,设a（x】,2无2）, b（x2,2x22）,把y = & + 2彳弋入y = 2兀?得一也一 2 = 0 ,=-1山韦达定理得西+x2k十n点的坐标为一,一（4 8k2设抛物线在点n处的切线i的方程为y -§将y亠代入上式得2宀咙+ ¥一0,直线/与抛物线c相切,'mk k，'=m2 2mk +k2 = (

6、m k)2 = 0 ,即 i/ ab.（ii）假设存在实数使na m? = 0,则na丄m3,又m是4b的中点,.mn =-ab.+ 4(2丿由（i ）知）:w =空（必+）'） =亍伙兀i +2十滋2十2）=才r（兀+兀2）十4 _（ k- _ 2k2k2 k2 +6 mn 丄 x轴，.mn |=| -xv|=- + 2- =4oo乂 | ab |= j1 + / |_ 兀？ |= jl +j(兀+兀°)2 4旺兀2vl + p_4x(_l)=丄厶2 + 1 j/+16 .¥冷耐曲，解得a*即存在k=±2,使n4 nb=o.解法二（i ）如图，设a（勺2

7、彳），b（*2,2兀把y =匕+ 2代入y = 2x2得2兀-kx 2 = 0.由韦达定理得x + x, = 3,兀1兀？ = 1.k k2 n点的坐标为（4 8丿抛物线在点n处的切线/的斜率为4x- = k , .l/ab.4 y = 2x2, /. yf4x,（ii）假设存在实数k,使na nb = o.由（）知丽=內_才,2彳_na nby k 兀2 一 "7八4丿24-、_ 8丿(kxx-( 1116八x-16丿(kx(k1 + 4<_ kx. h“2 +"tl4丿i4丿<4丿i4丿/ + 4西兀2 +鸟（兀1 +兀2）+4(k23 +丄疋、1 16丿1

8、4丿( k k k2i 4 216丿即存在k = ±2t使 na nb = 0 .练习2宜线gi）=1与曲线/2/= 1相交于p、q两点。（1）当 a 为何值时，|pq|= 2/1+ a2 ；（2）是否存在实数a,使得以pq为直径的圆经过原点0?若存在，求岀的值，若不存在，请说明理由。iax- y= i z 口j?解：（1）联立方程i “?得（12a2）x2+4ax3= 0,jx2-2y2=l又知直线与曲线相交于p ,q两点，可得|1- 2a20（d= 16a2 + 12（1- 2a2）> 0v|t4a设p. q两点的坐标为(兀2*2)则x+兀2= 2>xlx2 =-“2

9、a - 132a2- 1所以|pq| =4(1+/)(3 2/) q(2a2- i)2=2j1+ cl?化简得（12a2）2- （12/卜2= 0,解得1即为所求。（3）假设存在实数a,使得以pq为直径的圆经过原点0, 贝'nop.% = - 1,也就是兀“+ ）卩2= 0,西兀2+（axr 0（2_ 0= °,r2整理得（1+ a2）xx： q（x + x2）+ 1 = 0,故有°）+<+ 1= 02cr 11 2a解得& =2,a纹，即不存在实数a.二、是否存在这样的点例2（2009全国卷ii）（本小题满分12分）l + 4x(-l) + 

10、3;x + 24b23一1飞<0,.-3+才宀0,解得“±2.c：-+= l(a >/? > 0)已知椭圆/ m的离心率为3 ,过右焦点f的直线/与c相交于4、b两点,当/v2的斜率为1时，坐标原点°到/的距离为2(i)求d, b的值;(ii) c上是否存在点p,使得当/绕f转到某一位置时，有。p = oaob成立？若存在，求出所有的p 的处标与/的方程；若不存在，说明理由。解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭 圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊 情况

11、的处理。解：(i)设f(c,0),当/的斜率为1时，其方程为x-y-c = 0,0到/的距离为|0 - 0 - ccv2 - v2，得 q = v3 , b =c2 = v2(ii) c ±存在点p,使得当/绕f转到某一位置时，有o poa + ob成立。由(i )知椭圆 c 的方程为 2x2+3y2=6. 设 a(x1,yi),b(x2,y2).(i)当/不垂直兀轴时,设/的方程为尸心-1)假设c上存在点p,且有op = oa + ob成立，则p点的坐标为(“+心儿+力)，2(州 +x2)2 +3(x + y2)2 = 6，整理得 2xj2 +3y+2x22 +3y22 +4xx2

12、 -6yy2 = 6xa、b在c上，hp2x|2+3.y1 2 = 6,2x22+3y22 =6故2xx2 +3y)y2 + 3 = 0将(兀_i)代入2，+3y2=6,并化简得(2 + 3k2)x2 -6k2x + 3k2 -6 = 0于是6k23k2-62 + 3戶州勺一2 + 3/yy2 =疋(坷一 pg - 2)=-4k22 + 3pk于是)'+)二比(州 + x2 - 2)=-,/的方程为+ y v2 = 0 ；因此，k = 5/2 时，p(,),2 2/的方程为vlr - y - v2 = 0 o(ii )当/垂直于兀轴时，由oa + ob = (2,0)知，c上不存在点p

13、使op = oa + ob成立。2 py 综上，c上存在点p(-,±)使op = oa-ob成立，此时/的方程为v2x±y-v2 =0.例3. (2009福建卷)(本小题满分14分)x2 y2° 丄c：r += l(d>b0) 己知直线兀一巧+ 2 = u经过椭圆/ b的左顶点a和上顶点d,椭圆c的右顶点为b,点s是椭圆c上位于x轴上方的动点，直线as/sl:x 与直线103分别交于仏川两点o(i) 求椭圆c的方程；(ii) 求线段mn的长度的最小值；_(iii) 当线段mn的长度最小时，在椭圆c上是否存在这样的点7使得atsb的面积为§?若存 在

14、，确定点了的个数，若不存在，说明理由(i) 由已知得,椭圆c的左顶点为a(2,0),上顶点为d(0,l),a = 2,b = l9故椭圆c的方程为亍+宀1(ii)直线as的斜率k显然存在，且r0 ,故可设直线as的方程为y = k(x + 2)f从而m(,) y = fc(x + 2)由x2得(1 + 4疋)兀2 + 16疋兀+ 16疋4 = 0+ v2 =14-4设sg,yj,则(2),兀严市产得西_2-肿_ 1 + 4/从而vj4k又 b(2,0)由 <910x = 一310x = 得3 n(¥，-命)故 |mn|=6k113 3k又k>0, mn= + > 2

15、 i=-,当且仅当逖=丄，即/：=丄时等号成立3 3k v 33£33 3k4q上=时，线段mn的长度取最小值4 3(iii) ill (ii)可知，当mn取最小值时，k=-46 44a/2此时 bs 的方程为兀 + y 2 = 0,5(, ),.*.| bs =1要使椭圆c上存在点厂便得如的面积等于亍只须t到直线bs的距离等于，所以7在平行于bs jl与bs距离等于的直线/上。4设直线z :兀+ y + f = 0 则由"厂"=,解得t = 或/= ' v2 422练习:1. (2008湖北卷20题).(本小题满分12分)己知双曲线x2-/=2的左、右焦

16、点分别为人，f2,过点f?的动总线与双曲线相交于人b两点.(i)若动点m满足顾=丽+丽+而(其中o为坐标原点)，求点m的轨迹方程；(ii)在兀轴上是否存在定点c,使刃面为常数？若存在，求出点c的坐标；若不存在，请说明理由.解：由条件知 £(2,0),鬥(2,0),设 a(勺 y), b(x2, y2).解法一:(i)设 m (x, y),则 fm =(x + 2, y), fxa = xx +2, yj,丽=(吃+2,旳)，而 = (2,0),由顾二帀+丽+而得= x - 4,即-于是a b的中点坐标为(x-4 y,i 2 2；y当不与x轴垂直时，匸邑=2二丄 x, -x2兀-4 2

17、x-8-一又因为a, b两点在双曲线上，所以彳-才=2,卅-分=2,两式相减得（西一兀2）（西 + 勺）=（）1 一 儿）（1 + 旳），即（西一兀2）（兀一4） =（x y2）y .将/耳-兀2）代入上式,化简得（x-6）2-/=4.当ab与兀轴垂岂时，旺二兀2 =2,求得m（8,0）,也满足上述方程.所以点m的轨迹方程是（x-6）2-.y2=4.（ii）假设在兀轴上存在定点c（m,o）,使冯 质为常数.当43不与兀轴垂直时，设直线ab的方程是y = k（x - 2）伙h ±1）.代入 _ 护=2 有(1 _ /)兀2 + 4/兀 _(4/ +2) = 0.则勺 兀是上述方程的两个

18、实根，所以旺+兀2 =4/+2于是 ca cb =(兀一 m)(x2 - m) + k2(x - 2)(x2 一 2)=(k2 +l)x,x2 -(2k2 + m)(x + x2) + 4k2 +m2（疋+1）（4疋十2）4疋（2/+加）+ 4k2 +m22(1-2加)/ + 2k+ m2 = 2(1 2加)+4 一 4mk2-+ m2 2p m因为刁而是与k无关的常数，所以4 4加=0,即m = l,此时cacb = -1.当ab与x轴垂直时，点a, 3的坐标可分别设为（2,v2）, （2,-v2）,此时 cacb = (l,y/2) (1,-v2) = -1.故在x轴上存在定点c（l,0）

19、,使乙4乙诵为常数.练习2. （08山东卷22）（本小题满分14分）如图，设抛物线方程为x2=2py（i）0m为直线y=-2p上任意一点，过m 引抛物线的切线，切点分別为a, b.（i ）求证：a, m, b三点的横坐标成等差数列；(ii)已知当m点的处标为(2,2)时,ab= 410 ,求此时抛物线的方程;(iii)是否存在点m,使得点c关于直线a3的对称点q在抛物线x2 = 2py(p>0)±，其屮，点c满 足oc = oa + ob (o为坐标原点).若存在，求出所有适合题意的点m的坐标；若不存在,请说明理由.证明：由题意设a(x,工),b(x2 ,圧),西<尤2,

20、 m (兀。,2p).2p2p由x2=2py得)匸宁，则/ = -,所以2pppp因此直线ma的方程为y+ 2p = (x-x0),直线mb的方程为y+ 2p = (x-x0). pp所以一 + 2” = (西一心)，+ 2/? = (x2 ). 2pp2pp2 2由、得y = xi4-x2-x0,因此 兀0=迸生，即2%0=+%2.所以a、m、3三点的横他标成等差数列.(ii)解：山(i )知，当也=2时，将其代入、并整理得： 4x| _ 4p2 = o, xj 4x7 4p = 0,所以 小 疋是方程x2-4x-4/;2=0的两根,2所以忍b =一p因 11 匕兀+ 兀2 = 4, xx2

21、 =-4p2,_ 2p 2p _ x + x2 _ xq 乂 kab _ _ ，兀2兀2pp由弦长公式得ab = j + 疋 j(x +兀2)，_4兀兀2 =又ab = 4v10 , 所以p=l 或p=2, 因此所求抛物线方程为f = 2)，或/二4，.(iii)解：设 £>(兀3,旳)，由题意得 c(x+ x2,y+ j2), 则cd的中点坐标为q(u±工2 2设直线ab的方程为y-yi=（x-兀）p由点q在直线ab上，并注意到点（口乞也在直线ab上,2 2代入得y3 =-3-p若d （兀3,旳）在抛物线上，则xj =2py3 =2xox3,因此 %3=0 或 x3

22、=2x0.即 d（0, 0）或 £（2% 纽）.pxf + x；2卩2兀。? ?x； +%2（1）当x（）=0时，则x+ x2= 2兀=0 ,此时，点m（0,-2p）适合题意.2 2(2)当兀0工0,对于q(0, 0),此吋c(2x0,+%2 ka)= 2p乂 rab =,ab 丄 cd,p所以忍b kcd2 oxo xj +x2p 4/0即彳+球=_4p2,矛盾对于d(2x0,乎），因为g,2 ?爭），此时直线cd平行于闌又ab =山工°,p所以，直线ab与岂线cd不垂直，与题设才盾，所以勺工0吋，不存在符合题意的m点.综上所述，仅存在一点m（0,2刃适合题意.练习3.

23、（2007广东理18）.（本小题满分14分）在平而直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为2血的圆c与总线y = x相切于处标原点0.椭圆令+才“与圆c的个交点到椭圆两焦点的距离之和为0（1）求圆c的方程;(2) 试探究圆c上是否存在界于原点的点0 ,使0到椭圆右焦点f的距离等丁线段of的长.若 存在，请求出点q的处标；若不存在，请说明理由.解：(1)设圆心坐标为(m, n) (m<0, n>0),贝9该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=s已知该圆与玄线y=x柑切, 那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则m -n rr_即m -n =4又圆与宜线切于原点，将点(0, 0)代入得

24、，m = -2 n = 2m2+n2=8联立方程和组成方程组解得故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=82(2)问=5,/=25,则椭圆的方程为+-= 1其焦距c=a/25-9 =4,右焦点为(4, 0),那么|of|=4o要探求是否存在异于原点的点q,使得该点到右焦点f的距离等于|of|的长度4,我们可以转化为探 求以右焦点f为顶点，半径为4的圆(x4)2+b=8与所求的圆的交点数。4 12通过联立两圆的方程解得x=-, y= 5 5即存在异于原点的点q(|, y),使得该点到右焦点f的距离等于|of|的长。三、是否存在这样的直线例4. (2007湖北理19).(本小题满分12分)在平面直

25、角坐标系xoy中，过定点c(0,刃作直线与抛物线x2=2py (p> 0)相交于b两点.(i) 若点n是点c关于坐标原点o的对称点，求厶anbihi积的最小值;(ii) 是否存在垂直于y轴的直线/，使得/被以ac为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出/的方程；若不存在，说明理由.(此题不要求在答题卡上画图)解析：本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理 运算的能力和解决问题的能力.解法1： ( 1 )依题意，点w的坐标为n(0, - p),可设a(xr yj, bg 兀)，直线ab的方程为y = kx + p,与=2py联立得j"

26、 =2py"消去y得x2-2phc-2p2= 0y = kx- p.由韦达定理得兀+心= 2pk , %j%2 = -2/ .于是 s'abn s'bcn + s'acz 2/?|xi - x2 0 卜一兀21 =+x2)2 -4x2打4处2+8/, = 2/异血+2 ,为£二0时，(s仙n )min二2迥p2(ii)假设满足条件的直线/存在，其方程为y =rac的屮点为o', /与ac为直径的圆相交于点p, q, p0的屮点为h,则07/丄pq, 0点的朋标为丁 qr = *|ac| = * jx； + (x -/a =+ p?,|07/|

27、 = *|2di ph7 7 1 1=|0'p-0fh =-(yp2)-(2a - y. - p)2at pqf =(2ph)2 =4、g-彳 yi+a(0_q)令a-2 = 0,得此时pq = p为定值，故满足条件的直线/存在，其方程为y = 2 即抛物线的通径所在的直线.ab =v1+p解法2： ( 1 )前同解法1,再由弦长公式得jl+/ja+x2)2_4x2 = jl + /j4 声 + 切22屛1 + /血+2 ,又由点到直线的距离公式得心船qabn 2一dab知er缶当 £ = 0 时» （s人bn ）min = 2迈p2 （ii ）假设满足条件的宜线/

28、存在，其方程为y = 则以ac为宜径的圆的方程为(x-o)(x-x1)-(y-p)(y-y1) = o,习各直线方程y = a彳弋入得%2 - xjx + (a _ p)(a _ ”)= 0 ,则=彳-4(a - p)(a _ x) = 4 a-p_2 j) +a(p-a)设直线z与以ac为直径的圆的交点为pg，儿），0（兀4,儿）,则冇pq=x3-x4 =x +a(p-a)+a(”_a).令q_£ = 0,得，此时|pq| = 为定值，故满足条件的直线/存在，其方程为）=2, 即抛物线的通径所在的肓线.练习】已知双曲线方程为八才1,问:是否存在过点m“的直线】，使得直线与双曲线交于

29、p、q两点，且m是线段pq的屮点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由。解：显然x=l不满足条件，设/: y- 1= k（x 1）.联立1= k(x- 1)和/2l= 1,消去y得(2/)无2+(2/2k)x q+2k3= 0,3 由d>o,得jx + x k k3由塚，讪pq的中点，得七-亍“解得，这与矛盾，所以不存在满足条件的直线i.四、是否存在这样的v3例5（2009年广东卷文）已知椭圆g的中心在坐标原点，氏轴在无轴上，离心率为2，两个焦点分别为坊和 椭圆g上一点到存和厲的距离z和为12,圆q:2+r+2-4-21 = 0 （/：/?）的圆心为点入.求椭圆g的方程；（2

30、）求山出代的面积；问是否存在圆g包围椭圆g?请说明理由.【解析】（1）设椭圆g的方程为：二+ £ = 1（a>b> 0）半焦距为c;a b.”36 27 = 9所求椭圆g的方程为:詁沪.（2 ）点念的处标为（-,2）= -xf.f.x2 = -x2 1 2 2673x2 = 63（3）若k",由62 +02 +12-0-21 = 5 + 12f 0可知点（6, 0）在圆c&外,若k<0,由（一6）2+02-12/:-0-21 = 5-12f 0可知点（-6, 0）在圆c；外;不论k为何值闘ck都不能包围椭闘g.例6. （2009山东卷理）（本小题满

31、分14分）2 2二 + 2_ =设椭圆e: /a, b>0）过m （2,血）,n（真,1）两点，0为坐标原点，（i）求椭圆e的方程；（ii）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一-条切线与椭圆e恒有两个交点a,b,且丄°斤？若 存在，写出该圆的方程，并求|ab |的収值范围，若不存在说明理由。2 2解：（1）因为椭圆 e:二+ 务=1 （a, b>0）过 m （2, v2 ） , n（乔,1）两点，/ lr- 2 d b n<以 所1-8 1-4- - - 2f1f + + 4-2 6-2a r < k以 所q并224椭圆已的方程为瓦+才"（2）假

32、设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线椭圆e恒有两个交点a,b,loa丄03,y = kx + m设该imi的切线方程为y = d + 解方程组兀2 y2 得兀2+2（匕+加）2=8 ,即 + = 184（1 + 2/）/ + 4kmx + 2m2-8 = 0,则厶=16疋亦4（1+ 2/）（2 加 2 8） = 8（8 疋加？ +4）0,即弘'加？ + 4>o%! +兀22k2(2m2-8) 4k2 m2y2 = (fc¥j + m)(kx2 + m) = k2xx2 + km(x +x2) + nt = j- - -+ m2 m2-sk2 .要便2 2 2鬲丄

33、西，需使兀也+）卩2 = °，即加二8+ " v =0,所以3莎一8/一8 = 0,3加2 _o所以 k2= - >0x8fc2-m2+4>0,8所以即q迹或心一还33因为直线y = kxm为闘心在原点的im1的一条切线，所以闘的半径为r =v1+p92r =r1+/m2 _ 8_2a/6,3m2-83，z _ 1 +8所求的圆为x卄弓此时圆的切线心+,”都满足q半或心攀而当切线的斜率不存在吋切线为x = ±-与椭圆+ - = 1的两个交点为（巫，土巫）或（-込，土还）满足3843333：:qoa丄ob,综上，存在関心在原点的関/ +）'=_,

34、使得该関的任意一条切线与椭i员e恒冇两个交 点a,b,且oa丄03.【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定，直线与椭圆的位査关系 总线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法，能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根 与系数关系4km l + 2k 2nd 8 l + 2f五、是否存在这样的最值 例7(2009年浙江卷)已知椭圆= (a>b>0)的右顶点为a(h°)，过g的焦点且垂直长轴的弦长为1 .(i) 求椭圆g的方程；(ii) 设点p在抛物线c2：y = x2-h(he 1?)上，c2在点p处的切线与g交于点m,n 当线段4p的

35、中点与mn的中点的横朋标相等时，求力的最小值."i (a = 2解析：(i)由题意得i 。所求的椭圆方程为4,(id不妨设”(兀1,)1),“(兀2,旳)(以2+力)，则抛物线g在点p处的切线斜率为y l=/=2z, 直线mn的方程为y = 2tx-t2+h9将上式代入椭圆g的方程中，得4x2+(2a-r2+/7)2-4 = 0, gp 4(1+?)x2 -4t(t2 -h)x+(t2-h)2-4 = 0因为直线nin与椭圆g有两个不同的交点,所以有 a, = 16一r + 2(/? + 2)/2 -h2 + 4 > 0_兀1 +勺_ "尸-/? )设线段mn的中点的横处标是兀3,则'22(1 +尸)，设线段pa的中点的横处标是兀4,f +1则兀2 ,由题意得兀3=兀，即有八+(1 +小+ 1 = 0,其中的a2=(1 + /?)