知识讲解_数列综合_基础

1、数列综合编稿：张希勇审稿：李霞【学习目标】1. 系统掌握数列的有关概念和公式；2. 掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前项和公式，并运用这些知识解决问题;3. 了解数列的通项公式与前项和公式s”的关系，能通过前兀项和公式s”求出数列的通项公 式an:4. 学握常见的儿种数列求和方法.【知识网络】【要点梳理】要点一、数列的通项公式数列的通项公式一个数列色的第n项与项数n之间的函数关系,如果可以用一个公式色=/）来表示,我 们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。要点诠释： 不是每个数列都能写出它的通项公式。如数列1, 2, 3, -1, 4, -2,就写不出通项公式； 有的数列虽然有通

2、项公式，但在形式上乂不一定是唯一的。如：数列一1, 1, -1, 1,.的通项公式可以写成a” =(一1)"，也可以写成a” = cos n 7t ； 仅仅知道-个数列的前而的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。通项与前n项和s“的关系：任意数列an的前n项和s” = q +勺+ a” ；s|(h = 1)(c2)要点诠释：由前n项和s”求数列通项吋，要分三步进行：(1) 求 4 = s,(2) 求出当必2时的色,(3) 如果令心2时得出的a”屮的n=l时有a = 成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形 式，否则就只能写成分段的形式。数列的递推式：如果己知数列的第一项或前若十项，

3、且任一项与它的前一项q门或前若干项间的关系可以用一 个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。要点诠释：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等.要点二、等差数列判定一个数列为等差数列的常用方法 定义法：-an=d (常数)oa”是等差数列; 中项公式法：2a/l+1 = an + an+2 (n w n*) o an是等差数列： 通项公式法:atl=pn + q (p, q为常数)o an是等差数列; 前n项和公式法：= an1 + bn (a, b为常数)o 色是等差数列。要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性

4、。等差数列的有关性质：(1) 通项公式的推广：an = am +(n d(2) 若 m + n = p + q(m、w、p q w n、,贝ij am + an = ap + aq ；特别，若 m + n = 2p ,则 am + an = 2ap（3）等差数列%巾若你r 2、必廃等嗟数列，贝ij佥、冷成帶差数列（4）公差为d的等差数列中，连续k项和sk,slk-sk,s3k-slk, .组成新的等差数列。（5）等差数列%,前n项和为s”当n为奇数时，sn=n-a. ； s s"+i ； j奇厮2s 奇 _ n+1s 偶 n-an + £当n为偶数时，s”=m（丄产）；sw

5、san2（6）等差数列匕,前n项和为s”，则 匕s（m、nen*,且 n#n）。m -n m + ns s s s（7）等差数列a“屮，若 m+n=p+q （m、n、p qn*,且 m/n, p/q）,则 =m-n p_q（8）等差数列色屮，公差d,依次每k项和：s, s2ksk，s3k -s2,成等差数列，新公差等差数列前n项和sn的最值问题:等差数列%中a > 0 若ai>0, d<0, s”有最大值，可由不等式组來确定n；+】§（）a <0 若ai<0, d>0, s“有最小值，可由不等式组°来确定"，也可由前n项和公式i

6、伽0sn = n + （a】）n 来确定 n.要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法.要点三、：等比数列判定一个数列是等比数列的常用方法（1）定义法：纽 =q （q是不为0的常数，nen*） o%是等比数列；（2）通项公式法：g=cq“（c、q均是不为0的常数n wn*） o%是等比数列;(3) 中项公式法：此=q” d“+2(匕 a“+i a”+2工0，农wn*) <=> an是等比数列.等比数列的主要性质：(1) 通项公式的推广：=6詡5(2) 若 m + n = p + q(m、w、p q w n、,贝'j am - an = ap - a(/.

7、特別，若 m + n = 2p ,则 am = ci；(4) 等比数列色中若血、卫直、h成等嗟数列，贝lj%”、冷成勞比数列 .(5) 公比为q的等比数列中,连续k项和sk9s2k-sk9s3k-s2kt .组成新的等比数列。(6) 等比数列%,前n项和为s”，当n为偶数时,s偶希s q°(7) 等比数列色中，公比为q,依次每k项和：5, s2,-s., s3a,-s2a,.成公比为qk的等比 数列。(8) 若%为正项等比数列，贝'jflogj(a>0且睜1)为等差数列；反之,若%为等差数 列，则0" (a>0且a*l)为等比数列。n(n-l)(9) 等

8、比数列°前n项积为匕,则匕=a；q (ne n*)等比数列的通项公式与函数： 方程观点：知二求一； 函数观点：an = cig'' = -qtlq9>0且9工1时，是关于n的指数型函数；q = 吋，是常数函数；要点诠释：当gl时，若卩0,等比数列色是递增数列；若<0,等比数列色是递减数列；当0 <q< 1时，若q>0,等比数列色是递减数列；若qvo,等比数列色是递增数列；当qvo时，等比数列%是摆动数列;当q = l时,等比数列陽是非零常数列。要点四、常见的数列求和方法公式法：如果一个数列是等差数列或者等比数列，立接川其前n项和公式求和。

9、分组求和法：将通项拆开成等差数列和等比数列相加或和减的形式，然后分别対等差数列和筹比数列求和.如： an=2n+3n.裂项相消求和法：把数列的通项拆成两项z差，止负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分 母为非常数列的等差数列的两项积的形式.若!,分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式，”+ b)+ c)nii 1 1 z 1 1 、 / 1 1 1贝 ia =()，如 sp 二=an + b)(an + c) c - b an + b an-c/7(n + l) n n + 1错位相减求和法：通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式:你其中bn是

10、公差d#) 等差数列，cti是公比够1等比数列，如an=(2n-l)2n.一般步骤：s” =加 1 + b2c2 + + bs + bncn，则qsn = b,c2 +所以有(1- q)sn = bc + (c2 + c3 + cn )d 一 bncn+要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点.要点五、数列应用问题数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重耍内容，解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有 关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题，需利用数列知识婕立数学模型.建立数学模型的一般方法步骤. 认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于

11、哪类应用问题；弄清题【屮的主要已知事项；明确所求的结论是什么. 抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立朋标系，将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达.将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式(如函 数关系、方程、不等式).要点诠释：数列的建模过程是解决数列应川题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基木暈.【典型例题】类型一：数列的概念与通项1 357例1写出数列：一一，一，一一，一，的一个通项公式.5 1017 26【思路点拨】从各项符号看，负正相i'可，可川符号(-1)"表示；数列各项的分子：1,

12、 3, 5, 7,是个奇数列,可用加-1表示;数列各项的分母：5, 10, 17, 26,.恰是22 + 1,32 + 1, 42 + 1,52 +1,可用0 + 1)2 + 1 表示;【解析】通项公式为:an2/1-15 + 1)2 +1【总结升华】求数列的通项公式就是求数列中第项项数/tz间的数学关系式。如果把数列的笫1, 2, 3,项分别记作/(i), /(2), /(3), .»那么求数列的通项公式就是求以止整数(项数)为口变量的函数f(n)的表达式; 通项公式若不要求写多种形式，一般只写岀一个常见的公式即可； 给出数列的构造为分式时，可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归

13、纳，还可联想常见数列 的通项公式，以此参照进行比较.举一反三：q【变式1】数列：-1，15,24,的一个通项公式是(5792z讪+ 3)a.d” =(_1)” b. an=(1)"-“ 2 + 12/1 + 1c“ = (1)"(”;叮1d. afl=(1严"2)2斤+ 1【答案】采用验证排除法，令 =1,则a、b、c皆被排除，故选d.【变式2】给出数表：45678910(1) 前加行共有儿个数？(2) 第加行的第一个数和最后一个数各是多少？(3) 求第加行的各数之和；(4) 数100是笫几行的笫几个数？【答案】(1) m(m +1)；2(2) m( in-1)

14、+ 1, 加(加 + 1)；2 2(3) m(m2 +1)；2(4) 第14行的第9个数。类型二：等差、等比数列概念及其性质例2已知等差数列色, s”=25, 52m=100,则s3“=()a. 125b.175c.225d.250【答案】c【解析】方法一：色为等差数列， s”,s“-sn,s3,厂52n成等差数列,即 2(s2” s”)= s” + (s3” 一sq 2(100 - 25) = 25 + 為 一 100),解得 s3n= 225,选c.方法二 取特殊值，令二1,山题意可得sn =s,= ax = 25 ,s2n =s2=a +a2 = 100,:禺=75 ,d =a2-ai

15、= 50,* s3” = s3 = _ 3x(3 1) , eg=3ay ha = 225,2选c.方法三：s = nat += 25, s2 = 2na, + %7 = 100两式相减可得hq+空匸=753mz| + 3"(：t)d=75x3225.选c.【总结升华】解法一应用等差数列性质,解法二采川特殊值法,解法三运用整体思想,注意认真体会每-种解法，灵活应川.举一反三：【变式】已知等比数列他, s”=48, 52/, =60,则s3”=（）5a.75b.2880c.-d.634【答案】d例3如果一个等差数列的前12项利为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和z比为32： 27

16、, 求公差.【解析】设等差数列首项为,公差为d,则12 + 丄 xl2xlld = 3541 21 （12 +66 = 354a. =22 二工 -2d = 0d =51 276d + x6x52d1 2【总结升华】1. 恰当地选择设未知数，列方程（组）求解。方程思想在数列中很重要。2. 等差（比）数列的首项和公差（比）是关键。举一反三：【变式i】已知：三个数成等比数列，积为216,若第二个数加上4,则它们构成一个等差数列，求这三个数。【答案】设这三个数为纟、aq,q由题知宀两=216,解得。=6, g又v-, 6 + 4, 6g构成等差数列， g2x(6 + 4) = + 6g,即3/10g

17、 + 3 = 0, q这三个数为2, 6, 18或18, 6, 2o【高清课堂:数列综合381084例】 【变式2】已知两个等比数列, bn,满足q=d（q>0）,勺一勺=1,人-色=2 , b-a3 = 3.（1）若a = f求数列伽的通项公式；（2）若数列弘唯一,求d的值.【答案】（1）an=（2 + v2r'或an =（2-血）心a=-3例4.等差数列%中，=13,53=5n,则它的前项和最大，最大项的值是【答案】7, 49【解析】设公差为d,由题意得3ai+±?d=ll山+上巴d,得d=-2,2 2sn有最大值.乂 s3=s, 口j得 n= + =7,7x6s7

18、为最大值，即s?=7xl3+(-2)=49.2【总结升华】等差数列的前n项和公式是一个二次的函数，当d<0时，函数有最大值。举一反三：【变式】若数列an是等差数列,数列bn满足bn=an.an+ran+2（nen）, 5的前n项和用s.表示, 若aj中满足3a5=8a12>0,试问n多大时,s.取得最大值，证明你的结论.故aj是首项为正的递减数列.yj + (n-l)6/ >0则有<7人 d + nd 505解得：15 <n<16 , /. n=16,即级6>0, avo即：a)>a2>. .>ai6>0>ai7>a

19、is>.于是 bi>b2>.>b14>0>b17>big>而 bi5=a15-ai6-ai7<0b16=ai6-ai7-ai8>0*. s4>s|3>.>s1 ,s14>s15, s5<sj669又 ai5=- d>0, ajr= d<03i5<lcli8l ： lb5lvb6，即 b5+b6>0/s6>si4,故 sn 中 s16 最大例5设sn、tn分别为等差数列%, bj的前n项和,满足垃=7 + 1 ,求鱼.tn加+ 27 九【思路点拨】用好等差数列中与如的-个关系：

20、s2n+1=(2n+l)编是解好木题的一个关键【答案】%3【解析】21, 、方法一：尙二2知二+冋二3(® 夠丿二$2|二 7x21 + 1 二 4久2%勺+妇当勺+妇)r2i 4x21 + 273方法二：设sn =k(jn + )n, tn =(4n + 27)n(k#),.a,i=s11-s1o=llk(7xll+l)-lok(7xlo+l)=148kb 】=t 11 -t io= 11 k(4x 11 +27)- 10k(4x 10+27)=1 ilk如_ 14% _4兀_ 11r【总结升华】等差数列的中项在前n项和式中的应用是解决本例的关键，也应注意到前n项和与通项公式的联系

21、.举一反三：【变式】等差数列编中,sn=50,务+勺+冬+印=30, an_3 + an_2 + an_x +an = 10 ,求项n.【答案】ax + a3 + tz4 = 30(1),q” 一3+色-2+仏+%=1°，由(1) + (2)得：4(°+色)= 40n (%+a”)= 10,呦 +%)n 50 =殳122 2=> /? = 10.类型三：与s“的关系式的综合运用例6已知止项数列如，其前n项和sn满足1()s”+5d”+6,且，a3, ai5成等比数列，求数列aj的通项【思路点拨】已知s“与色的混合式，一般采用降也标作差的方法，化为d”的递推关系式【解析

22、】t0s“ =尤+5匕+6,a lotz) = a； + 5d + 6 ,解之彳导 ai=2 或 ai=3.又 10s-严 q二+5°心+6 52 2),由得 io% = &)+5(色一 _),即 a+%_i)a 5)=0 an+an>0, 卜i=5(r2)当 a=3 时，a3=13, ai5=73, ai，af ai5不成等比数列lai 工3；当 ai=2 时，a3=12, a】5=72,有 a32=aiai5,5 = 1)(« > 2) 3j29 5ri"3.【总结升华】等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是色= 其注意首项与其他各

23、项的关系.举一反三：【变式1】已知数列a*的前n项和公式分别为(1) sn=n2-2n+2. (2) sn=3” 一 2"分别求它们的通项公式.【答案】(1)当 n=l 时，ai=sj=l ；当 n>2 时，an=sn-sn.|=(n2-2n+2)-(n-l)2-2(n-l)+2=2n-3,乂 n=l 时，2n-3#ai,.1(斤=1) 6z = n 2n-3(n>2)(2)当 n=l 时，ai=s=；23 313当 n>2 时，an=sn-sn.i=(- )n-l-( - )nd-l= - x(- )'bl,222 21 31xn=l 时，一(一)

24、6;=一=如，2 22. « =-% (4 n' (nen).”22【变式2】已知数列色的询川项和为s”，s”二丄(£1)swn*)。(2)求证：数列匕是等比数列。【答案】(1)由 s=(坷1),得 d=(坷1),1即 q + 色=_ (。2 _ 1)，又 52=|(6/2-1),(2)证明：当 h>2 吋，a”一1丄，又鱼"丄2d 2所以“为首项为-丄，公比为-丄的等比数列。类型四：特殊数列的求和例 7.求数列 1,。+。2卫2+/+。4,/+/+ / +泸,(ah 0)的前 n 项和 sn .【思路点拨】本题求和后，不宜直接分组，应该把通项化简变

25、形后，再决定如何分组求和。【解析】(1)当匕工1 时，d” +丁 + +/“2 =丄(丁-11-a 1 -a:.sn =丄(1 _a) + (a _/) + (/_/)+ +(-11 -a(l + a + t? + . + a"t)-a(i + d2 +/+°2”2)-a 1 ,2所以对以得到：s”弓一荷)=时【变式2】求和:sn =an + asaf2 + . + 6z2/-2+b"(nwn-i-a -a21i-a_(1-/)(1-严)(l-d)2(l + d)(2) 当 a = l 时，sn = n(n + 1):(3) 当 d = l,原数列为 1, 0,

26、1, 0, 1, 0*m若斤为偶数,令n = 2k (rwn ),贝ij sn=s2k =l + 0 + l + 0 + . +lq = k=-；»7 _l 1 若兀为奇数，令 = 2k 1 (rwn*),贝u sn=s2k =l + 0 + l + 0 +. +1 + 0 + 1=.【总结升华】分类讨论q和n的奇偶是本例化简的关键.举一反三：【变式1】求数列(l-).(l-2扑-存(為)的前n项和。【答案】2【答案】a=0或b=0时，s”=b"(d")当 a=b 时,stl = (n + y)an ； -1 32 -1 n2-l 11-3 2-4 (”一1)(“

27、 + 1)1歹 亍 子 (7172/i(n+ 1)当a h b时，sna-b类型五：由递推关系求数列通项公式2 例 8.已知数列%中，q=l, an+l = atl +1,求.2 ? 【思路点拨】把匕+=色+i整理成色+厂3=(色3),得数列a3为等比数列。【解析】2法一:设(陽+i + a) = _(a” + a),解得 a = -32即原式化为(+厂3) = 5(%3)设bn=an-3，则数列化为等比数列，且b =a-3 = -22 ? ：b“ =an-3 = (-2 r =>t7w =3-3x (-)h2法二：ta“+i 一§6=12=1(«>2)2 由一

28、得：色+i -色设bn = an+x -an,则数列bn为等比数列2 2/+1 - f2 a=3-3x(-rt 2 2 22 2 2?2°2 法二：= 4 +1, a? = +1 = () h 19 ci. = a? +1 = () + () h 1, 3 13 3 -334 3 333322i2"3 心332 =3-3x(-r【总结升华】求数列通项公式，特别是rh递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘等基本方法外,还应注意根据递推关系式的特点，进行转化，变形为与是等差(等比)有关的数列.举一反三：【变式1】数列色的首项为3,血为等差数列且bn=an+-an(nen.若则仇

29、二一2,blq =12,贝ij az a. 0【答案】bb. 3c. 8d. 11由已知知乞=2n-=2n- &由叠加法(tz? d) + (°3 dj + + (您 ci6h442 + 0 + 2 + 4 + 6 = 0 您=4 = 3【变式2】在数歹ijan中,ai=l, an+i=,求a”1 1=n色+1an1 + nan【答案】%亠,.丄=匕叫二丄*,1 + 必“a 沖anan 11 11=(h-1) (h > 2)21 j11n将以上各式叠加,得= 1 + 2 + + («-!) = -(/?-1)(/1 >2)an ai2= l + -(n-l)(n>2)色 2xn=l 时，1 +丄(1 1) = 1 = -!-2qq”= 2 2 (皿疋)n -n + 2类型六：应用题例9.某商场因管理不善及场内设施陈i日，致使年底结算亏损，决定从今年开始投入资金进行