积分中值定理在数学分析中的应用(优秀毕业论文)

1、毕业论文题 目 积分中值定理在数学分析中的应用学生姓名学号所祁完（蔡数学系专业班级数学与应用数学专业2006级5班指导教师完成地点2010 年 5 月 30 口积分中值定理在数学分析中的应用优秀论文摘 要本文主要介绍了积分中值定理在数学分析中应用时的注意事项及几点主要应用，这些应用主要是： 一.求函数在一个区间上的平均值；二.估计定积分的值；三.求含有定积分的极限；四.确定积分的符号；五.证明中值§的存在性命题；六.证明积分不等式；七.证明函数的单调性.关键词积分；中值;定理;应用1引言积分中值定理是数学分析中的主要定理z，同时也是定积分的一个主要性质，它建立了积分和彼 积函数z间的

2、关系，从而我们町以通过被积函数的性质来研究部分的性质，有鮫高的理论价值和广泛应 用本文就其在解题中的应用进行讨论.2 预备知识定理2.11（积分笫一中值定理）若/（兀）在区间a,b±连续，则在a,b±至少存在一点歹使得f 代畑=-aa<<b.证明 由于/（x）在区间b上连续，因此存在最大值m和最小值加.由m < f（x）<m,xea,bt使用积分不等式性质得到m（h-a）< £ f（x）dx < m（b - a）,或fn < 0二）f fgx < m 再由连续函数的介值性,至少存在一点歹w a,b,使得/（沪在打（以

3、.定理2.2（推广的积分第一中值定理）若f（4m 在闭区间k，b上连续，且g（x）在a,b上不变号，则在o,b至少存在-点歹，使得<<b.证明 推广的第一中值积分定理不妨设在o,b上g（兀）> 0则在o,b上有mg(x)< f(x)g(x)<mg(x-其中加，m分别为/(兀)在a上的最小值和最大值，则有 mgx)dx< fx)gx)dx < m fg(q/x,若(g(xlx =(),则由上式知j fx)gx)dx = 0,从而对k，b上任何一点,定理都成立.若(1(兀冷北0则由上式得则在d, b上至少存在一点g,使得f f(x)g(x)dxf /(x)

4、g(兀肚=g(兀禺,d <<b.显然，当g(x)三1时,推广的积分第一屮值定理就是积分中值定理3积分中值定理的应用由于积分屮值定理可以使积分号去掉，从而使问题简化，对于证明包含函数积分和某个函数值z 间关系的等式和不等式，也可以考虑使用积分屮值定理.在使用积分中值定理时耍注意以下几点：(1)在应用屮要注意被积函数在区间司上连续这一条件，否则，结论不一定成立.例如错误！未找到引用源。显然/(x)在x = 0处间断.由于龙&兀q疗胆 fx)dx =f(x)dx + j4 f(x)dx = (一 cos xlx + j4 cos xdx = 0,71 714444在上，/(x)h

5、0,所以,对任何-彳，彳 都不能使njx)dx = 2f.4(2)定理中的在区间上不变号这个条件也不能去掉. 例如令/(x) = sinx,g(x) = sinx5x e71 71山于7t上/(兀以兀加二 jjrsin2x6/x = -(x-2 2 'sinxcosx)l2t = 0,"ir gxlx = r sin xdx = 0,99所以,不存在71 717tk£/(x)g(4/“ 疋)氏 g(兀冷.22 定理中所指出的g并不一定是唯一的，也不一定必须是d,b的内点 例如令 /(x) = 1,xg a,/?,则对 e a.h,都有f(x)cbc =这也说明了 $

6、未必在区间a,b的内点.卜面就就其应用进行讨论.3. 1求函数在一个区间上的平均值例1试/(x) = sinx求在0詞上的平均值.11q平均值 /(歹)=r sin xdx =cos x= 717171例2试求心形线厂=d(l + cos0),o <0<171上各点极经的平均值.解 平均值厂(0)= 1(1 + cos 0lo = (& + sin 0 i 訂=a.注 在解某区间上一个函数的平均值时，我们只需要在这个区间上对这个函数进行积分，然后积 分结果除以区间的差值.在这里主要是应用了积分第一小值定理，所以求解其类问题时，一定要理解 积分中值定理的定义.3.2估计定积分

7、的值例3估町诉于的低解由推广的积分第一中值定理，得因为所以j,vtt7x19，其中仁0,1<, < 20v220 #i + §62020v2）vl + x6 20例4 估计1的值.）1 + 0.5 cos x解 因为/（兀）=-在0,2龙上连续，且1 + 0.5 cos x囲g） = 2,錨/岭 所以由积分第一中值定理有=-2- "dx 5 2 2龙=4龙.43 山 1 + 0.5 cos x在估计其类积分的值时,首先我们要确定被积函数在积分区间上连续的基础上确定被积两数在 积分区间上的最大值和最小值,然后再利用积分屮值定理就迎刃而解了.例5解 因为f（x =

8、=在（）上连续，在（0,1）内可导, vl + x且广（x）= ”（18 + 1严）在（0,1）内无解，2（1 + x）2即/%） 0,x g o,l等号仅在兀=0时成立.故于(兀)在0,1内严格单调增,即o = /(o)</(x)</(i)=-,所以由积分第一小值定理有0叮牯”為在估计其类积分的值吋，首先要确定要积分的函数在积分闭区间上连续，在开区间上可导，然后 判断函数在积分区间上的单调性,最后利用积分小值定理就可以估计积分的值了.综上，在利用积分中值定理估计积分的值时，我们要根据不同的题型给出不同的解决方法，这也 是我们在学习过程中逐渐要培养的，积累的好习惯.3.3求含有定积

9、分的极限例6求极限lim"里错误！未找到引用源。为口然数./?>00兀解利用中值定理，得因为y(x) = 在；7,h + p上连续，由积分中值定理得xt+p sm x .axx阮 ws + p当 ” t oo 吋，歹 t oo，而 i sin | < 1.故lim rdx错误！未找到引用源。二错误！未找到引用源。二0.?：><» 41兀例 7 求 lim 2 smnxdx "t+8 4)解若直接用中值定理lim 2 sin/?x% = sinn”t+8 4)2jt因为05歹5空而不能严格断定sin"兀to,其症结在于没有排除，故采

10、取下列措施n/r cnlim psin"兀dx二 p、sirtxdx+ 错误！未找到引用源。p sinnxdx . “t+8 «ueb其小g为任意小的正数.对第一积分小值定理使用推广的积分第一中值定理，有£ 飞 sin"m¥.lim”一>+8而笫二个积分由于£得任意性知其课任意小. 所以注 求解其类问题的关键是使用积分中值定理去掉积分符号.在应用该定理时，要注中值g不仅依 赖于积分区间，而且还依赖于根式屮h变量斤的趋近方式.3. 4确定积分的符号例8确定积分f x3exdx的符号.=-fx3exdx利用积分中值定理,得兀（/ 一

11、厂）'0.（其中0<* <3）乂兀。在-3,3上不恒等于0,故x3exdx > 0.注在解决其类题时,我们常常会以0作为上下限的中介点，然后把原积分写成以0为中介点的两 个积分的和，积分化就成两个以0为屮介点且上下限一样的积分和加，最示利用积分屮值定理确定积 分的符号这里主要使用了积分小值定理和函数的单调性.3.5证明中值？的存在性命题例9 设函数/（兀）在0,1±连续，在（0,1）内可导，且3f（x）dx = /（0）,证明北 w（0,1）,使广（自=0,3证明由积分中值定理得乂因为/（x）在0,1上连续，在（0,1）内可导.故/&)在(),77】

12、上满足罗尔定理条件，可存在一点§w(o，)u(o,l),使广(§) = 0注 在证明冇关题设中含冇抽象函数的定积分等式时厂般应用积分屮值定理求解，掌握积分屮 值定理在解此类问题时至关重要,是我们必须要好好掌握的.3.6证明不等式1”91例 10 求证一< f /dx<.20v2 vtr 20证明 f x dx = 1f x9dx = - -/ .其中g g 0,1,于是由丄< .1< 1即可获证.v2 vi+f例11证明壬訂/必 <43 f + x-x v2证明估计连续函数的积分值f(xlx的一般的方法是求/(兀)在a,b的最大值m和最小值m，

13、则m(b -a)< f fxlx < m(b-a).因为(1丫i 2丿所以2d dx1例2证明证明若 g(x)>0f 则本题中令m f < 打6)也肚 < m佔计积分f(x)g(x)dx的一般的方法是：求/(兀)在k，b的最大值m和授小值血，又因为所以(x w 0,1)lx<110例 13 证明 2幺厲 < ex2'xdx<2e2 .证明 在区间0,2上求函数fx） = ex2x的最大值m和最小值血.广（x） =（2兀-1）",令厂（兀） = 0,得驻点兀=*比较*（2丿（1 1(2丿,/（0）, /知f 4 之4为/&

14、）在0,2 ±的最小值，而/二护为/&）在（）,2上的最大值.由积分中值定理得_丄&£ 4（2-0）< p?-vt/x<e2（2-0）,即1 2 ,2e 4 < exlxdx<2e2,注 由于积分具冇许多特殊的运算性质，故枳分不等式的证明往往富冇很强的技巧性.在证明含 有定积分的不等式时，也常考虑用积分中值定理，以便去掉积分符号，若被积函数是两个函数z积时, 可考虑用广义积分中值定理如果在证明如11和12例题吋，可以根据估计定积分的值在证明比较简 单方便.3.7证明函数的单调性例14设函数/（兀）在（0, + oo）上连续，f（x）=

15、 （x-2r）/（r）jr，试证：在（0,+ oo）内，若/（兀） 为非减函数，则f（x）为非增函数.证明 f（x）=（兀- 2t）f （讪=一 2 f tf（tlt,对上式求导，得f(x)=打(也 + xf(x)-2xf(x) = f f(t)dt - xf(x 利用积分中值定理，得ff(x) = xf(-xf(x) = x/()-(° " s)，若/（x）为非减函数，则/（§）_/（x）<o, 所以ff（x）<0,故f'（x）为非减函数.综上所述，积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉,从而使问题简单化. 因此,对于证明有关

16、题设小含有某个函数积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者 所求的极限式屮含冇定积分时，一般应考虑使用积分中值定理，去掉积分号.在使用该定理时,常与微 分中值定理或定积分的其他一些性质结合使用，是所求问题迎刃而解.参考文献1 华东师范大学数学系数学分析m.北京：高等教育出版社,2001.217-219.2 张筑生.数学分析新讲m.北京:北京大学出版社，1990. 92-95.3 刘玉莲，傅沛仁.数学分析讲义m.第二版.北京:高等教育出版社,1996. 43-47.4 刘鸿基.数学分析习题讲义m.江苏:中国矿业大学出版社,1999. 85-92.5 石建成，李佩芝,徐文雄.為等数学例

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18、北京：高等教育出版社,2009. 285-309.i 12 1 al jing-hua.characters equal definitions and application of convex functionj.journal of kaifeng university, vol.l7,no.2,jun.2003. 122-164.i 13 i w. rmdin, principle of mathematical analysis (second edition) , me graw-hill, new york, 1964.96-102.mean value theorem in mathematical analysisli zhengbang(gradeo6,class5, major in mathematics and applied mathematics