曲径通幽---课堂几何教学中,培养学生探究能力的尝试

1、曲径通幽iii课堂几何教学中，培养学生探究能力的尝试（南海实验学校戴瑜）摘要：几何教学最重要的是发展人的思维。在学习各个知识点的同时，培养岀的思维习 惯、思维能力、思维训练这方面的培养是让学生终身受益的。在教学中，我对几何部分 情冇独钟，在实践教学逐步形成了自己的一些做法，现总结如下，敬请批评指正。关键词：渗透本质、提炼方法、分割题目背景：在一次备课组会议上对一道杭州中考模拟题的讲解过程讨论引起的思考题目：我们知遒“平移”是图形变换的一种重要的常见的形式（1丿 分别写出一次函数丿=2兀+ 1向上平移2个单佞和向右平移1个单住后的表达式；2（2）分别写出反比例因数y二一向上平移1个单住和向右平移

2、2个单住的表达式；x（3）如果有一个一般的丿关于兀的函数关糸式可以写成y = f（x） f那么请你洪着分别 写出因数丿=/（兀）向上平移a个单住和向右平移个单住后的表达式（a0,0丿（本题的学生的得分率为0.21丿t,：直线与抛物线的左右平移可以通过“左加右减、上加下减”的方法操作，而反比例 函数图象的左右平移不能用“左加右减”的方法操作，超出初中数学大纲的范围，不必 理会？t2：函数的上下平移只是变量y的变化，向上（下）平移只涉及变量y增加与减少；而函数的左右平移变量兀的减少与增加；由此我们可以得到这样的规律,一般的y关于兀的函数关系式可以写成y = f（x） |.z.j±平移4个

3、单位和向右平移个单位后的表达式（°0上0）为丿=/（工-小+ 4, “左加右减、上加下减”的法则依然适用。右：函数图象的平移的本质是平面直角坐标系的平移，函数j = /（x）向上平移a个单位和 向右平移个单位,本质口j理解为将平面直角坐标系向下平移a个单位和向左平移个单 位，那么两变量（工）y n，y-a）进行替换7；只让学生死记驶背结论，没有教给学生公式的出來和合理思考的方法,学生只会机械 的模仿对于第二小题一筹莫展，而為从感性认识中得到模糊的结论未从图形平移的本质 研究,学生会感到枯燥乏味，不能了解数学知识的本质，出此我们不仅应注意数学显形的数 学知识的传授，也应注意对数学本质的

4、理解，才能把课讲活，讲透、讲深。现在，很都学生觉得几何难学，没冇兴趣，有些教师觉得几何难教，其实几何内容 中隐含着丰富的数学思想方法和几何的本质，若在平时的教学中能不断的渗透这些本质 与思想方法，学生就会形成解决几何问题的能力，发挥丰富的想象力与创造力一、让几何定理的证明渗透几何变换的是思想本质案例1、定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半新浙教版对于此定理的引入：任意画一个直角三角形，作岀斜边上的 中线，并利用圆规比较中线与斜边的一半的长短，你发现了什么？再画几 个直角三角形试一试，你的发现相同吗？-般的直角三角形有以下性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半实际教学中，我认为这样证明

5、方法让学生难以真正理解定理的木质，让学生对几何逻辑严密性产生怀疑，若能从几何教学的木质出发，从图形的对称变换的角度來理解定理本身会更好，为此我作这样的引入安排：hb e让每位学生准备一张三角形模型纸片t：你能用折出直角三角形斜边上的小线吗？s：将直角三角形c叠在b处，再将三角形dbe关于直线bd折叠，线段bd就是rtaabc的中线,t：请你说明为什么bd是rtaabc斜边上的中线？ s：（学生思考）s：由题意 decadeb.bd=cd, zc=zdbc,而zc+za二zdbc+zabd二90°aza=zabd, abd=adabd=cd=ad=1act：以上的实验操作你可以从中得到

6、什么结论?直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半二、在几何教学适时提炼数学的思想方法，寻找解决问题的策略1、模式一观察、猜想、证明，引导学生通过大量的图形变化进行观察，并动手进行并猜想，发现新知识。让学生感受成功的喜悦如:例如等腰三角形abc中，d是斜边ab的中点，e、f分别为腰ac、bc上（异于端点）的点，de丄df, ab二12,/设x二ed+df,则x的最小值厶观察一、e、f两点变化的路线，线段de、df的长短变化观察二、寻找线段de、df变化规律（de二df、并点d到ac、bd的垂线段最短） 证明（略）2、模式二、观察新问题、回忆旧知识、转化数学问题、层 层深入解决问题点e、f分别是矩形

7、abcd边ab、bc的中点，连接af、ce2a+b = x4a + 26 = 4x观察问题，用设未知数s矩开如cd二x,用未知数x來表示s四边形加仞t：根据现有知识可用x表示的面积有？怎样用含x的代数式表示s四边形加仞s：整体减去局部，t：如何表示四边形abcg的面积？现有信息？t ：出上面的结论求出s四边形醪仞s：不知如何表示scgt：图中能用x的代数式表示的图形面积有吗？ s：t： scg与有何关系（冋忆知识点）？ s：a4cg二cgsacecet：那么能否从四边形本身分割用未知数x來表示s四边形加仞s：连接ac,将四边形agcd分割成zxadc、aacg,t：怎样用x表示aadc、aac

8、g的面积？禺过f作ab的平行线交ce于则器=筹“筒斗从而那么怎样求出岂,s：寻找相似或平行线（联想与思考） 弟连接fe,由中位线想到平行,可知箸二签斗从而求出 焉冷从而命题可求求出誓冷从而命题可求t：如果e、f不是中点，上而的证法是否具有一般性吗?s：学生讨论并总结，从中捉炼思路方法以上两种不同角度的止体现数学的两种数学思想方法，方程的思想与转化的思想，让学生站在高处看问题，借助于iii经验、知识解决新问题教学中强 调化归、转化及数形结合的数学思想，强化分析过程，教会学生分析方法，逐步加大难 度。三、分割中考综合题目，抽取基本图形结论，化归题目类型，揭示数学本质。几何证明题要分解为多个小题口去

9、做，每个题有好几个问题组成，或者一个综合题用 到多个知识点，它们是一环扣一环的。在教学小我注意指导学生为解题设置台阶，不要 急于说自己不会，而是先要求自己做到哪个小结果，再说下而怎么办。这样学生就把这 个题口和以前的一些类似题口挂起钩来，让自己能更进一步。如有角平分线和平行线就 能出现等腰三角形，平行线与中点想到三角形的全等，相似图形中的a型图和x型图， 再如在菱形中我引导学生研究其中的直角三角形和等腰三角形，学生能自觉的向那方而 考虑。这样，当他们遇到综合题口时，能主动分解成遇到过的相关问题或基本图形，先 解决部分问题。下而是一题几何综合题分析课的教学片段，谨供大家参考 例：如图矩形oabc

10、的边oc、0a分别与x轴、y轴重合，点b的坐标为（侖，1），点fd是ab边上的一个动点（与点a不重合），沿0d将oad对折后，点a落到p处，（1）若点p在一次函数y = 2x-l的图象上（如图1）求点p的坐标；（2）若点p在抛物线j=ax2±,并满足apcb是等腰三角形，请直接写出该抛物线的解析式;（3）当线段0d与pc所在的直线垂直时，在pc所在的直线上作出一点m,使dm+bm最小，并求出这个最小值问题1： t：根据题目给定的背景形oabc的边oc、0a分别与x轴、y轴重合，点b的坐标为（爸，1），请补充你能得到的相关的其他条件?（线段的长度、角的等量，ao = bc = , ab

11、 = 0c =羽;s2：连结 ac、bo, zaco = zboc = 30°, zcao = zaob = 60°t：,点d是ab边上的一个动点（与点a不重合），沿0d将（）"对折后，点a落到p处，根据题意，请同学分析点d与点p变化的情况；变化中有无不变性？s： 0p=l,点p在以0a为直径的半圆上，点d在线段ae上运动?4t：可设p的坐标（工,2兀一1）0卩二1兀2 +（2兀一1）2=1解之：xi=-?x2=o （不合5b舍去）,p （塞）问题2：点p在抛物线j=ax2上，并满足apcb是等腰三角形，请直接写岀该抛物线的解析式t：我们已知点p在以0a为直径的半

12、圆上，又保证apcb 是等腰三角形，你能从图中作出点p吗？s：以bc为底，作出bc的中垂线与与半圆的交点；以 c为圆心,bc为半径作圆与半圆交点;以b为圆心,bc 为半径作圆与半圆交点：p|、刃p3重合且与马关于x轴对称t：怎样求出p点的处标及抛物线的解析式？ s： p2宀即为对角线的中点cbp = pc = op1) ； p2 p3重合且与马关于x轴对称可求鬥；将p点坐标代入y = ax2 即 nj问题3：当线段0d与pc所在的直线垂直时，在pc所在的直线上作出一点m,使dm+bm最小，并求出这个最小值t：当线段0d与pc所在的直线垂直时，寻找与0d垂直线段？s :运动过程中ap丄0d,因为

13、0d丄pc所在直线，点p必在对角 线 ac±?°t：请计算 ad 的长度；s：在 r0od 中，ao=1, z0ac=zad0=60 ad=-t：问题转化为在矩形aocb中，a0=l, ad=4-在ac上找-点使dm+珈最小?你以前是否遇到过这样的问题吗？（回忆）s：已知点b、d,在ac上找一点m使dm+bm最小?t：回忆过去怎样解决这个问题；（两点之间线段最短）s：找d点关于ac的对称点 连结bd'与ac的交 点m即为所求，只需求出bd'（学生完成自行完成以下步骤）本题是中考较难的综合题，在上课的过程中教师逐步将条件分解求岀更多条件，以提 问的形式分割为若

14、干小问题，抽取其中的基本图形，使学生的知识的迁移能力得以加 强，并注重在题廿本身的数学思想、数学方法、数学本质的理解，从而意识提高学生 解决综合题的能力。四、在一题多解和多题一解中锻炼学生的思维、提高学生的能力、培养学生的素质几何题海中，有很多典型例题，它们特别适合同学们钻研探讨，。如这是一堂初三b班 数学习题课中有关几何题复习课，本以为一种单一几何证明，却让我发现学生的思维的 火花是如此的美妙，而我其实只是其中的“配角”，是学生让我体会数学的本质，数学 之美。而我该做什么呢?题已知abc中，ab=ac, za=90° , d是bc上任意一点,de丄ab于e, df丄ac于f, m是

15、bc的中点，连结em、mf、ef, (1)求证：ed=af(2)猜想aefm的形状，并证明设计安排：一、根据题意局部画图，挖掘更多潜在条件t：图中ab=ac, za=90° de丄ab, df丄ac,根据现有条件你还能得其他结论吗?abed. adfc是等腰rta四边形aedf是矩形，那么第一证明成立t：你觉得aefm的形状是什么三角形？你是怎样考虑的？等腰直角三角形，凭直觉；s2：等腰直角三角形可以通过用量角器量、线段测量;s3：等腰直角三角形，当d在b点时，aefm与aabm重合；当d在c点时，aefm与acm重合，而aacm是等腰直角三角形；当d在m点时，amef是等腰直角三角

16、形t：请你对三位同学的冋答作出评价？ s： o ot：那么怎样证明此amef就是等腰直角三角形呢?zemf二90。)，图中有没有全等三角形？怎样构造一对包含em和fm的两个三角形有全等的可能？说说你的想法?s迪结am, m m是等腰直角三角形bc边上的中点、又是高线、 又是叫平分线；abem与aamf看上去全等，可以证明全等；（学生的想法与我的想法不谋而合，我非常高兴，正当我沉浸完成状态中，我突然发现有两、三位同学切切私语）问：请同学发表不同感想？s2：我觉得可以找特殊情况与一般情况的联系，过m点作ab、ac的垂线证明aegm与fmh全等s,我的做法与他们不同，我选择过e、f分别做bc的垂线,

17、证明aegm与mfh全等t：你是怎样证明的呢?设 bd=a, cd二b,可得 eg=mh=-6,gm=fh=- = -a , zegm二zfhm二90° 可证2 2 2 2（此时下课铃声响起，回到办公室，回想起刚才上课情景，我感觉我该作些什么；几何 作为人类的智力体操，锻炼着一代又一代的公民。同学们的学习过程中充满乐趣，充满 挑战，不少人另辟犀径成功登顶，不少人遇到困难百折不回。这不正是几何的魅力所在 吗。作为教师，不能只守着那一条经典的捷径等学生找上门來，抹杀学生的其他想法， 把学生的灵感扼杀。而是主动出击，准确把握学生状况，充分估计学生们可能岀现的各 种情况，及时疏导学生的思路，

18、让学生能通过自己的思维理解知识应用知识形成技能。这需要我们提高口己的教学水平，认真充分地准备每一节课，在课堂上用更多的精力研究学生改善师生活动。）课后我找到回答问题的两位学生问：你为什么想到这种辅助线方法解决全等?s?学生给出一道过去我们解决一道习题：己知：正方形abcd与正方形oefg,将正方形oefg绕0点旋转任意角度求重叠部分的面积？当时你用找特姝情况与普通情况的联系（图2）多，就想用这样方法构造全等，尝试成功。（曲此想起波利亚怎样解题中的经典提问：你以前见到过类似于结论的问题吗？是的教 师若能在上课的过程通过这样提问來激活学生思维，学生不能解决几何问题的主要原因 是不会分析，不知道为什

19、么这样去想。我们知道，每个学生脑海里都有那些要用的知识 点，但学生不能把它们根据题廿的需要组合起來，没冇一条思路连接这些知识，于是就不少学生出现了背定义定理滚瓜烂熟，而独立做题时无能为力。在几何证明题教学时， 我在分析问题上卜足功夫，力求教会学生分析方法。如在三角形全等的题目中，我指导 学生分析题冃中的条件哪些可以直接用作三角形全等的条件，哪些需要变为三角形的边 角后在使用；结合直接条件根据三角形全等的判定条件还缺什么条件，应当由已知条件 怎么变形得到。这样就防止学生把所有的条件写在一起，眉毛胡了一起抓。学生有了初 步的推理能力后逐步加大难度，慢慢放手，让学生对几何部分有一个适应过程。四、及时了解学情，充分收集反馈信息，排除学生困难。学习几何会导致不少学生的弱化，他们本来述听得懂，可是自己不能写出过程，需要看 老师或其他同学的过程，时间一长就只能抄袭别人的东西了。其实他们最早只是由于一 个关键步骤找不出来，不能打通自己的思路。如果教师能及时了解学情，做