对一道征展题的再探究

1、对一道征展题的再探究重庆市云阳县江口中学校 刘小辉邮编:404506中学数学2014年後5期新征展栏目中，甘老师给出了如下一道开放题：题目 过抛物y2=2px(p>0)焦点f的直线a,与抛物线相交于两点卩(无),q(x2，2)求证：y1y2=-p2 ；(2)你还能发现哪些结论？文1作者在原题条件下，共发现了(包括原题答案)十一个结论。笔者经过进一步的 探究，发现原题可以作如下推广，并获得了一新的结论，现介绍于后，与大家共享。命题如图，过点f (m,0) (m>0)作斜角为的直线交抛物线y ? =2px(p>0)于a(xl,yi),b(x2,y2,)两点，过点a.b分别作直线l

2、:x=-m的垂线,m.n为垂足丄与x轴的交点为e,线段mn的屮点为d.连结ae'be.mf.nf.on.ob.贝ij92(1) xx2 =m',y y 2 =-2pm, x)+x 2 =(2pn - +m), y! +y 2 =2pn.(2) am 二x +m,bn - x2 +m.2 j+ 2 pm(3) |fa| =4- p - m) 4- 2pm - p2, fb = j(兀+ p _ m)，+ 2pm _ p?.sin&(5) smob =m(p2n2 + 2pm o(6) m、0、b三共线,n、0、a三点共线.(7) 过点a.、b的切线的交点q在直线l上.k+

3、k nf =2k qf . k mf k nf k ". k ar1 1 1(10)+=kkk0()bk()a 代 ab11 2mr)- tz=k ae k af p(12) zaef = zbef, zeam = zebn(13) 4s men = sweb '4 s wm s、fnb = sfn(14) 梯形面积 s amnb =2(p /72+2m) jp?n? +2pm (n=cos 0/ sin 0)证明:由已知设直线ab的方程为x二ny+m,代入y2=2pn并整理，得b2pny2pm=0,因此(1 ) y +y 2 =2pn, y, y2 = -2pm, 又(y,

4、y2)2 =4p2xx2tcaa%, + x2 = n(j + y2) + 2m,所以 x,x2 = mxx +x2 = 2pn +2m = 2(prr +m)(2)由 am 丄 mn, an 丄 mn，amx= x2 + m(3) 因 为af| = jo】一加尸=2px1?affbj(x? + p- m) + 2pm - p2.abju -兀2）2 +（x -力）2，兀1 一兀2 =72（风一力），|abv+ixy,-)2 =7+1j(x +儿)2 - 4y*2 =+ 4pf +8pm =+ 2pm /zn g 因为 sob = |0f|” - )?21/2 = mj4p?n? +8#加力=

5、mjp?n? +2pm.(6)因为匕讯=_片人,&用=2光，%=%故m、o、b三点共线，同理可证n. 0、a三点共线(7)设q(x(),y),则过点 a. b 的切线方程为y() = p(x0 +x),y0y2 = p(x0 +x2),两式相除(xq+xj) /(x0+x2)， 即(儿一风)兀0 =兀2歹1 一兀*2.由 x=ny+m,得两式相减得 x2y - xy2 = m yx - y2),(y2 - y, )x0 = m(y - y2),即x0 = %故点q在直线x=-m上，即点q在直线l上。因为(8)由(7)的证明可得出儿()1 +旳)=#(2兀0 +兀+吃)，即jo = pn

6、，因此q(-m,pn) 乡爲'所以心+=一4+儿)%二一伽*fq = 所以"mf + *fn 2kfq(9)由的证明可得k“knf =卩%加2八因为d(-m,pn)，所以你q,。故 kmfknf kfdkab(10)因为=(兀1儿+兀2乳)又 由 x=ny+m 可得,所以乂 y： = 2px 所以为所以+加),由(10)的证明可知kae又圻=心所以x1js + 兀' =2斤少'>+/位('|+丿2)= _2"加/?, 乂=_2/?/位，所以 %+ % =n，/ noa / kobk+加)叫(12)ae + % =兀2 +兀2风+血(x

7、+力+ m)(x2 + m), °(11)因为 y 2 = (x1 4- m)/ kae(13)mn丄 am,mn 1 bn.kae + kbe = 0, 所以直线ae> be与x轴所成的锐角相等，故zaef = zbef.，由am x 轴知 z mae = z aef 。同理 znbe = zbef ，所以 zeam = zebn。册小辭厂|am|bn|em一 (4+ 2 pmn2 )(-2 pm) /m2(2m + 2pn2)p，乂 s爲ef(y - y2-xjx2 + m(xl + 兀2) + 护2 ivi y?二 4加2() -旳)/ - f2(4p2n2 + 8pm)4m2 (2m + pn2)p由 am / x 轴 bnmfnaame = szmi s、ebn = s、fbn，smef = amfn 9 所sfbn = mfn14s amnb/2 =(2加 + 兀1 + 兀2)® 一儿)/ 二(2/肿 +4/7?)j(x +2)2 -a = (p料2 + 2m)yj4p2n2 +8/2/77 = 2(pn1 + 2m)yjp2n2 +2pm以，梯形而积sa宓b = 2(附 + 2m)(pf + 2pm