浅谈高等代数在中学的应用

1、浅谈高等代数在中学的应用数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学学号：2011031532 朱伟达 指导老师：卢明先【摘要】线性代数是数学的一个分支，是一门数学基础课程.近几年随着高等数学已渐渐走入初等 数学，线性代数在初等数学中也有广泛应用.本文共分为五个部分：例说行列式在中学数学中的应用，线 性方程组在中学数学中的应用，二次型理论在中学数学中的应用，矩阵与变换引入中学数学的意义及应用， 用向量法解决初等几何问题.本文主要是从上述几个方面分析了线性代数在中学数学中的若干应用以及有 关例题的讲解过程.【关 键 词】行列式；齐次线性方程组;二次型；矩阵；向量discussion on appli

2、cation of higher algebra in middleschoolzhu wei-da 2011031532 advisor:lu ming-xianpure and applied mathematics college of mathematics and computer science【abstract :linear algebra is a branch of mathematics 11 is a mathematical foundation co urse. in recent years, some content of higher mathematics

3、are begun to learn by middle school stud ents. and linear algebra has also wide application in elementary mathematics this paper is divid ed into five parts in these parts, we will give a lot of examples to show some applications of deter minant, linear equations, quadratic theory, matrix and transf

4、orm, vector in elementary mathematict keywords j : determinant homogeneous linear system quadratic form matrixvector.引言:线性代数是学习自然科学、工程和社会科学的一门高度抽象r逻辑性很强的基础理论 课程，它本身理论性强，并且计算繁杂.作为高等学校基础课，除了作为各门学科的重要工 具以外，还是提高人才的全血素质中起着重要的作用，他在培育理性思维和审美功能方血的 作用也得到充分的重视.可以说任何与数学有关的课程都涉及线性代数知识.学习数学就必 须解题，解题要以自己的实践过程来实现.

5、木文在阐述一些重要的概念和定理之示，常常附 以具体例子，这样可以使读者从实例屮了解问题的具体内容，掌握解决问题的思路和算法步 骤，以减少理解障碍，从而提高逻辑读者的推理和判断的能力.第1章 行列式在中学数学中的应用随着高中数学新课程的实施，行列式在中学数学中的渗透、应用越来越受关注，行列式 是在寻求线性方程组公式解的过程中产生的。行列式是线性代数的基本工具,冇许多的应用。 这里结合屮学数学着更探讨行列式的应用。本文从三个方而浅析其在中学数学中的应用.1.1用行列式证明等式利用行列式证明等式与不等式的方法是对同一行列式用两种不同的计算方法，利用其结 果相等而得到等式的证明.例 1 已知d+b+c

6、=o,求证/=3dbc .证明:令 d = a3 +b3 +c3 -3abc ,则abca +b+ca +b+ca+b+c000d =cclbcabcab=0 ,bcahcahccl即 a3 +b3 +? - 3abc = 0例 2 bll ax +by = 1, bx +cy = 1, ex +ay = 1,求证：ab +hc +ca = a2 +b2 +c2.证明：令 q 二 ab+bc+ca - (a2 +b2 +c2) =a(b- c) +b(c - b)+c(a c),则有a c -1a h ax+by - 1a h 0d =b ac a cx+ay - 1c a 0=0.c b -

7、b c bx + cy - 1b c 0cos c cos b-1 cos a例 3 在abc 屮，求证cos2 a+cos2 b+cos2 c = 1- 2cos acosbcosc.证明 由于cos' a +cos2 b +cos2 c +2cos4cosbcosc 1 = cosccos b cos a -1-a +/?cosc+cosbcosccosb10cosccosba cos c - b+ccos a1cos 4101cos ad cosb+bcosb- ccos a-1cl0cos a1所以，在 aabc 屮，cos2 a +cos2 b +cos2 c = 1 - 2

8、cos acosbcosc 成立.例 4 求证：cos'。+cos2 b +cos2(« +/?)- 2coso cos/? cos(a +/?) = !.证明：因为1d = cos acos acoso1cos(d +/?)cosbcos(g + b)1=1 +2cosa cosb cos(d +b) cos'd - cos2 b - cos2(« +b)1 0 0又0=0 sin2tz - sin6z sin b =0 ,0 - sin a sin hsin2 b故cos'd +cos2 b +cos2(tz +/?)- 2cosd cos/?

9、cos(d +/?) = !1.2用行列式分解因式由行列式的定义，11a2=5。22 - 41221 由此启发,我们可以把一个代数式 a 22f看成两个式子的差，而每个式子又可以看成两个因式的乘积f=mn- pq（m,n、p、q 均为代数式）,于是f二n由此即可根据行列式的性质,对某些多项式进行因式分解.例1分解因式/ +6? +x2 - 24 20.解:x4 +6x3 +x2 - 24x- 20 = x2(x2 +6x + l)- 4(6x+5)6兀+5 x2 +6x+l-1x2 +6x + l= (%2- 4)(%2+6x+5)=(x- 2)(x + 1)(x+2)(x+5).例2将a3

10、+z?3+8 - 6ab分解因式.a b 21 1 1解：a3 +/?3 +8 - 6ab =2 a b=(a +/? +2)labb 2 ab 2 a=(a +b +2)(/ +b2 - ab- 2a - 2b +4).例 3 分解因式d，+bc2 +ca2 - ac2 - ha2 - cb2.解:ab2 +bc2 +ca2 - ac2 - ba2 - cb2 =a（b2 - c2）+/?（c2 - a2）+c（a2 - b2） a b c=a2 b2 c2 =（a- b）（b - c）（c - a）.1 1 1利用行列式分解因式的关键是将所给多项式的形式写成行列式的形式，并注意行列式的 排

11、列规则.1.3行列式在解析几何中的应用定理1卩（1）以平面内三点人（州），3（兀2*2），5心，儿）为顶点的dwc的面积x1）；1 1y2 1的绝对值.儿1y 1儿 i=o-)2 1x（2）通过两点p（召，牙）,0（兀2，力）的直线方程为x,兀2例求过点（2,3）和点（1,4）的直线的方程.兀y 1解由231=0,得直线的方程为x + y- 5=0.141(3)平面内三条直线厶:丿+勺歹+q =0,厶:a2x+b2y+c2 =0厶ta3x+b3y+c3 =0.b、 c|相较于一点或互相平行的充要条件是：a? b2 =°a3 by c、推论®平面上三点p（州）,q（兀:亠），

12、“）在一条直线上的充要条件是西)11x2 y2 1 =0.兀3儿1定理22通过平面上三点a(禹，yj,b(x2,y2),cg,儿)的圆的方程为x2 +)， 衬+片22 2 兀2 +儿92心+儿)'1力1例1平面上给出三个两两相交的圆,每两个圆有-条根轴，则三条根轴互相平行或交于一证明：设三个圆的方程分别为x2+y2+dix + eiy + fi =0(21,2,3).两两相减得三条交线 正是所述三条根轴，它们所在的直线方程为q)x +(d e?)y+(耳 f2) = 0, (q djx + (e 比"+(片 f3) = 0, (d3- d2)x + (e3- e2)y+(f3

13、- f2) = 0三条直线方程的系数行列式为£)- d2 £( - £2f?d? ex - e2 fx- f2d =d 2e3 片.f32 »3e2 e3 f2 f3二 0z)3 £>23" 2f?dl d2ef?故三直线平行或相较于一点.木题实质是求一封闭图形经过仿射变换示所得图形的而积.利用线性变换面积定理求解 本题，居高临下，让人耳目一新.第2章 线性方程组在中学数学中的应用1 关于消元法与解的结构。线性方程组的理论是线性代数的重要理论结果，它是中学数学方程组求解方法的理论化 与规范化。线性方程组是否有解、有解时解的数量、

14、通解的公式表示、解的儿何意义等一系 列问题都得到了闘满的解决，体现了高等代数相对于初等代数的新观点、新思想、新方法的 优越性，对中学数学教学具有高屋建邻i的指导作用。消元法是中学数学求解二(三)元一次方 程组的基木方法,在高等代数中可以得到理论上的完美解释，即山于线性方程组的初等变换 保持同解性，所以消元法可行，而且消元法的实质是反复对方程组作初等变换，或者说消元法 是对线性方程组的增广矩阵作行的初等变换的过程。并且，根据线性方程组解的理论容易知 道解的只冇三种情况(唯一解、无解、无穷多解)以及具体判定方法和解的结构特征。特别地,在一定条件下，方程组的唯一解可以用公式形式给出，即cramer法

15、则。cramer法则的意义主 要在于:明确了解的存在性与唯一性，为判断这类方程组的有解性提供了比较肓接的方法;将 求解问题，转化为行列式的计算,避免了消元法的繁琐计算；以公式的形式给出了解与系数的 明显关系，为一般线性方程组公式解的表达式提供了理论依据。2.几个平面共点、共线、平行与重合的问题。利用线性方程组的理论容易解决平面共点、共线、平行与重合的问题。实际上，平血族交于一点的条件是对应的方程组有唯一解,相当于系数矩阵与增广矩阵 的秩都等于。3; (1)平面族共线的条件是系数矩阵与增广矩阵的秩都等于。(2)平而族过同一平面(重合)的条件是系数矩阵与增广矩阵的秩都等于1;平血族互 相平行的条件

16、是对应的方程组无解，相当于系数矩阵与增广矩阵的秩不相等。此外线性方程 组理论还可解决直角坐标平面上四点共圆或者过不共线的三点的圆的方程等问题。比如下血就是一个线性方程组的例子：例：一个庙里冇一百个和尚，这中间有人和尚有小和尚，这一百个和尚每顿饭总共吃一 百个馒头，其中大和尚一个人吃三个，小和尚三个人吃一个，问大和尚和小和尚各多少人?解设大和尚的数目是兀，小和尚的数目是八贝惰兀 + y = 1003“* = 100x = 25y = 75其实，更多元的线性方程组也是同样的解法.定理囚 含有n个未知最n个方程的齐次线性方程组何非零解的充要条件是:方程组的系数 行列式等零.例1已知函数f(x)=x2

17、+ax+bf证明|于|、|.f|、|/(3)|中至少冇一个不小于丄.解 把%=1,2,3代入函数表达式，列方程组a+fe + (l-/(l) = 0< 2tz + b + (4 /(2) = 03a + b + (9-f(3) = 011- /(i)14f(2) =0,展开整理得19 f(3)/(2)|<|, |/(3)|<|,易推出1上述关于a、b、1的齐次线性方程组有非零解，故2/(i) - 2f(2)+f(3) = 2 ,假设结论不成立，即 |/(1)|< |,-2</(!)-2/(2) + /(3)<2,从而产生矛盾，故命题成立.x7例 2 已知-a

18、 , =b , = c , 求证：ab +bc +ca = 1 - 2abc.y + z z+xx + yx-ay-az = o 证明：由己知得关于x, y, z得方程组 -bx + y -bz = 0-ex -cy + z = o1-a-a因为兀,y,z不可能为零，所以由定理知一“1-b=0-c-c1化简得 1 - abc - abc - ac - be - ab = 0 即 ab +bc+ca = 1 - 2abc 由已知条件的结构特征与待解问题之间的关系建立齐次线性方程组，构造三阶行列式, 其解题思路新颖，能够巧妙地解决中学数学中的若干練手问题，凸显了用高等数学理论与方 法解决初等数学问

19、题的优越性.第3章 二次型理论在中学数学中的应用中学数学里有吋遇到多元二次多项式的因式分解问题，我们可以利用髙等代数中二次 型理论来探讨复数域和实数域上多元二次多项式的分解条件及分解方法。实际上,n元二次多项式可以和n+1元二次型联系起来。比如由二元二次多项5x2 - 3y2 + 4xy +- 6可构成三元二次型5x2 - 3y2 + 4xy + 2yz - 6z2反之，由二次型取z=l,得相应的二次多项式。一般地，如果n元二次多项式为旳 若乃 + ar?r+1 xr +1<i<? <nr=l则称n +1元二次型1< i<?<n+l为对应的二次型。容易证明:

20、n元二次多项式可分解的充要条件是对应的二次型可分解 为两个n+1元一次齐次式的乘积。因此可以主要考虑二次型的分解。根据二次型理论，可以 证明以下结论:复数域上二次型可分解的充要条件是它的秩不超过2;实数域上二次型可分 解的充要条件是它的秩等于1,或者秩是2且符号差是0。这个结论表明了二次多项式或二次 型对分解与否的判别方法,至于具体的分解方法，一般是利用配方法或二次型理论中的矩阵 合同变换法把二次型先化为标准型，再作进一步的因式分解。考虑一个n元二次型:/(xpx2,.,xzi) = cinx +2a2xix2 + .2ainxlxn +a22x2 + . + 2a2nx2xn +. + ci

21、nnxn = x ax定义一个二次型/(西，兀2，,e)经过非线型替换变成的平方和/(xpx2,.,x) = dx + d2x + l+dnx, di e r,i =(1)称为 f(xl,x2,.9xn)的标准型.定理14】实数域上任意一个二次型/(州，兀2,£)都可以经过非退化的线性替换变成平 方和(1)的形式.定理2 4 个实二次型可以分解成两个实数系的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的秩等于2和符号差为0,或秩等于1.例1试判断下列多项式在r上能否分解，若能，分解z.1) /(xpx2) =x,2 +2x22 +4 兀兀2 +2為 +3勺2) /(xpx2) = x(2 - 3

22、x22 +2兀兀2 - 4x2 - 1解 1)令g(x),x2,x3) = xj2 +2x22 +4x,x2 +2x)x3 +3x2x3，则 f(xlyx2) = g(xpx2,l)，下 面考虑g (兀，兀2，兀3 )的秩和符号差,对g(西,兀2，兀3)作非线性替换:)=兀+ 2兀2 +兀3壬=必_2旳_*1即1>?2=%24-%3,兀2=)2_才丁3为=兀3兀3 =)3-<g(xpx2,x3) = y, - 2y2可见g(xpx2,x3)的秩是3,有定理2,知g(»兀2*3)不能分解，从而/upx2)也不能分解.解 2)令 g(兀，兀2,兀3)=兀；-3x22 +2兀兀

23、2 - 4x2x3 +x32 ,则 /*(兀，兀2)= g(xi，%2，l)下面考虑 g 3 ,兀2，心)的秩和符号差对g (西,七，兀3 )作非线性替换x =西+兀2< y2 = 2x2 + 兀3，丿3=兀31 1兀2 = y（）?2 -儿）有g(兀2內)=处 以 从而/(xpx2) = g(xpx2,l) = - y22,可见y(xpx2)的秩为2,符号差为0,有定理2,知/（西，兀2）可以分解，且f（xl9x2） = g（x19x2,l） = y - y22 =（yt +旳）（必-y2） = （ +3七+1）（西-x2 - 1）定理24对于n元实二次型/（xi,x2,.,x） =

24、x ax,/i,/2,为a的特征值，则对于任意 x g/?n,有min x x < /(xpx2,.,xj < max a. x x .例3设兀,y是实数，且满足r+y2 =3.则的最大值与最小值是1廿丄1 -2 _解令 fy) = x2+xyy2=y)由定理得，则f（x9y）的矩阵a =a 113=（r）（r）=°因此'特征值产訐2石13-(x2 + r)</u,y)<-u2 + /)，注意到 /(兀,y) = 3 ,解得2 < x2 + y2 < 6 . 乂 %2 - xy+y2 =2(x2 +y2)- f(x,y) = 2(x2 +&

25、gt;j2)- 3,从 而l<x2-xy + y2 s9,所以兀2. xy+y2的最大值为9,最小值为1.由此可见，运用高等代数中二次型定理可以顺利解决二次型在条件 £无2下的取值范围,解法流程清晰，易于学握./=1第4章 矩阵与变换引入中学数学的意义及应用新课标小学数学的一个重大变化就是把人量原属高等数学的内容下放到小学供学牛选 修，以开阔学牛的视野，满足不同学牛的数学需要，促进学生的数学发展.被下放的有矩阵 与变换、数列与差分、球面几何、对称与群等十几个专题。下面对中学数学引入矩阵知识的 意义及作用，进行初步的探讨.4.1中学数学引入矩阵的意义中学数学引入短阵初步知识的意义

26、，本人认为，主耍有四个方而：首先，为表达数据提 供新的工具因此，中学数学引入矩阵知识可为学生提供一个表达数据的新工具，一是学生 更好的学习概率、统计、技术原理等课程，也能使学牛更好地适应现实住活中的需要；其次, 为研究映射提供了一个新平台.在中学数学屮，映射是最重要的基本概念.在新课程屮学数学 体系中，直接与映射冇关的内容就冇函数、向量、数列、复数、曲线与方程、极坐标与参数 方程等十几个方而映射不仅是中学数学的重耍概念，也是学习高等数学的必备基础但映射 的表示方法，中学数学中原來只有解析法、列表法和图像法，这对于扩充学生的知识视野, 尤其是对学习高等数学的需要，似嫌不足.因此，屮学数学引入矩阵

27、可为表达映射提供一种 新的方法;第三，给线性方程组的解法开辟一条新的途径.引入矩阵知识及行列式以后，就可 以得到解线性方程组的公式-克拉姆法则，这不仅为中学数学解线性方程组找到一条新的 途径，而几有利于与高等数学相连接；第四，综合应用，为高等数学与其他模块的学习提供 帮助.例如网络图、信息与密码、概率与统计、生态学等，都可以用矩阵表达或者求解，引 入矩阵知识，可为学习这些知识提供有力的工具.4.2中学数学中矩阵与变换中学数学中rti矩阵建立的变换就是平面上的坐标变换，其中，矩阵起着“对应法则”的作用.用二阶矩阵a =确定的变换，就是构造映射，使平而上的点 变成点xtxl这个映射的对应法则就是左

28、乘a b,在这个变换中，矩阵abcd卜_c dcd例1已知在一个二阶矩阵m对应变换作用, 成了点b (2,4),求矩阵m.点 4(1,2)变成了点 a (7,10),点 8(2,0)变称z为变换矩阵，变换矩阵不同，得到的是不同的变换.解得p = 3c = 2d =4所以mja babr_7'a b22设m =c d,则cd2109c d04解a + 2h = l. c + 2d = 10 所以j,2a = 22c = 44. 3线性变换面积定理定理1同线性变换将平面上所冇图形的面积放大或缩小同一倍数，这个倍数就是变换行列 式的绝对值.例1在平面直角处标系xoy屮，己知平而区域a = (

29、x, y)丨x + y 5 1,且x > 0, y > 0,则平面 区域b = (x + ”兀一 y) l(x, y) g a的面积为.解 依题意，平面区域a是由o (),1), c(l,0), 0(0,1) | f)|成的三角形，面积s为*，平面区域a变成平而区域b所对应的变换矩阵为所以平面区域b的面积s'为丄x2 = l.21,则变换行列式的绝对值det卩一耳=2,-1_j 1>4.4利用矩阵的秩判断两直线位這关系定理2同设空间两直线：l :ax + 冋 y + c& + 9 = 0 la2x 4-b2y-t-c2z + d2 =0a3x + b3y +

30、c3z + d3 =0 心 + 恥+ c4z + d4 =0aaaab2坊gc2gq的秩为r(a),矩阵刁=r(a)=4时,两直线异面;2) r(a) =2时,4%a£b、两直线重合；3)的秩为r(a),则1)当r(a) = r(a)=3时，两直线相交；4)r(a) = r(a) =3时,两直线平行.x+y+z+4=0x_y + 3z_l = 0 和2x+y + 3z + 5 = 0的位置关系.3x+y+ 5z + 6 = 01114111410211-1 3-2行变0-22-6行变01-1321350-11-3000031560-22-60000解2 =ar(a) = r(a)=2

31、,所以直线厶与直线厶重合.4. 5利用矩阵求最大公因式利用增广矩阵可以很清晰地表示消元法的过程;利用矩阵乘积，可以轻易地得到变量之 间的性关系。在初等数学中，求两个多项式的最大公因式一般用因式分解和辗转相除的方法, 运算过程较为复杂。如果采用矩阵的知识，可使求解过程简洁许多。原理:首先，根据多项式理论，容易得到以下结论f(x),g(x)=f(x),kg(x),k 不等于 0；f(x),g(x)=f(x),kg(x),g(x),k 是常数；g(x)=f(x),g(x),其中f(x)的常数项非零。用矩阵an an-l bn-l %表示两个多项式刃+ an_1xn_1 +呦和bnxn +如这样，结论

32、表切对该矩阵做初等消法行变换和初等倍法行变换以后不改变最人公因式;同时,ao北°还表明当«n-lk-1an an-l的最大公因式少的最大公因式相同（至多相差常数倍）。于是，可以对上述矩阵做以上三种变换，使得其中的某行都是零或者只冇一个非零数,进 而可很快求出它们的最大公因式。4.6中学数学中矩阵变换的常见类型中学数学中山矩阵确定的变换的常见类型，列表说明如下:表1卩中学数学中矩阵变换的常见类型变换名称变换矩阵几何特征恒等变换ej °0 1图形f变成图形f伸压变换1、沿x轴方向：m='k01丄、丿102、沿y轴方向mo =0 10 kmw图形f变成图形f&#

33、39;,大小和形状可能变化反射变换关于兀轴反射于y =x反射m3二1 0_0 -10 ”关1 01 0关于y轴反射必2二0z一101于原点反射必4二4 0 -1关图形f变成图形f',大小和形状不变，位置可能改变旋转变换cos0 -sin 0 m =sin。 cosp图形f变成图形大小和形状不变，位置可能改变投影变换垂直投到兀轴：m严_1 0_0 0垂直投到y轴：m2 =0 0_0 1_图形f变成线或点切变变换1、沿兀轴方向：m二1 k_0 12、沿y轴方向m2 ='1 c_k 1)1图形f变成图形f',大小和形状可能变化第5章用向量法解决初等几何问题众所周知，向量是现代

34、数学的基本概念z。在高中数学教材中引入向量概念也是数学 现代化的需要。向量是初等数学与高等数学的衔接点，这也是向量在数学课程改革中受到青 睐的魅力所在。向量有利于培养学生数形结合的思想方法，有利于拓宽解题思路，有利于 发展学生的运算能力，有利于与高等教冇衔接等方面。1.向量线性关系的几何意义向量思想体现了数学的抽彖性与严谨性，反过來又展示了应用广泛性的特点，向量z间 的线性相关性有着明显的几何意义。-维情况:非零向量a与向量e共线（平行）的充要条件是q可山e线性表示。更一般的, 两个向量共线（平行）的充要条件是它们线性相关。二维情况：向量a与不共线的两个向量幻勺共面的充要条件是a可由el, e2线性表示。更一般的，三个向量共面的充要条件是它们线性相关。三维情况:空间屮任意向最都可由不共面的三个向最线性表示。更一 般的，空间中任意四 个（以上）向量总是线性相关。此外,线性相关性的概念可移用于线性方程组。当方程组中有某个方程是其余方程的线 性组合时，那这个方程